Гравитационный параболический бильярд



жүктеу 21.29 Kb.
Дата11.07.2016
өлшемі21.29 Kb.
Гравитационный параболический бильярд
Маленький шарик единичной массы движется внутри параболы
(1)
п
од действием гравитационной силы , отражаясь по закону “угол падения равен углу отражения” с сохранением кинетической энергии.

Пусть – начальная точка на параболе и – начальная скорость в этой точке. До следующего соударения шарик движется по траектории вида


(2) ,
После подстановки в уравнение (1) получаем
.
Откуда, с учетом, что начальная точка лежит на параболе, имеем
.
И значит, время до следующего соударения будет
.
Подставляя его в уравнение траектории (2), получим координаты следующей точки соударения. Причем к моменту соударения скорость шарика будет
.
Чтобы применить закон отражения, запишем нормальный вектор к параболе

и, как обычно, через обозначим единичный нормальный вектор в точке соударения . Тогда послеударная скорость вычисляется по известной формуле


.
И всего этого уже достаточно, чтобы построить траекторию шарика внутри бильярда.
=====================================================================
При движении шарика внутри бильярда выполняется закон сохранения энергии, то есть остается постоянной величина
.
Исключая , непосредственно после n-го удара на границе бильярда имеем
(3) .
Есть и еще один закон сохранения. Используя уравнения (2), параболу, по которой движется шарик после n-го удара, можно записать в виде

или

или
.
Используя закон сохранения энергии (3), получаем
.
Переписываем в виде

и, наконец,
(4) ,
где – нормальный вектор в точке удара, – скорость непосредственно после удара. Обратим теперь скорость шарика перед следующим n+1-ым соударением и обозначим обращенную скорость . Тогда шарик с одной стороны полетит назад по той же самой параболе, с дрогой стороны ее уравнение можно записать в виде
(4')
Уравнения (4) и (4') совпадают, в частности, совпадают свободные члены в их правых частях, поэтому
,
но тогда и
(5) .
Таким образом, еще и величина

остается постоянной от удара к удару.


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет