Гравитационный параболический бильярд
жүктеу/скачать 83.5 Kb.
|
| Гравитационный параболический бильярд
Маленький шарик единичной массы движется внутри параболы (1) 
п  од действием гравитационной силы  , отражаясь по закону “угол падения равен углу отражения” с сохранением кинетической энергии.
Пусть (2)  , 
После подстановки в уравнение (1) получаем  .
Откуда, с учетом, что начальная точка лежит на параболе, имеем  .
И значит, время до следующего соударения будет  .
Подставляя его в уравнение траектории (2), получим координаты следующей точки соударения. Причем к моменту соударения скорость шарика будет  .
Чтобы применить закон отражения, запишем нормальный вектор к параболе
и, как обычно, через  .
И всего этого уже достаточно, чтобы построить траекторию шарика внутри бильярда. ===================================================================== При движении шарика внутри бильярда выполняется закон сохранения энергии, то есть остается постоянной величина  .
Исключая  , непосредственно после n-го удара на границе бильярда имеем
(3)  .
Есть и еще один закон сохранения. Используя уравнения (2), параболу, по которой движется шарик после n-го удара, можно записать в виде 
или 
или  .
Используя закон сохранения энергии (3), получаем  .
Переписываем в виде 
и, наконец, (4)  ,
где  – нормальный вектор в точке удара,  – скорость непосредственно после удара. Обратим теперь скорость шарика перед следующим n+1-ым соударением и обозначим обращенную скорость  . Тогда шарик с одной стороны полетит назад по той же самой параболе, с дрогой стороны ее уравнение можно записать в виде
(4') 
Уравнения (4) и (4') совпадают, в частности, совпадают свободные члены в их правых частях, поэтому  ,
но тогда и (5)  .
Таким образом, еще и величина 
остается постоянной от удара к удару. жүктеу/скачать 83.5 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
– начальная точка на параболе и 
– начальная скорость в этой точке. До следующего соударения шарик 
обозначим единичный нормальный вектор в точке соударения 
. Тогда послеударная скорость вычисляется по известной формуле