Хабаршысы ғылыми журналы

      
|
|
Z
(1)
Z
(2)
Z
(3)
Z
(4)
Z
Z
x
(1)
Z
x
(2)
Z
x
(3)
Z
x
(4)
Z
x
Z
y
(1)
Z
y
(2)
Z
y
(3)
Z
y
(4)
Z
y
Z
xy
(1)
Z
xy
(2)
Z
xy
(3)
Z
xy
(4)
Z
xy
Z
yy
(1)
Z
yy
(2)
Z
yy
(3)
Z
yy
(4)
Z
yy
|
|
=
|
|
1
0
0
x
1
0
0
0
0
0
         y
        0
       1
−6xy + x
3
+ y
3
−6y + 3x
2
−6x + 3y
2
Z
Z
x
Z
y
        
0
0
−6
6y
Z
xy
Z
yy
|
|
= Z
yy
+y∙ Z=0, 
 
то есть получим систему  
𝑍
xx
+x
∙ Z
xy
=0, 
                                                                
Z
yy
+y
∙ Z
xy
=0,                                                      (1.14) 
 
Легко заметить ,что в обеих определителях аналог определителя Вронского  
W=
||
1
0
0
𝑥
1
0
0
0
 𝑦
−6𝑥𝑦 + 𝑥
3
+ 𝑦
3
  0
−6𝑦 + 3𝑥
2
     1   
   0
−6𝑥 + 3𝑦
2
−6
|| ≠ 0 
Хотя нам известны фундаментальные системы решений приведенных примеров, 
желательно дать сведения о построении этих решений. 
 
§2.  О методе Фробениуса-Латышевой 
 
Вернемся к системе (1.1) .Она может иметь регулярные и иррегулярные 
особенности. 
К. Л. Латышева за основу классификации регулярных и иррегулярных 
особенностей положила понятие ранга p=1+k (k-подранг) введенное А. Пуанкаре и 
антиранга 𝑚 = −𝜆 − 1 введенное Л. Таме [7] 
В случае изучаемой системы понятие ранга определяется по независимым 
переменным х и у отдельно и подчиняется двум неравенствам: 
1 + 𝑚𝑖𝑛
(0 ≤ 𝜈 ≤ 𝑛 − 1)
𝜎
𝑛
−𝜎
0
𝑛−𝜈
≤ 𝑝, ≤ 1 +
𝑚𝑎𝑥
1 ≤ 𝜈 ≤ 𝑛
𝜎
𝑛
−𝜎
0
𝜈
 (𝑛𝑜   𝑥)           (2.1) 
                                  
1 + 𝑚𝑖𝑛
(0 ≤ 𝜇 ≤ 𝑛 − 1)
𝜉
𝑛
−𝜉
0
𝑛−𝜇
≤ 𝑝
2
, ≤ 1 +
𝑚𝑎𝑥
1 ≤ 𝜇 ≤ 𝑛
𝜉
𝑛
−𝜉
0
𝜇
 (𝑛𝑜     𝑦),  
то есть в коэффициентах 𝑃(𝑥, 𝑦) и 𝑄
(𝑖)
(𝑥, 𝑦)(𝑖 = 0,1,2,3,4) наибольшие показатели 𝜎
𝑖 
и 𝜉
𝑖
 
независимых переменных х и у определяют ранг 𝑝 = 𝑘
𝑚𝑎𝑥
+ 1 системы (1.1), где подранги 
𝑘
𝑖
(𝑗 = 1,2) определяются из  
𝑘
1
=
𝑚𝑎𝑥
1 ≤ 𝜈 ≤ 𝑛
𝜎
𝜈
−𝜎
0
𝜈
(𝑛𝑜  𝑥) и 𝑘
2
=
𝑚𝑎𝑥
1 ≤ 𝜇 ≤ 𝑛
𝜉
𝜇
−𝜉
0
𝜇
(𝑛𝑜  𝑦).        (2.2) 
 
Если величины 
1
p
 и 
2
p
   не равны между собой, то выбирается наибольшее из них, 
а если равны между собой, то можно выбирать любой из них в качестве ранга. Когда 
особенность регулярная решения подыскиваются в виде обобщенных степенных рядов по 
убывающим: 
Z(x ,y)= 
x
ρ
y
σ
∑
A
μ,ν
x
−μ
∞
μ,ν=0
y
−ν       
(A
0,0
≠ 0)                         (2.3) 
или по возрастающим: 
                          Z(x,y)= 
x
ρ
y
σ
∑
B
μ,ν
x
μ
∞
μ,ν=0
y
ν
            (B
0,0
≠ 0)                       (2.4) 
(ρ, σ, A
μ,ν
 (
μ, ν = 0,1, … ; ) (B
μ,ν
 (
μ, ν = 0,1, … ; ) – некоторые неизвестные постоянные) 
степеням независимых переменных  x и y, в зависимости от особенностей (∞, ∞) а  (0,0) 
.Обычно, другие особенности часто приводится к этим двум и к особенности 
(1.1).Решение (2.4) связывает с особенностью (0,0) ,  а (2.3) с особенностью  (∞, ∞). 
Найдем ранг системы (1.12). Наибольшие степени x в первом уравнении: 

σ
0 
= 2 (при   Z
xx
), 
   σ
1
= 1 (при   Z
x
), 
   σ
2 
= 0 (при Z). 
Аналогично, со второго уравнения определим наибольшие степени  y: 
ξ
0 
= 2 (при Z
yy
), 
   ξ
1
= 1 (при  Z
y
), 
   ξ
2 
= 0(при  Z). 
Составляем разности используя (2.2): 
k
11
=
σ
1 
−σ
0
1
=
1−2
1
=-1,
   k
12
=
σ
2 
−σ
0
2
=
0−2
2
=-1,
   k
1,max
=-1. 
Аналогично, 
k
21
=
ξ
1 
−ξ
0
1
=
1−2
1
=-1,   k =
ξ
2 
−ξ
0
2
=
0−2
2
=-1,
     k
2,max
=-1. 
Отсюда ,выбираем   k
max
=
k
1,max
=
k
2,max
=-1. Поэтому, ранг p= 
k
max
+1=-1+1=0. 
Согласно теории Фробениуса-Латышевой ,если ранг p≤ 0 , то ряд (2.4) сходится 
заметим ,что решения системы (1.12) все конечные, то есть в виде полиномов .Поэтому, 
она сходящиеся. Преимущество метода заключается в том, что по виду системы заранее 
можно определить вид решения, а также сходимость или расходимость этого решения. 
Для построения решения системы (1.12) вблизи  особенностей (x=0,y=1); (x=-1,y=0) 
и (x=−
1
3
, y=−
1
3
) требуется проводить дополнительные исследования. Ддля системы (1.12) 
удается построить всего два решения: 
𝑍(x,y)=1+2x+2y,     Z
2
(x,y)=
x
2
y
2
                               (2.5) 
вблизи особенности (0,0). 
Складывая два уравнения системы  (1.12) получим одно уравнение  
      x(1+x+2y)
𝑍
xx
+ y(1 + 2x + y)Z
yy
− (1 + 2x + 2y)Z
x
− (1 + 2x + 2y)Z
y
+ 4Z = 0. 
Решениями этого уравнения являются два решения  из (2.5). Таким же образом 
можно убедиться о связи между системой (1.1) и одним допустимым уравнением. 
В системе (1.14) коэффициенты при старших производных P
(0)
(x, y) и Q
(0)
(x, y) 
равны единице, поэтому, она не имеет особенностей .В таких случаях решение можно 
искать в виде простого степенного ряда двух переменных вида 
𝑍(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝐶
𝜇,𝜈
∙ 𝑥
𝜇
∙ 𝑦
𝜈
,   (𝐶
0,0
≠ 0)                   (2.5)
∞
𝜇,𝜈=0
 
где 𝐶
𝜇,𝜈
(𝜇, 𝜈 = 0.1.2, … )-неизвестные постоянные, которые следует определить. С этой 
целью ряд (2.5) подставляем в систему  (1.14) и приравнивая коэффициенты при 
различных степенях x и y нулю получаем, что 
                                 𝐶
20
= 0, 𝐶
02
= 0, 𝐶
21
= 0, 𝐶
12
= 0, … 
6 ∙ 𝐶
30
+ 𝐶
11
= 0, 
6 ∙ 𝐶
03
+ 𝐶
11
= 0. 
Пусть 𝐶
11
= −6, тогда 𝐶
30
= 1, 𝐶
03
= 1. 
Кроме 𝐶
11
 ,также  считаем произвольными постоянными
  𝐶
00
, 𝐶
10
, 𝐶
01
.Согласно 
общей теории таких систем общее решение зависит от четырех произвольных 
постоянных. В данном случае четырьмя произвольными постоянными являются 
𝐶
00
, 𝐶
10
, 𝐶
01
и 𝐶
11
. 
Частные решения: 
𝑍
1
(𝑥, 𝑦) = 1, 𝑍
2
(𝑥, 𝑦) = 𝑥,
𝑍
3
(𝑥, 𝑦) = 𝑦  и 𝑍
4
(𝑥, 𝑦) = −6𝑥𝑦 + 𝑥
3
+ 𝑦
3
.     (1.13) 
Они составляют фундаментальную систему решений (1.13). 
Общее решение представляется в виде  
𝑍(𝑥, 𝑦) = 𝐶
00
∙ 𝑍 + 𝐶
10
∙ 𝑍
2
+ 𝐶
01
∙ 𝑍 + 𝐶
11
∙ 𝑍                                      
= 𝐶
00
+ 𝐶
10
∙ 𝑥 + 𝐶
01
∙ 𝑦 + 𝐶
11
∙ (−6𝑥𝑦 + 𝑥
3
+ 𝑦
3
) 
Таким образом, мы убедились, что в отдельных случаях построение решений 
системы вида можно связать с одним дифференциальным уравнением в частных 
производных второго порядка. Эти уравнения  в настоящее время известны как 
допустимые дифференциальные уравнения для ортогональных по области многочленов. 
Кроме этого мы также убедились, что как и в обыкновенном случае, по известной 

фундаментальной системе решений можно получить исходную систему и используя её 
получить одно уравнение в частных производных связанной с этой системой. 
 
Литература 
1.   Тасмамбетов Ж.Н. Нормальные решения некоторых специальных систем 
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с 
полиномиальными коэффициентами. Автореферат… доктора физ.-мат.наук, -Алматы, 
2004.-41с. 
2.  Wilczynski E.I. Projective Differential Geometry of curves and Ruled Surfaces. Leipzig: 
Feubner,-120 p.  
3.  Appell P., Kampe’ de Feriet I. Functions hypergeometriques et hyperspheriques Polinomes 
d’Hermit.-Paris: Gauthier-Villars, 1926,-484 p. 
4.  Тасмамбетов Ж.Н. О решении систем типа Лагерра // Математический журнал, 2003, 
Т.3, №2(8), с.63-68. 
5.  Тасмамбетов Ж.Н. О решении систем типа Эрмита // Изв. НАН РК. Серия физико-
математическая, 2004. №1. с. 56-63. 
6.  Суэтин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным. - М.: Наука. // Гл.ред. 
физ.-мат. Лит-ры, 1988,-384 с. 
7.  Латышева К.Я., Терещенко Н.И. Нормально-регулярные решения и их приложения. - 
Киев, 1974,-135 с. 
 
 

жүктеу/скачать 3.07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: