Халықаралық ғылыми-тәжірибелік конференциясының материалдары

161 
МЕКТЕП КУРСЫНДА ИНТЕГРАЛДЫ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ 
 
Сабитбекова Гулмира 
Аға оқытушы, жаратылыстану ғылымдарының магистрі 
Ы.Алтынсарин атындағы Арқалық педагогикалық институты 
Арқалық, Қазақстан 
 
 
Аннотация. В данной статье рассматривается методика интегрированного обучения в 
школьном курсе. Приведены примеры истории происхождения интеграла, а также способов 
интегрирования некоторых элементарных функций. 
Ключевые слова. Интегральные вычисления, неопределенный интеграл, интеграл 
Римана, методы интегрирования. 
Annotation. This article discusses the methodology of integrated learning in the school 
course. Examples of the history of the origin of the integral, as well as ways of integrating some 
elementary functions are given. 
Keywords. Integral calculations, indefinite integral, Riemann integral, integration methods. 
Функцияның нүктедегі шегінін пайда болуынан туынды мен интеграл 
ұғымдары пайда бола бастады. Бұл енгізілу 1968 жылғы бағдарламаға бойынша 
алгебра және анализ бастамалары оқулықтарында енгізген болатын. Осы 
оқулықтарда функцияның нүктедегі шегінің арифметикалық түрдегі абсолют 
ұғымы арқылы берілетіндігі жария болды. Осы аталған 1981 және 1985 жылғы 
оқулықта функцияның нүктедегі шегін жеке тақырып бойынша оқытылмайды, 
сондықтан да туынды және интеграл ұғымдарын енгізуде шек ұғымын айқын 
бейнелеген. Математикада ең алдымен туынды және интеграл ұғымдарына 
түсінік беріліп, кейіннен осы ұғымдарды толықтыру мақсатында функцияның 
шегі ұғымы пайда болды. Осы айтылған туынды мен интегралды оқытудың 
тәсілін тарихи тәсіл деп де атайды.
Мектепте оқытылатын оқулықтарда туынды мен интегралды ұғымдарын 
осы тәсілмен оқытудың теориялық емес, практикалық бөлімдеріне аса назар 
аудару көздеген болатын. Интеграл ұғымын ендірудің нұсқалары мектеп 
оқулықтарында тексерулерден өткен. Ең алғашқы А.Н.Колмогоровтың 
оқулығында интеграл Ньютон–Лейбництің формуласы, яғни функцияның 
өсімшесі ретінде ендірілді. Кейіннен шыққан оқулықтарда интегралды 
интегралдық қосындының шегі ретінде қалыптастырды. Осы тәріздес есептерді 
және оларды шешудің жалпы әдістемесін зерттеу негізінде, шексіз аздар 
анализін жасау барысында Ньютон мен Лейбництен бұрын Кеплер, сосын 
Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, 
Барроу сияқты ғалымдар зерттеп, едәуір еңбек етті. Осылай математикалық 
анализдің элементтерін және бастамалары шығуына көп еңбек сіңірген 
ғалымдардың шығармашылық зерттеу нәтижесі пайда болды. Осы 
ғалымдардың барлығының жетістіктерін қысқаша түрде мәлімдеме беру мүмкін 
емес. Сондықтан да математикалық анализдің дүниеге келуіне зор үлес қосқан 
кейбір математиктердің еңбектеріне тоқталып өтпекпіз.

162 
Интегралдық есептеу әдістеріне өте жақын нақты шексіз шамаларға 
тікелей операцияларды қолдануға негізделген әдісті бірінші болып жоғарыда 
аталған ұлы неміс астрономы және математигі Кеплер (1571-1630) ұсынды. Ол 
астрономиядағы белгілі үш заңның авторы, Кеплер: планеталардың радиус 
векторы тең уақыт аралығында тең аудандары бар секторларды тартады (екінші 
заң), бұл секторлардың шексіз аз бөлінбейтін сызықтардан тұратындығын 
математикалық түрде дәлелдейді. 
Квадратураларды табу есептері негізінде пайда болған интеграл 
ұғымынна тоқталайық. Кез-келген тегіс форманың квадратурасын есептеу 
Ежелгі Греция мен Рим математиктері қазір аудандарды есептеу үшін 
есептеулер деп аталды. Латынша quadrature сөзі квадрат пішінге келтіру деп 
аударылады. Мұндай арнайы терминдердің қажеттілігі біз қазір үйреніп қалған 
нақты сандар ұғымы ежелгі уақытта және XVIII ғасырға дейін жеткілікті 
дамығандығымен түсіндіріледі. Математиктер көбейтілмейтін геометриялық 
аналогтарына немесе скаляр шамаларына амалдарды қолданды. Сондықтан, 
аудандарды табуға арналған бұл тапсырмалар келесідей тұжырымдалуы керек 
еді, мысалы: біз берілген шеңберге тең квадрат салуымыз керек. «Дөңгелектің 
квадратурасы туралы» осындай құнды есеп компас пен сызғыштың көмегімен 
жасалмайтыны белгілі. Бұл символды Лейбниц 1675 жылы енгізген. Латын 
әріптерінің қысқаша мазмұнын Дж. ойлап тапқаны белгілі. Бернулли 1690 
жылы шамасы, оның шығу тегі латынның «интегро» сөзінен шыққан. Оның 
мәні бұрынғы қалпына келтіру, оны қалпына келтіру. Шынында да, 
интегралдың астындағы функция функцияны саралау арқылы алынған 
интеграция амалы бұл функцияны қалпына келтіреді. Integral терминінің шығу 
тегі де әртүрлі болуы мүмкін: integer сөзі бүтін санды білдіреді. И.Бернулли 
мен Г.Лейбниц хат алмасу арқылы алмасты, мен Бернуллидің ұсынысымен 
келістім. Сол 1696 жылы математиканың жаңа бөлімінің атауы пайда болды - 
И.Бернулли енгізген интегралдық есептеу. 
Интегралдық есептеу туралы біз білетін басқа терминдер сәл кейінірек 
пайда болды. 1797 жылы Лагранж латынша "primitivus" сөзін енгізді, ол 
"бастапқы "деп аударылады. Қазіргі әдебиетте функцияның барлық бастапқы 
функциялары жиынтығы белгісіз интеграл деп те аталады. Бұл 
тұжырымдаманы Лейбниц атап өтті. Ол барлық алғашқы функциялардың 
арасындағы айырмашылық белгілі бір интеграл деп аталатын қалауымен алуға 
болатын тұрақты сан екенін анықтап берді. К.Фурье (1768-1830), ол белгілерді 
енгізді. 
Интеграл ұғымы бір жағынан туынды арқылы функцияны іздеу 
қажеттілігінен туындады (мысалы, сол нүктенің жылдамдығымен қозғалатын 
нүктенің өткен жолын білдіретін функцияны табу), екінші жағынан доға 
ауданын, көлемін және ұзындығын өлшеу, белгілі бір уақыт ішінде күшпен 
орындалатын жұмысты табу үшін. уақыт аралығы және т. б. Алғаш рет 
интеграл сөзін швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған; F(x) - f(x) 
функциясының кез келген алғашқы функциясы. Бұл формула берілген 
интегралды есептеудің негізгі амалдарының бірі болып табылады [1]. 

163 
Интеграл екі түрге бөлінеді. Анықталмаған интеграл және анықталған 
интеграл. Белгілі бір интегралда оны кейде Риман интегралы деп атайды.
Интегралды оқыту әдістемесі мектепте оқытылатын пәндік білімді 
қолдану және оларды практикалық қолдану арқылы жүзеге асырылады. 
Математиканы басқа пәндермен байланыстыра оқыған кезде оқушылар 
мәселені шешіп қана қоймайды, сонымен бірге бұл мәселені түбегейлі 
дәлелдеуге және қолдануға үйренеді, оқу іс-әрекетіне деген сенімділік 
қалыптасады және болашақ тұлға ретінде қалыптасады. 
Оқушыларға интеграл тақырыбын оқыту әдістемесі мынадай: 
алғашқы функция ұғымы мен қасиеттерін оқушыларға таныстыру;
)
(x
f
функциясының барлық алғашқы функцияларының жиыны осы 
функцияның анықталмаған интегралы болатындығын; 
анықталмаған интегралдардың негізгі кестесін; 
оқушыларды алғашқы функция табудың ережелерімен; 
анықталмаған интегралды табудың әдістерімен; 
интегралды нақты есептерді шешуде қолданысын көрсету. 
Геометриялық тұрғыдан анықталмаған интеграл жазықтықта бір-бірінен 
айырымы тұрақты шама болатындай қисықтар жиынын көрсетеді. Бұл 
қисықтарды интегралдық қисықтар деп атайды. Сонымен геометриялық тұрғыдан 
алғанда, анықталмаған интеграл 
 

жүктеу/скачать 5.11 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: