I тарау. Графиктер мен Функциялар оқыту әдістемесі мен қолданылатын құралдар
I - тарау.Графиктер мен Функциялар оқыту әдістемесі мен қолданылатын құралдар
жүктеу/скачать 1.74 Mb.
|
| I - тарау.Графиктер мен Функциялар оқыту әдістемесі мен қолданылатын құралдар
2. Графиктер мен функциялар оқыту әдістемелері Графиктер мен функциялар оқыту әдістемелері классикалық деп атайтын функцияның жалпы анықтамасы математикалық тілге өткен ғасырдың басында ғана өңделген. Ғалымдар функцияның жалпы анықтамасына келгенше математиктер ғылымның көп ғасырлық даму сатысының әр бір қадамында әр түрлі нақты функциялармен жұмыс істеді. Функция ұғымы өз кезегінде дамудың күрделі сатысынан өткен. Ертедегі математиктермен XVII ғасырға дейінгі математиктерде, Ньютон мен Лейбництің дифференциалдық және интегралдық есептеуін құрған кезде функцияның жалпы анықтамасы болмады. XVII ғасырдың I жартысында механиканың дамуына байланысты математикаға өзгерістер мен қозғалыстар идеялары ене бастады. Математикада функция идеясы айнымалы шама ұғымы мен бірге туды. Өзінің дамуының бастапқы кезеңдерінде функция ұғымы, сондай-ақ айнымалы шама ұғымы да геометриялық және механикалық түсініктермен тығыз байланыста болды. Айнымалы шамалар мен функциялар математикада олардың жалпы ұғымдары тұжырымдалудан көп бұрын қолданылып келген. Бір айнымалы шаманың екінші бір айнымалы шамаға тәуелділігі ретінде функция туралы түсінік қалыптаса бастады. Осы ұғымның дамуына француз математиктері П.Ферма (1601-1665) мен Р.Декарт (1596-1650) жасалған координаталық әдісі елеулі роль атқарады. Координаттар әдісі функцияларды график арқылы зерттеуге және теңдеулерді графиктік тәсілмен шешуге кеңінен қолданыла бастады. Декартта айнымалы шама туралы геометриялық мәселелерді зерттеумен, белгілі бір сызықты сызып шығатын нүктенің абсциссасының өзгеруімен байланысты ординатасының өзгеруін қарастырумен байланысты болды. Ал ағылшын оқымыстысы Исаак Ньютонда айнымалы шама туралы түсінік механика мәселелерін және уақытпен тығыз байланысты шамаларды зерттеумен байланысты туды. Ол функцияны қозғалыстағы нүкте координатасының уақытқа тәуелді өзгеруі деп түсінді. «Функция» (латын сөзі functio- орындау, атқару, жүзеге асыру) термині алғаш рет 1664 жылы неміс математигі Готфрид Лейбництің (1646-1716) еңбегінде кездескен. Ол функциялар деп абциссаларды, ординаталарды және қандай да бір сызықты сызып шығатын нүктемен байланысты басқа да кесінділерді атады. Математикалық аналиыздің одан әрі дамуы XVIII ғасырдың I жартысында-ақ функцияға көрнекі, яғни геометриялық немесе механикалық тұрғыдан қараудан оның аналитикалық, яғни алгебралық анықтамасына әкеп сайды. 1718 жылы Г.Лейбництің шәкірті әрі әріптесі швейцарлық математик Иоганн Бернулли (1667-1748ж) былай деп жазды: «Айнымалы шама функциясы деп осы шамамен тұрақты шамалардан қандай да бір тәсілмен құрастырылған санды айтады». Осыған ұқсас анықтаманы Бернуллидің шәкірті, академик Леонард Эйлер де берді, ол өзінің 1748 жылы Петербургте басылып шыққан «Анализге кіріспе» деген атақты шығармасында былай деп жазды: «Айнымалы шама функциясы деп осы айнымалы шамадан және сандардан немесе тұрақты шамалардан қандай да бәр тәсілмен құрастырылған аналитикалық өрнек болады». Сонымен, Бернулли мен Эйлердің көзқарасы бойынша әр бір функция аналитикалық өрнек болады, яғни қандай да бір формуламен өрнектелуге тиіс. Мыслаы, т.с.с. функцияға осылайша көзқарас бүкіл XVIII ғасыр бойына сақталып келді. Бұлай болып келуін ол дәуірдегі барлық белгілі функцияларды зерттеп тексеру үшін математикалық формулалардың ең жақсы және толығымен жеткілікті құрал болып табылатындығымен түсіндіруге болады. Координаталар әдісінің табылуы математиканың, жекелеп айтқанда геометрияның одан әрі өркендеп дамуында орасан зор роль атқарды. Геометрияда теоремаларды дәлелдегенде, есептерді шығарғанда қандай қиыншылықтармен кездесуге тура келетіндігі оқушыларға мәлім. Бұған көбінесе себеп болатын жағдай – элементар геометрияда жалпы әдістер болмайды. Ал алгебрадағы жағдай басқаша: мұнда есептерді теңдеулер құру және белгісіздерді белгілі бір ережелер немесе алгоритмдер бойынша табу арқылы шығаруға арналған жалпы тәсіл бар. Жазықтықта декарттық координаталар системасын таңдап алып, жазықтықтың кез келген нүктесінің орнын оның координаталары, яғни сәйкес пар сандар арқылы анықтауға болады. Мысалы, түзу сызық алгебрада бірінші дәрежелі теңдеумен өрнектеледі. Сонымен, координаталар системасын қолдану арқылы нүктелерден сандарға, сызықтардан теңдеуге, геометриядан алгебраға көшуге және сөйтіп, алуан түрлі геометриялық есептерді шығарудың жалпы әдістерін табуға мүмкін болды. Екінші жағынан, координаталар әдісін қолданып, теңдеулердің графиктерін салуға, алгебрада формулалар және теңдеулер арқылы өрнектелген әр түрлі тәуелділіктерді геометрияда кескіндеп көрсетуге мүмкін болды. Мысалы, тура пропорционалдық тәуелділігінің графигі координаталар басы арқылы өтетін түзу болады; кері пропорционалдық тәуелділігінің графигі гипербола деп аталатын сызық болады. Графиктер шамалар арасындағы тәуелділіктің сипаты туралы көрнекі түсінік береді, олар ғылыммен техниканың әр түрлі салаларында жиі қолданылады. Қазіргі уақытта қандай да бір физикалық құбылыстың немесе техникалық процестің барысын автоматты түрде тіркеп отыратын арнаулы аспаптар жасалынып шығарылған. Функция ұғымының дамуы мен қалыптасуы сатысында 1733 жылы француз математигі Клеро оны белгілеуді ұсынды. Осы кезден бастап функцияны «f» символымен белгілейді. Ал аргументті ойлап тауып, оны ғылымға енгізген Иоганн Бернуллидің ұлы Даниил Бернулли. Ғылымның XIX ғасырдағы дамуы функция ұғымын кеңірек тұрғыдан қарастыруды талап етті. Бұл ұғымның негізі етіліп, екі жиынның сәйкестігі жөніндегі идея алынды. Көрнекті чех математигі Бернард Больцано (1781-1848ж) өзінің «Нағыз аналитикалық дәлелдеме» деген еңбегінде 1817 жылдың өзінде-ақ функцияны кез келген заң арқылы берілген тәуелділік ретінде анықтады, тек сонда айнымалылардың біреуінің әрбір мәніне екіншісінің белгілі бір мәні ғана сәйкес болуы шарт етіліп алынды. «Функциялар теориясы» деген еңбегінде (1830 жылы) былай деп жазған: «Бір санның екінші санға тәуелділік заңын біз өз қалауымызша ойлап ұйғаруымызға болады». Функцияның жаңа анықтамасын атақты орыс математигі Н.И.Лобачевскийдің 1834 жылы, неміс математигі Л.Дирихленің 1837 жылғы еібектерінде кездестіреміз. Н.И.Лобачевский былай деп жазған: «Жалпы ұғым талабы бойынша х-тің функциясы деп әрбір х-тің орнына берілетін және х-пен бірге біртіндеп өзгеретін санды атау керек. Функция мәні де аналитикалық өрнекпен, не шартпен берілуі мүмкін ». Ал Дирихле функция ұғымын былай анықтайды: «егер айнымалы х-тің әрбір мәніне у-тің белгілі бір мәні сәйкес болса, онда у айнымалысы х-тің функциясы болады және сонда бұл сәйкестіктің қалай тағайындалғандығының, яғни аналитикалық формуламен, графикпен, таблицамен немесе тіпті сөзбен тағайындалғандығының ешбір мәні жоқ». Бұл анықтамада аналитикалық өрнекке емес, екі айнымалы мәндердің жиындарының арасындағы сәйкестікке аударылып отыр, ал осы анықтама қазір мектепте де қолданылады, атап айтқанда: «Бұл жиынның әрбір элементіне екінші жиынның бірден артық емес элементі сәйкес болатын екі жиынның арасындағы сәйкестік функция деп аталады». Функцияны берудің қолайлы тәсілі көбінесе аналитикалық тәсіл, яғни функцияны теңдеулер арқылы немесе формулалар арқылы беру тәсілі болып табылады. Ал формула аргумент мәніне қандай амалдар тізбектей қолданғанда функцияның сәйкес мәні шығатынын көрсетеді. Функцияны аналитикалық тәсілмен беру ғылым мен техникада кеңінен қолданылады. Функцияны берудің ертеден қолданылып келе жатқан таблицалық тәсілінің де айтарлықтай маңызы бар. Мұның мысалдары ретінде ғылым мен техникада қолданылатын әртүрлі математикалық таблицалар мен арнаулы таблицаларды атауға болады, бұлардың арасында тіпті ерте кездің өзінде-ақ қолданылған сандардың квадраттарының, кубтарының, квадрат түбірлерінің таблицалары мен тригонометриялық таблицлары бар. Координаталар системасын пайдаланып, функцияны графиктік тәсілмен беруге болады. Функция графигі көбінесе функцияның геометриялық интерпетациясы үшін пайдаланылады, кейде оны беру тәсілі ретінде де қолданылады.Мысалы, температураның, атмосфералық қысымның және басқа да шамалардың уақытқа байланысты өзгерісін жазып отыратын аспаптар көмегімен функция беріледі. GeoGebra бағдарламасына әдістемелік жағынан қарайтын болсақ, оқылып жатқан оқу материалдарын әртүрлі деңгейде түсіндіріп, иллюстративті сызбадан, зерттеу сызбасына дейін деңгейін көтеруге болады. Тағы бір ерекшелігі ол сызбаларды салу үрдісі кезінде оқушылардың көптеген материалдарды меңгереді, математикалық білімі артады. Бастапқы кезде мектепте функцияны оқыту мынадай схема бойынша жүргiзiледi: 1) жаңа функцияны үйренуге байланысты лайықты есептi қарастыру; 2) тәжiрибелiк материалдар негiзiнде функцияның математикалық анықтамасын тұжырымдау (формуланы хабарлау); 3) функция мәндерiнiң таблицасын кұру және “нүктелер” арқылы функцияның графигiн салу; 4) функцияның графигi бойынша оның негiзгi қасиеттерiн зерттеу; 5) қарастырылған функцияның қасиеттерiнiң қолданылуына мысалдар мен жаттығулар орындау. Бұл схеманың ерекшелiгi функцияны зерттеуде көрнекi-геометриялық тәсiлге сүйенедi, функцияны аналитикалық тәсiлмен зерттеу аз қолданылады. Функцияны көрнекi-геометриялық және аналитикалық тәсiлмен зерттеудiң арасындағы арақатыс оқу материалын баяндаудын қатаң деңгейiн сақтайды. Функцияны оқытудың қатаң деңгейлiгi оны аналитикалық тәсiлмен зерттеудiң ролiн күшейту арқылы ғана жүзеге асырылады. Функцияны зерттеуде көрнекi-геометриялық және аналитикалық тәсiлдердi үйлестiру функцияны оқыту әдiстемесiндегi ең негiзгi әдiстердiң бiрi болып табылады. Функция мәндерiнiң кестесiн құрғанда оны есептеу үшiн микрокалькуляторды пайдаланған тиiмдi. Функцияны аналитикалық тәсiлмен зерттеудiң ролiнiң артуына байланысты жоғары сыныптарда функцияны оқытудың схемасы былайша өзгередi: 1) лайықты есеп қарастыру; 2) функцияның анықтамасын тұжырымдау; 3) функцияның қасиеттерiн аналитикалық тәсiлмен зерттеу; 4) аналитикалық зерттеу нәтижесiне сүйенiп функцияның графигiн салу; функция графигiн дәлiрек салу үшiн функцияның “мiнездемелiк” мәндерiн табу оларды функция графигiне салу және көрсету; 5) үйренген функцияның қасиеттерiн практикада қолдануға мысалдар мен жаттығулар орындау. Көрнекiлiк әрқашан қандай да бiр математикалық зандылықты әрдайым байқауға мүмкiндiк бере бермейдi. Мысалы, бiр координата жүйесiнде у=х, у=х2, у=х+х2 функцияларының графиктерi салынған. Үшiншi функция графигiнiң алғашқы екi функцияның графиктерiнiң қосындысынан тұратынын көзбен байқау қиын. Көрнекiлiк функция қасиеттерiн бiлуге мүмкiндiк бередi, ал қайсыбiр қасиеттерiн ажырата бiлуге итермелейдi. Функция графигiнiң көрнекiлiгi “жақсы” жәрдемдесетiн кейбiр жағдайларға мысалдар келтiрейiк. Көптеген жағдайда функция графигiн көрнекiлiк ретiнде қарастыруға тура келедi: 1) f(х)= (х) теңдеуiнiң х0 түбiрi f(х) және (х) функцияларының графиктерiнiң қиылысу нүктесiнiң абсциссасы болып табылады; 2) f(х)>0, f(х)<0 теңсiздiгi мен f(х)=0 теңдеуiнiң шешiмдерi бiрiншi жағдайда f(х) функциясы графигiнiң абсцисса өсiнiң жоғарғы жағында жатқан аралықтары, екiншi жағдайда оның төменгi жағында жатқан аралықтары, ал үшiншi жағдайда функция графигiнiң ох өсiмен қиылысу нүктесiнiң абсциссасы болады. 3) f(x)>g(x) теңсiздiгiнiң шешiмдерi f(x) функциясының графигiнiң g(x) функциясы графигiнiң үстiңгi жағында жатқан бөлiгiне сәйкес сандық өстегi аралық болады; 4) функцияның өсуi функция графигi оңға қарай жылжығанда оның жоғары қарай көтерiлетiнiн көрсетедi; 5) жұп функцияның графигi ордината өсiне қарағанда симметриялы, ал тақ функция графигi координаттың бас нүктесiне қарағанда симметриялы болады; 6) өзара керi функциялардың графиктерi у=х түзуiне қарағанда симметриялы болады; 7) g(x)=f(х)+C функцияның графигi f(х) функцияның графигiн ордината өсi бойымен С бiрлiкке параллель жылжыту арқылы шығады; 8) g(x)=kf(x) функцияның графигi f(x) функцияның графигiн ордината өсi бойынша k есе сығу немесе созу арқылы анықталады. g(x)=f(x-c) теңдiгi g(x) функциясының графигi f(x) функциясының графигiн абсцисса өсi бойынша с бiрлiкке параллель жылжыту арқылы шығады. Оқушылардың графикалық ойлауын дамытуға мынадай жаттығулар әсер етедi: “Төмендегi жағдайларды иллюстрациялайтын: 1) 2 саны f(х)=g(х) теңдеуiнiң түбiрi болатын; 2) f(х)>0 теңсiздiгiнiң шешiмдерiн анықтайтын; 3) f(х)<0 теңсiздiгiнiң шешiмдерiн анықтайтын; 4) f(х), g(x), h(x) функцияларының кесiндiсiнде өсетiндiгiн; 5)функцияның жұптығын көрсететiн бiрнеше суреттер салыңдар”. Оқушылардың графикалық ойлауын дамытуға жақсы әсер ететiн тәсiлдердiң бiрi екi функцияның графиктерiнiң өзара орналасуын анықтауға берiлген есептер шығару (функцияның ортақ нүктелерi бар ма немесе жоқ па, олардың қиылысу нүктелерiнiң саны қанша, қай аралықта бұл функциялардың бiреуiнiң графиктерiнiң екiншiсiне қарағанда оның жоғарғы (төменгi) жағында жатады т.с.с.). Мұндай тапсырмаларға мысалдар келтiрейiк: 1) у=x және у=х2; 2) у=х2 және y=1түзуi; 3) у=2х+3 және х=5; 4) у=х2 және у=х2–1 функциялары графиктерiнiң орналасуын сипаттаңдар. Сызықтық функцияны оқыту әдiстемесi Сызықтық функция. Сызықтық функцияны оқытудың әртүрлi әдiстемелiк нұсқауларын келтiрейiк. 1. Сызықтық функцияға келтiретiн лайықты есеп қарастырылады. 1) “Тас жол бойында бiр-бiрiнен 20 км қашықтықта орналасқан А және В пункттерi берiлген. Мотоциклшi В пунктiнен А пунктiне қарама-қарсы бағытта 50 км/сағ жылдамдықпен жолға шықты. t сағат уақыт iшiнде мотоциклшi 50t+20 км қашықтықта болады. Егер мотоциклшi мен А пунктiне дейiнгi ара қашықтықты S (км) деп белгiлесек, онда уақытқа байланысты бұл арақашықтықты S=50t+20, (мұндағы t 0) формуласы түрiнде беруге болады”; 2) “Оқушы сатып алынған дәптердiң әрқайсысына 3 тг және қаламға 35 тг төледi. Сатып алу құны дәптердiң санына байланысты болады. Сатып алынған дәптердiң санын х-пен, ал сатып алу құнын у пен белгiлесек, онда у=3х+35 болады, мұндағы х-натурал сан”. Әр түрлi құбылысты өрнектейтiн S=50t+20 және у=3х+35 формуларының математикалық құрылымдары бiрдей, оларды жалпы түрде у=kx+b (мұндағы х-функцияның аргументi; у-тәуелдi айнымалы; k және b-кейбiр сандар) формуласымен жазуға болады. Мұндай функцияға сызықтық функциядеген атау берiлген. Бұдан кейiн сызықтық функцияның анықтамасы тұжырымдалады: у=kx+b формуласы түрiнде берiлген функцияны сызықтық функция деп атайды (мұндағы, х-тәуелсiз айнымалы: k және b-сандар). Сызықтық функцияның дербес жағдайлары: y=kx және y=b келтiрiледi. Сызықтық функцияның қасиеттерiн оқыту алдында оқушыларға “функцияның қасиеттерi” деген сөздiң мағынасын түсiндiру керек. Бұл оларға кейiнгi баяндауларды мақсатты түрде түсiнуге мүмкiндiк бередi. Функцияның қасиеттерi – айнымалы х қалай өзгергенде айнымалы у-тiң оған байланысты қалай өзгеретiнiн (өседi, кемидi, тұрақты, оң мәндер, терiс мәндер қабылдайды т.с.с.) анықтау болып табылады. 6-сыныпта сызықтық функцияның қасиеттерi оның графигi арқылы сипатталады. Бұдан кейiн мәселен у=0,5х-2 функциясы қарастырылады: оның мәндерiнiң кестесi құрылады; координата жазықтығында осы кестеде берiлген нүктелер салынады; сонда шыққан нүктелердiң бiр түзудiң бойында жататындығы көрсетiледi. у=0,5х-2 сызықтық функцияның графигi түзу сызық болатыны туралы қорытынды жасалады. Жалпы ұйғарым тұжырымдалады: сызықтық функцияның графигi түзу сызық болып табылады. Бұл қорытынды тағы да басқа сызықтық функциялардың: y=1,5x-1, y=-x-1, y=3x-1, y=2x+1 графиктерiн салу арқылы бекiтiледi (бұл функциялардың графиктерi бiрнеше нүктелер, мысалы алты нүкте арқылы салынады). Сызықтық функцияның k немесе b сандарын өзгерту арқылы әртүрлi сызықтық функциялар шығарып алуға болады. k және b сандарының сызықтық функцияның координата жазықтығындағы графигiне қандай әсерi болатынын анықтауды алдымызға мақсат етiп қоялық. y=0,5х+1 және y=0,5х-3 сызықтық функцияларын аламыз. Басқаша айтқанда, функция тұжырымдамасы компоненттерінің жүйесінде оқытуда ерекшеленуі керек және олардың арасындағы байланыс орнатылған. Бұл жүйе келесі компоненттерді қамтиды: - айнымалылардың функционалдық тәуелділігін ұсыну нақты процестер мен математикадағы құндылықтар; - функцияны сәйкестік ретінде ұсыну; - функционалдық графиктерді құру және пайдалану, функцияларды зерттеу; - әртүрлі анықталған функциялардың мәндерін есептеу жолдары. жүктеу/скачать 1.74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|