I тарау. Графиктер мен Функциялар оқыту әдістемесі мен қолданылатын құралдар
II - тарау.Графиктер мен Функциялар оқытуда заманауи әдіс-тәсілдерді қолдану тәжірибесі
жүктеу/скачать 1.74 Mb.
|
| II - тарау.Графиктер мен Функциялар оқытуда заманауи әдіс-тәсілдерді қолдану тәжірибесі
6.Geogebra-ны және белсенді әдіс-тәсілдерді пайдаланып 8-сыныпта функциялар тақырыбын оқыту GeoGebra – динамикалық геометрияның еркін таралған ортасы. Дәлірек айтсақ, циркуль мен сызғыштың көмегімен салу үшін GeoGebra планиметриядағы салулардың анимациялануына мүмкіндік береді. Функциялармен жұмыс істеуде GeoGebra-ның мүмкіндігі кең: графиктер салу, түбірді, экстремумдарды, интегралдарды есептеу және т.б. Бағдарламада геометриялық салуларды басқаруға мүмкіндік беретін қосалқы құру тілі бар. Geogebra-ны және белсенді әдіс-тәсілдерді пайдаланып 8-сыныпта функциялар тақырыбын оқыту төменде салу есептерін шығару әдістері мен жолдарын көрсетейік. Сызғыш және циркульдің көмегімен негізгі салулар: -Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу. -Берілген бұрышқа тең бұрыш салу. -Екі қабырғасы мен олардың арасындығы бұрышы бойынша үшбұрыш салу. -Бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша үшбұрыш салу. -Кесіндіні қақ бөлу. -Перпендикуляр салу. -Берілген түзуге параллель түзу салу. -Бұрыштың биссектрисасын салу. -Берілген екі кесіндінің қосындысы мен айырмасын салу. -Кесіндіні бірдей n бөлікке бөлу. -Орта пропорционалды салу. -Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді салу. -x/a=b/c орындалатын х кесіндісін салу. -Екі катеті бойынша тікбұрышты үшбұрыш салу. -Бір катеті мен гипотенузасы бойынша тікбұрышты үшбұрыш салу. -Берілген бұрышты қамтитын доғаны салу. -Берілген түзуге симметриялы түзуді салу. -Берілген нүктеге симметриялы түзуді (нүктені) салу. -Диаметрі АВ болатын шеңберді салу. -Берілген нүкте арқылы өтетін центрі берілген шеңбер салу. -Берілген шеңберге берілген нүктеде жанама салу. -Берілген екі нүкте арқылы өтетін радиусы берілген шеңбер салу. -Элементар салу арқылы фигураны бөлікке бөлу. -Бұру арқылы нүкте, түзу және шеңбер салу. Қосымша (көмекші) салулар: -«Берілген екі нүктені кесінді арқылы қосайық», «Кесіндіні созайық», т.с.с. -Берілген сәуледен берілген кесіндіні алу. -Берілген жарты жазықтықта берілген бұрышқа тең сәулені алу. -Трапецияның бүйір қабырғаларын немесе диагональдарын параллель көшіру. Көмекші шеңберлер әдісі. -Берілген түзуге берілген нүкте арқылы параллель түзу жүргіземіз. -Берілген нүктеден берілген түзуге перпендикуляр түсіреміз. -Медиананың созындысына оған тең кесінді саламыз. -Кесінділерді сынық сызықтарға келтіру (max және min табуға арналған есептерде). -Сызықты осьтік симметрияның көмегімен тұйық сыныққа ауыстыру. -Үшбұрыштың бұрыштарының немесе екі қабырғасының қосындысы мен айырмасын салу. Геометриялық түрлендірулер: -Түзуге қатысты симметрия. -Бұруды екі осьтік симметрияның композициясы арқылы ауыстыру. -Бұруды қолдану. -Параллель көшіруді екі симметрияның композициясымен ауыстыру. -Параллель көшіруді қолдану. -Симметрия сынықты түзуге айналдырады. -Центрлік симметрияны қолдану. -Гомотетияны қолдану. -Салу есептерін шығаруда ұқсастық әдісін қолдану. -Берілген фигураға гомотетиялы фигураны салу. Ауыстырулар: -Екі жанаманы кесіндімен ауыстыру. -Нүктелерді бейнелеу фигураны толық бейнелеумен алмастырылады. Алгебралық әдістердің қолданысы: -Геометриялық есептерді теңдеу құру арқылы шешу. -Салу есептерін аналитикалық әдіспен шешу. -Көпмүшелердің бүтін түбірлерін табу. -Теңдеулер мен теңсіздіктерді мүшелеп қосу және көбейту. -Тригонометриялық теңдеулер. -Координаталар әдісі. -Векторларды қолдану. -Туындының көмегімен функцияны зерттеу. Басқа әдістер мен тәсілдер: -Геометриялық орындар әдісі. -Айқас бұрыштардың теңдігі көмегімен перпендикулярлықты дәлелдеу. -«Кері жору» әдісімен дәлелдеу. -Үш шеңбер (түзулер) бір нүктеде қиылысады. -Көмекші ұқсас үшбұрыштар. -Ұқсас үшбұрыштардың бірнешеуін қарастыру. -Көмекші тең үшбұрыштар. -Дәлелдеуде жалғыздықты қолдану. -Аудандар әдісі. -Фигураның ауданын оның бөліктерінің аудандарының қосындысы түрінде қарастыру. -Косинустар теоремасын қолдану. -Бұрыштарды есепке алу. -Екі шаманың өлшемді және өлшемсіздігі идеясын қолдану. -Фигураның шектеулілігін пайдалану. -Шеңберде қос-қостан қиылысатын үш түзу. -Көпбұрыштардың төбелерінің санын ескеру. -Сызбаны бүгу арқылы пайда болған түзуге қатысты симметрия. -Екі шеті параллель болатын сызғыштың көмегімен салу. -Бір циркульмен салу. Элементар салуларды математика курсының құралдар аксиомаларын сақтай отырып, сабақ барысында заманауи техналогияларды қолдануға қосымша мүмкіндік беретін Geogebra бағдарламасын қолданып салуды қарастырайық [19]. GeoGebra (www.geogebra.org) тегін интерактивті математикалық орта (ИМО) болып табылады. Планиметрия курсының сызбаларын, әсіресе, сызғыш пен циркуль көмегімен салынатын есептерді салуда пайдасы көп. Бағдарлама толығымен қазақ тіліне аударылған. Әлемдегі ең танымал математикалық интерактивті бағдарлама ретінде танылған GeoGebra көптеген марапаттау мен сыйларға ие болды. Сонымен қатар STEM оқытуға және дүние жүзі бойынша білім берудегі инновациаларға қолдау білдіреді. 2013-жылдың маусымында Еуропалық заманауи білім беруге арналған журналында (European Journal of Contemporary Education, ISSN 2304-9650), GeoGebra бағдарламасын оқу процесінде пайдалану мүмкіндіктеріне арналған арнайы басылым шықты Жоғарыда көрсетілген құралдарды пайдалана отырып мектеп курсының элементар салу есептерін салайық. Есептер қарастырайық: және ұштары берілген кесіндінің ортасын салу. Бұл есептің шешуін әр-түрлі құралдар көмегімен табамыз. I. Циркуль және сызғыш 2.22-суреттің тізбектей салынуы: 1. түзуін (2 негізгі салу); (екі нүкте арасындағы кесінді) 2. шеңберін (4 негізгі салу); (циркуль) 3. шеңберін; (циркуль) 4. және шеңберлерінің және ортақ нүктелерін (6 негізгі салу); (екі обьектінің қиылысуы) 5. түзуін (2 негізгі салу); (екі нүкте арасындағы кесінді) 6. және түзулерінің ортақ нүктесін; (екі обьектінің қиылысуы) (GeoGebra бағдарламасындағы қызметін атқаратын команда) , яғни нүктесінің ізделінді нүкте екеніне оңай көз жеткізуге болады. 2.22-сурет. GeoGebra ортасында кесіндіні қаққа бөлу II. Циркуль 2.23 суреттің тізбектей салынуы: 1. шеңберін (аксиома Б, а); (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 2. шеңберін; (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 3. және шеңберлерінің ортақ нүктесін (6, 7 аксиома); (екі объектінің қиылысуы) 4. ; шеңберін; (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 5. және шеңберлерінің, нүктесінен басқа, D ортақ нүктесін; (екі объектінің қиылысуы) 6. шеңберін; (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 7. және шеңберлерінің нүктесінен басқа, ортақ нүктесін; (екі объектінің қиылысуы) және бір түзуде орналасқанын ескерсек және де . Әрі қарай саламыз 8. шеңберін; (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 9. және шеңберлерінің және ортақ нүктелерін; (екі объектінің қиылысуы) 10. шеңберін; (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 11. шеңберін; (нүкте және центр арқылы салынған шеңбер) 12. және шеңберлерінің, нүктесінен басқа, ортақ нүктесін; (екі объектінің қиылысуы) нүктесі кесіндісінде орналасқанын көруге болады. Сонымен бірге, үшбұрышы үшбұрышына ұқсас, өйткені олар тең бүйірлі және табанында ортақ бұрышы бар. Сондықтан, , немесе , демек , яғни - ізделінді нүкте. 2.23-сурет. GeoGebra ортасында циркуль көмегімен салу есебінің орындалуы III. Екі жақты сызғыш 2.24-суреттің тізбектей салынуы: 1. түзуін (аксиома В, а); (екі нүкте арқылы өтетін түзу) 2. -ға параллель және одан қашықтықта өтетін түзуін ( -сызғыш ені); (параллель түзу) 3. -ға параллель және одан қашықтықта өтетін, түзуінен басқа, түзуін; (параллель түзу) 4. түзуінде нүктесін (7 аксиома); (жаңа нүкте) 5. және түзулерін; (екі нүкте арқылы өтетін түзу) 6. және нүктелерін (6, 7 аксиома); (екі объектінің қиылысуы) ( жазуы, және түзулерінің қиылысу нүктесі екенін білдіреді) 7. және түзулерін; (екі нүкте арқылы өтетін түзу) 8. ; (екі объектінің қиылысуы) 9. түзуін; (екі нүкте арқылы өтетін түзу) 10. ; (екі объектінің қиылысуы) - үшбұрышының орта сызығы болғандықтан, және - оның медианалары, ал бұдан, - медиана, демек - ізделінді нүкте. 2.24-сурет. GeoGebra ортасында үшбұрыштың орта сызығын салу IV. Тік бұрыш 2.25-суреттің тізбектей салынуы: 1. түзуін саламыз (аксиома Г, а); (перпендикуляр түзу) 2. түзуіне перпендикуляр a және b түзулерін жүргіземіз (аксиома Г, ә) 3. a түзуінде, нүктесінен басқа өз еркімізше нүктесін аламыз (4,7аксиома); (екі объектінің қиылысуы) 4. нүктесі арқылы түзуіне түзуінде c перпендикулярын жүргіземіз. Әрі қарай тізбектей саламыз: (перпендикуляр түзу) 5. (7 аксиома); (екі объектінің қиылысуы) 6. және түзулерін; (перпендикуляр түзу) 7. нүктесін; (екі объектінің қиылысуы) 8. түзуіне перпендикуляр түзуін; (перпендикуляр түзу) 9. нүктесін; - ізделінді нүкте.(екі объектінің қиылысуы) 2.25-сурет. GeoGebra ортасында екі объектінің қиылысуы Қандай да бір салу есебінің бірнеше шешімі болуы мүмкін, яғни есептің барлық шартын қанағатандыратын әртүрлі фигуралар бар. Салу есебін шешу - есептің барлық шешімін табуды білдіреді. Бұл анықтама кейбір түсініктемелерді талап етеді. Есеп шартын қанағаттандыратын фигуралар пішінімен және өлшемдерімен ерекшеленсе, сол сияқты жазықтықтағы орнымен ерекшеленеді. Мысалы, қарапайым есепті қарастырайық: екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу. Бұл есептің дәл мағынасы келесіде: екі қабырғасы, сәйкесінше, берілген екі кесіндіге, ал олардың арасындағы бұрыш берілген бұрышқа тең болатындай үшбұрыш салу, мұнда ізделінді фигура (үшбұрыш) берілген фигуралармен (екі кесінді және бұрыш) тек теңдік арақатынасымен байланысты, ізделінді фигураның орналасуы басқа фигурамен салыстырғанда талғаусыз. Бұл жағдайда есеп шартын қанағаттандыратын үшбұрышын салу оңай. үшбұрышына тең барлық үшбұрыштар есеп шарттарын қанағаттандырады. Бірақ бұл үшбұрыштарды берілген есептің әр-түрлі шешімдері ретінде қарастырудың мағынасы жоқ, өйткені олар бір-бірімен тек жазықтықта орналасуымен ерекшеленеді. Сондықтан есептің бір ғана шешімі бар деп есептейміз. Күрделі есептердің шешіміне жиі құрама бөліктері ретінде кіретін көптеген қарапайым геометриялық салу есептері бар. Мұндай текті есептер, әдетте, мектеп курсындағы геометрияның бірінші тарауларында қарастырылады. Элементар есептер қатарына келесілер жатады: 1. Берілген кесіндіні қақ бөлу. 2. Берілген бұрышты қақ бөлу. 3. Берілген түзуде берілген кесіндіге тең кесінді салу. 4. Берілген бұрышқа тең бұрыш салу. 5. Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген түзуге параллель түзу салу. 6. Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген түзуге перпендикуляр түзу салу. 7. Берілген қатынаста кесіндіні қақ бөлу. 8. Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу. 9. Бір қабырғасы және іргелес жатқан екі бұрышы бойынша үшбұрыш салу. 10. Екі қабырғасы және олар арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу керек [20]. Бұл элементар есептердің толық шешімдерін біз циркуль және сызғыш көмегімен құрамыз. Бірінші есепті жоғарыда қарастырдық. Қалған есептерді қарастырайық. 2. Берілген бұрыштың биссектрисасын салу бұрышын саламыз. 2.26-суреттің тізбектей салынуы: 1) шеңберін (аксиома Б, а); 2) және ортақ нүктелерін (6 негізгі салу); 3) шеңберін; 4) шеңберін; 5) және шеңберлерінің ортақ нүктесін; 6) түзуін (2 негізгі салу); сәулесі – берілген бұрыш биссектрисасы. 2.26-сурет. GeoGebra ортасында бұрыштың биссектрисасын салу Дәлелдейік: және үшбұрыштарын қарастырайық: , өйткені 1) - ортақ қабырға; 2) – шеңбер радиустары; 3) (салу бойынша). Бұдан, үш қабырғасы бойынша. Яғни, - берілген бұрыш биссектрисасы. 3. Берілген сәуле басынан, берілген кесіндіге тең, кесінді салу кесіндісі, сәулесі берілген. 2.27-суреттің тізбектей салынуы: 1) сәулесін (1 негізгі салу); 2) шеңберін (аксиома Б, а); 3) нүктесін, мұнда - сәулесі мен w шеңберінің қиылысу нүктесі (6 негізгі салу); - ізделінді кесінді. 2.27-сурет. GeoGebra ортасында берілген кесіндіге тең кесінді салу 4. Берілген бұрышқа тең, берілген сәуледе бұрыш салу Бұрыш және сәулесі берілген. 2.28-суреттің тізбектей салынуы: 1) шеңберін ( аксиома Б, а); 2) шеңберінің бұрышымен ортақ және нүктелерін (2.28-суреттің біріншісі) (6 негізгі салу); 3) шеңберін ( 2.28-суреттің екіншісі); 4) және шеңберінің ортақ нүктесін; 5) шеңберін; 6) және шеңберлерінің ортақ нүктесін; 7) түзуін (2 негізгі салу). бұрышы - ізделінді. Дәлелдеу үшін және үшбұрыштары сәйкес қабырғалары тең екенін ескеру жеткілікті. және бұрыштар осы үшбұрыштардың сәйкес бұрыштары. 2.28-сурет. GeoGebra ортасында бұрышқа тең бұрыш салу 5. Берілген нүктесі арқылы өтетін, берілген түзуіне перпендикуляр түзу жүргізу түзуі және осы түзуге тиісті нүктесі берілген. 2.29-суреттің тізбектей салынуы: 1) және тең кесінділер (2 негізгі салу); 2) шеңберін (аксиома Б, а); 3) шеңберін; 4) және шеңберлерінің ортақ және нүктелерін; 5) немесе түзулерін жүргіземіз (2 негізгі салу); - ізделінді түзу, өйткені тең бүйірлі үшбұрыштың медианасы, биіктігі болып табылады, онда . 2.29-сурет. GeoGebra ортасында берілген нүкте арқылы түзуге перпендикуляр түсіру 6. А нүктесі арқылы өтетін, берілген түзуге параллель түзу жүргізу 2.30-суреттің тізбектей салынуы: 1) түзуін (1 негізгі салу); 2) шеңберін (аксиома Б, а); 3) нүктесін, мұнда - шеңбері мен а түзуінің қиылысу нүктесі; 4) шеңберін; 5) нүктесін, мұнда - шеңберінің қиылысу нүктесі; 6) шеңберін; 7) нүктесін, мұнда - және шеберлерінің қиылысу нүктесі; 8) түзуін (2 негізгі салу); . 2.30-сурет. GeoGebra ортасында берілген нүкте арқылы берілген түзуге параллель түзу жүргізу 7. Берілген кесіндісін тең бөлікке бөлу нүктесінен түзуінде жатпайтын жарты түзуін жүргіземіз. жарты түзуінде тең кесінділер саламыз. және нүктелері арқылы түзуін жүргіземіз. нүктелері арқылы өтетін, түзуіне параллель түзулер 2.31-суретте көрсетілгендей түзуін тең n бөлікке нүктелерінде қияды. 2.31-сурет. GeoGebra ортасында берілген кесіндігі бөлікке бөлу 8.Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу кесінділері берілген. 2.32-суретте көрсетілгендей үшбұрышын салу керек, мұнда , , . түзуін жүргізіп, циркуль көмегімен, кесіндісіне тең, кесіндісін саламыз. Одан әрі тізбектей саламыз: 1) шеңберін (аксиома Б, а); 2) шеңберін; 3) және шеңберлерінің ортақ нүктесі (6 негізгі салу); 4) және кесіндісі (2 негізгі салу); – ізделінді. 2.32-сурет. GeoGebra ортасында үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу Салу бойынша , , яғни үшбұрышының қабырғалары берілген кесінділерге тең. Бұл есептің әрқашан шешімі болмайды. Шынында да, қандай үшбұрыштың болмасын екі қабырғасының қосындысы үшінші қабырғадан үлкен, сондықтан егер қандайда кесінділердің бірі басқа екеуінің қосындысынан үлкен немесе тең болса, онда қабырғалары берілген кесінділерге тең үшбұрыш салуға болмайды [21]. 9. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу , , кесінділері және берілген. , , . үшбұрышын салу керек. 2.33-суреттің тізбектей салынуы: 1) түзуі (1 негізгі салу); 2) түзуіне тиісті кесінді (2 негізгі салу); 3) (3 мысал); 4) кесіндісін жүргіземіз (2 негізгі салу); 5) кесіндісін жүргіземіз (2 негізгі салу); Үшбұрыш – ізделінді. 2.33-сурет. GeoGebra ортасында екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш салу жүктеу/скачать 1.74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|