И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
| Занятие 3
Вдоль по Африке, или Примеры для некоторых и контрпримеры для всех Но папочка и мамочка уснули вечерком, А Танечка и Ванечка — в Африку бегом, — В Африку! В Африку! К. И. Чуковский Школьники часто начинают решение задачи с поиска подходяще- го примера. Но тут встают три вопроса. Как такой пример подобрать? В каких случаях достаточно привести один пример для полного реше- ния задачи? Что делать в остальных случаях? На этом занятии мы постараемся научиться отвечать на самый простой вопрос, но от это- го не менее важный: на второй. Умение отличать решенную задачу от нерешенной — основа математической культуры. Отвечать на первый вопрос помогут другие выпуски нашей серии, а на третий — только го- ды занятий. При составлении этого занятия мы вновь постарались учесть инте- ресы разнородного по составу кружка. Вопрос применимости примеров и контрпримеров актуален прежде всего для начинающих, сложность задач для самостоятельного решения на приведение примера разнооб- разна, а рассуждения про пустое множество и парадоксы про Деда Мо- 23 роза достаточно сложны. Чисто логические вопросы можно разбавить конструктивами по вкусу. Во введении обсуждается применимость примеров (в том числе контрпримеров) к доказательству и опровержению частных и общих высказываний. Истинность таких высказываний предлагается опре- делить и в большинстве задач. Но мы сознательно нарушили чистоту жанра, включив в занятие задачи 3.6 и 3.7 с вопросом «можно или нельзя?», в которых фактически требуется определить, что верно: частное высказывание или его отрицание. Надеемся, что пяти- и шестиклассникам будет интересно разыграть сценку с Танечкой и Ванечкой в начале занятия. Текст четырем «ар- тистам» стоит выдать заранее, но учить его наизусть незачем, пусть подглядывают в шпаргалки. Таблицу рекомендуем изобразить на дос- ке, можно с сокращениями. Более опытных кружковцев могут заинтересовать два сюжета. Первый связан с гипотезами Гольдбаха (задача 3.2). Это уникальный случай, когда формулировка совсем недавнего выдающегося матема- тического достижения понятна школьнику. Участники кружка могут совместными усилиями проверить гипотезу Гольдбаха для чисел из первой сотни (если каждому поручить свой отрезок числового ряда), осознать необходимость доказательства, а затем узнать историю про- блемы и вместе порадоваться успеху Хельфготта. Второй тонкий вопрос — это истинность любого общего выска- зывания об элементах пустого множества (задачи 3.3—3.5 и 3.12). В школьной программе он игнорируется из-за несоответствия фор- мального и житейского подхода к нему. Это приводит к неоднозначно- му толкованию условия некоторых задач (в частности, с параметром). Несложная задача 3.11 служит для повторения материала предыду- щего занятия, а ее сюжет связан с гораздо более сложной следующей задачей-парадоксом 3.12. Задача 3.13 позволяет эффектно завершить занятие. Она не имеет отношения к его теме, содержательно в ней развивается наиболее слож- ная идея первого занятия, а сюжетно — линия Деда Мороза. Можно в начале занятия не выдавать ее вместе с другими задачами, а дать «на сладкое» двум кружковцам, решившим другие задачи быстрее осталь- ных. В задаче 3.12 обсуждается существование Деда Мороза. После это- го самое время выпустить «на сцену» двух «артистов», которые неопро- вержимо докажут существование Деда Мороза! Однажды Танечка и Ванечка услышали про Африку. И подумали, что в Африке водятся большие звери. Они дождались, когда мама с папой уснули, и убежали в Аф- рику. Там Танечка успела увидеть только мартышку, а Ва- 24 нечка бегемота. Тут как раз проснулись родители. Они обо всем догадались и забрали детей из Африки домой. На об- ратном пути дети заспорили. — Правда, африканские звери большие? Я же сам ви- дел! — спросил у папы Ваня. — Нет, африканские звери маленькие, — не соглаша- лась Таня. — Я тоже сама видела. Вот скажи, папа, кто из нас прав? — А это смотря как понимать вопрос, — начал папа. — Можно так: «Верно ли, что НЕКОТОРЫЕ африканские звери большие?» — Да, верно! — торжествующе посмотрел на сестру Ва- ня. — Например, бегемот, которого я видел. — Молодец, — похвалил папа. — Для ответа «Да» на вопрос про некоторых достаточно привести один пример. — А если бы я не увидел бегемота? — забеспокоился Ваня. — Тогда из-за Танькиной мартышки ответ был бы «Нет, неправда»? — Ну что ты! — успокоил его папа. — Размеры живот- ных не зависят от того, видишь ли ты их. Даже если встре- тишь тысячу маленьких мартышек, отвечать «Нет» еще рано. Понимаешь почему? — Понимаю, — сказал Ваня. — Бегемот или другой пример мог просто хорошо спрятаться! — Поэтому ответ «Нет» на вопрос про некоторых объ- яснить бывает непросто, — вздохнула мама. — Для этого требуется настоящее доказательство. А папа продолжил: — Но ваш вопрос можно понять и совсем по-другому: «Верно ли, что ВСЕ африканские звери большие?». — Откуда мы знаем? Мы же не успели увидеть всех зве- рей, — начал было Ваня, но Танечка его перебила: — А вот и знаем! Не все. Ведь я же видела маленькую мартышку! — Хорошо, что ты ее увидела, — похвалил папа. — Твоя мартышка — прекрасныйff 25 — Пример! — перебила Танечка. — Почти, — согласился папа. — Только пример, кото- рый помогает опровергнуть предположение, называется КОНТРПРИМЕР. И для ответа «Нет» на вопрос про всех достаточно привести один контрпример. — А если ответ был бы «Да»? — хором спросили де- ти. — Как называется нужный пример? — Никак не называется, — ответил папа. — Потому что его нет. Никакими примерами не убедишь, что где-нибудь ВСЕ звери большие. — Поэтому ответ «Да» на вопрос про всех объяснить бывает непросто, — вздохнула мама. — Для этого требует- ся настоящее доказательство. — А если ты уже тысячу зверей встретил и все они большие? — с надеждой спросил Ванечка. — Ну и что! — победно вскричала Танечка. — Хоть миллион! Моя маленькая мартышка тем более могла спря- таться! Еще получше твоего бегемота! Пока Танечка и Ванечка выясняют, кто лучше прячет- ся, опишем с помощью таблицы два типа утверждений: О чем речь? О некоторых Обо всех Пример утверждения НЕКОТОРЫЕ афри- канские звери большие ВСЕ африканские звери большие Как доказать Привести пример (найти бегемота) ??? Как опровергнуть ??? Привести контрпример (найти мартышку) Там, где стоят знаки вопроса, общего рецепта нет, для каждой задачи приходится искать свое доказательство. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|