И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задача 6.5.
- Комментарий.
| Задача 6.4. Ни одна кочерга не мягкая. Все подушки
мягкие. Какой можно сделать вывод? Решение. Нарисовав высказывания, видим, что ника- кой предмет не является кочергой и подушкой одновре- менно. Сформулировать это можно двумя способами: «Ни одна кочерга не является подушкой» или «Ни одна подуш- ка не является кочергой» (рис. 16). Мягкое По душки Кочерги Рис. 16 Зачем математику уметь работать с абсурдными утвер- ждениями? В естественно возникающих задачах вряд ли могут встретиться вороны, собирающие картины. Однако с посылками сомнительной истинности приходится стал- киваться постоянно. И бывает полезно заранее понять, имеет ли смысл их доказывать или опровергать. Скажем, в условии задачи дано А и требуется определить, верно ли В. Пусть нам ясно, что В следует из Б, но неизвестно, верно ли Б. Стоит ли пытаться вывести Б из А? Да, стоит: если А ⇒ Б, то В верно. Но если окажется, что Б не следу- ет из А, то никакого вывода об истинности В сделать пока не удастся. Рассмотрим пример подобных рассуждений. Задача 6.5. Является ли точным квадратом число: а) 1234567; б) 10101 . . . 01 (всего 2015 единиц и 2014 нулей); в) 20122013201420152016? Ответ. а), б), в) Нет. Решение. а) Ни одно натуральное число, оканчивающе- еся на 7, не является квадратом натурального числа. Чис- 60 ло 1234567 оканчивается на 7. Следовательно, оно не яв- ляется квадратом. Комментарий. Логически решение безупречно, но вер- но оно, только если верны обе посылки. Истинность вто- рой не вызывает сомнений. Чтобы убедиться в истинности первой, достаточно поочередно возвести в квадрат все од- нозначные числа. А то, что последняя цифра числа пол- ностью определяет последнюю цифру его квадрата, ясно каждому, кто умеет умножать в столбик. б) Попробуем действовать так же и подумаем, верно ли высказывание: «Ни одно натуральное число, оканчи- вающееся на 1, не является точным квадратом». К сожа- лению, неверно. Контрпримерами служат, в частности, 1 и 81. К еще большему сожалению, из этого нельзя сде- лать никакого вывода, кроме того, что надо решать задачу по-другому. Рассмотрение двух последних цифр столь же бесполезно, квадрат числа вполне может оканчиваться на 01, например, 101 2 = 10201. Но что такое последняя циф- ра? Остаток от деления на 10 (а две последние цифры — от деления на 100). Рассматривая остатки от деления на 3, приходим к такому короткому решению: Сумма цифр данного числа равна 2015, поэтому оно да- ет остаток 2 при делении на 3. Но квадраты всех натураль- ных чисел делятся на 3 либо без остатка, либо с остатком 1. Значит, данное число не является точным квадратом. в) В этом числе сумма цифр сразу не видна, но ее мож- но вычислить. Прежде чем вычислять, подумаем, зачем это надо. Если она делится на 3 с остатком 2, то схема ре- шения та же, что и в предыдущем пункте. Нетрудно убе- диться, что так оно и есть; точно вычислять сумму необя- зательно. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|