И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задача 7.4.
- Комментарий.
- Задача 7.5.
| Комментарий. В этой задаче одно из противоречащих
друг другу утверждений — то, что требуется доказать (кре- стики могут как минимум не проиграть), а второе — его отрицание (нолики могут выиграть). Задача 7.4. В клетках шахматной доски как-то расстав- лены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9. Решение. Предположим противное: разность между числами, стоящими в любых двух соседних по стороне или вершине клетках, не превышает 8. Заметим, что рас- стояние между любыми двумя клетками не превышает семи королевских ходов. Поэтому разность между числа- ми в любых двух клетках по предположению не превы- шает 7 · 8 = 56. Но разность 64 − 1 = 63 > 56. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно и найдутся два числа в соседних клетках, отличающиеся не менее чем на 9. Комментарий. В этой задаче метод от противного при- менен в широком понимании: противоречащие друг другу утверждения («Числа в любых двух клетках отличаются не более чем на 56» и «Существуют две клетки, числа в ко- торых отличаются на 63») не сформулированы явно ни в условии задачи, ни в предположении, а получены из них. Задача 7.5. Острова архипелага связаны мостами так, что с каждого острова можно дойти до любого другого. Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных — четное. «Докажем», что можно обойти архи- пелаг, пройдя по каждому мосту ровно один раз. 68 «Доказательство». Предположим противное: хотя бы с трех островов ведет нечетное число мостов. Заходя на ост- ров, мы «тратим» два моста: по одному вошли, по друго- му вышли. Поэтому мосты, выходящие с каждого острова, можно объединить в пары. Нечетное число мостов может быть только на самом первом острове (мы с него вышли первый раз, не заходя перед этим) и на последнем (зашли, но не вышли). Если островов с нечетным числом мостов хотя бы три, приходим к противоречию, и пройти по всем мостам ровно один раз нельзя. А если таких островов не более двух, то можно. Верно ли это «доказательство»? Решение. Обозначим данное в задаче условие буквой А: «Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных — четное». То, что требуется дока- зать, обозначим как Б: «Можно прогуляться по архипела- гу, пройдя по каждому мосту ровно один раз». Итак, тре- буется доказать А ⇒ Б. А что доказано? Что если «нечет- ных» островов хотя бы три, то обойти архипелаг, прой- дя по разу по каждому мосту, нельзя. То есть доказано (вполне, кстати, верно) «не А» ⇒ «не Б» — противополож- ное утверждение, которое, как уже обсуждалось в задаче 6.1, отнюдь не равносильно нужному. И неверна в доказа- тельстве именно последняя фраза: «А если таких островов не более двух, то можно». Вот Б ⇒ А действительно рав- носильно «не А» ⇒ «не Б». Комментарий. 1) Итак, слова «предположим против- ное» и «пришли к противоречию» сами по себе не явля- ются магическим заклинанием. Распространенная ошиб- ка — вместо требуемого утверждения доказать обратное ему. 2) Само утверждение про архипелаг верно, но дока- зывается сложнее, чем обратное. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|