И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
| Занятие 3. Вдоль по Африке,
или Примеры для некоторых и контрпримеры для всех Задача 1. Определите, какие из утверждений верны. Где можно, подтвердите свой ответ примером (контрпримером). В остальных слу- чаях обоснуйте его по-другому. 1. Все нечетные числа простые. 2. Все простые числа нечетные. 3. Некоторые нечетные числа простые. 4. Некоторые простые числа нечетные. 5. Все четные числа составные. 6. Все числа вида p + 7, где p — простое, являются составными. Задача 2. Верно ли высказывание: «Любое нечетное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел»? Задача 3 ∗ . Верно ли утверждение: «Все дожившие до наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком»? Задача 4 ∗ . Рассмотрим два высказывания: А: Некоторым Мишиным одноклассникам 12 лет. Б: Всем Мишиным одноклассникам 12 лет. Можно ли, ничего не зная про Мишу, утверждать, что: 1) если верно А, то верно и Б; 2) если верно Б, то верно и А? Задача 5. Землянин Вася сказал: «Все марсиане лжецы». Прав ли Вася? Задача 6. Есть 30 гирек, которые весят 1 г, 2 г, 3 г, ff, 30 г. Можно ли разложить их: 1) на две кучки одинакового веса; 2) на три кучки одинакового веса? Задача 7. 1) Можно ли заполнить таблицу 3 × 3 натуральными чис- лами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четным числом, а в каждом столбце — нечетным? 2) А таблицу 4 × 4? Задача 8. Верно ли, что периметр любого четырехугольника, цели- ком находящегося внутри данного квадрата, меньше периметра этого квадрата? Задача 9. Верно ли, что все числа вида 2 n + 15, где n — натуральное число, простые? Задача 10. Рассмотрим натуральные числа, в записи которых нет нулей. 1) Найдется ли среди них десятизначное число, делящееся на сум- му своих цифр? 2) А стозначное? Задача 11. 1) Какие из высказываний А—Д означают одно и то же? 2) Будем считать высказывание А истинным. Какие из других вы- сказываний в таком случае наверняка истинны? А: Дед Мороз — волшебник. 181 Б: Существует хотя бы один дед-волшебник. В: Существует ровно один дед-волшебник. Г: Некоторые деды — волшебники. Д: Некоторые волшебники — деды. Задача 12 ∗ . Найдите ошибку в рассуждениях. «Рассмотрим три высказывания: А: Существует хотя бы один дед-волшебник. Б: Дед Мороз — волшебник. В: Все деды — волшебники. Можно ли утверждать, что если верно В, то верно и А? Нет: контр- примером является ситуация, когда множество дедов пусто (аналогич- но задаче про Мишиных одноклассников). С другой стороны, если верно В, то верно и Б (иначе Дед Мороз слу- жил бы контрпримером к высказыванию В). Но если верно Б, то верно и А (для доказательства существования достаточно привести пример, в данном случае Дед Мороз — пример). Итак, если верно В, то верно и А». Задача 13 ∗ . Прокомментируйте доказательство существования Деда Мороза, изложенное в виде диалога двух логиков. Первый: «Если я не ошибаюсь, Дед Мороз существует». Второй: «Разумеется, Дед Мороз существует, если вы не ошибае- тесь». Первый: «Следовательно, мое утверждение истинно». Второй: «Разумеется!» Первый: «Итак, я не ошибся, а вы согласились с тем, что если я не ошибаюсь, то Дед Мороз существует. Следовательно, Дед Мороз суще- ствует». 182 |