Задача 3.1. Определите, какие из утверждений верны.
Где можно, подтвердите свой ответ примером (контрпри-
мером). В остальных случаях обоснуйте его по-другому.
1. Все нечетные числа простые.
2. Все простые числа нечетные.
3. Некоторые нечетные числа простые.
26
4. Некоторые простые числа нечетные.
5. Все четные числа составные.
6. Все числа вида p + 7, где p — простое, являются со-
ставными.
Ответ. Верны утверждения 3, 4, 6.
Решение. Привести контрпримеры к утверждениям 1,
2, 5 и примеры к утверждениям 3, 4 предоставляем чита-
телю. Для доказательства утверждения 6 рассмотрим два
случая. Если p = 2, то число p + 7 = 9 — составное. Если
простое число p 6= 2, то оно нечетное, поэтому p + 7 — чет-
ное и больше 2, следовательно, составное.
Задача 3.2. Верно ли высказывание: «Любое нечетное
число, большее 5, можно представить в виде суммы трех
простых чисел»?
Обсуждение. На первый взгляд это утверждение мало
отличается от сформулированных в предыдущем зада-
нии. Попробуем рассуждать так же. Для начала поищем
контрпример (как в пунктах 1, 2 и 5 предыдущей задачи):
7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5 и т. д. Не получа-
ется? Что ж, попытаемся доказать, что утверждение верно
(как в пункте 6). Тоже не получается? Не огорчайтесь, вы
не одиноки! Еще в 1742 году Кристиан Гольдбах предло-
жил эту задачу Леонарду Эйлеру. Позже она получила
название тернарной проблемы Гольдбаха. Ей занимались
многие математики, но лишь в 2013 году американский
математик Харальд Хельфготт окончательно доказал, что
гипотеза Гольдбаха верна. А бинарная проблема Гольбаха,
упоминавшаяся на первом занятии, не решена до сих пор.
Задача 3.3
∗
. Верно ли утверждение: «Все дожившие до
наших дней тираннозавры умеют вышивать крестиком»?
Обсуждение. Утверждение звучит странно и на первый
взгляд кажется неверным. Что ж, попробуем его опроверг-
нуть. Для этого нужно привести контрпример — то есть
дожившего до наших дней тираннозавра, не умеющего вы-
шивать крестиком. Поскольку его не существует, то утвер-
ждение верно.
27
|
