И. В. Раскина Логика для всех: от пиратов до мудрецов Издание третье, стереотипное
Занятие 7 Доказательство от противного
жүктеу/скачать 1.3 Mb. Pdf көрінісі
|
| Занятие 7
Доказательство от противного Этого не может быть никогда, потому что если бы люди жили на луне, то заслоня- ли бы для нас магический и волшебный свет ее своими домами и тучными пастби- щами. А. П. Чехов. «Письмо к ученому соседу» С методом доказательства от противного каж- дый школьник неизбежно сталкивается (неожи- данно, и поэтому, порой, жестко) на уроках гео- метрии. Надеемся, что ученик, разобравшийся с материалом предыдущих занятий, воспримет ме- тод от противного как естественное продолже- ние знакомства с логикой и будет избавлен от неуместных формальных трудностей при изуче- нии геометрии. Задача 7.1 служит вводным упражнением, показывающим логическую основу метода от противного. С формаль- ной точки зрения он состоит в замене доказательства того, что из А следует Б, на доказательство того, что из «не Б» следует «не A». Как показывает задача 7.2, иногда такой простой трюк существенно облег- чает задачу. Однако настоящая мощь метода от противного проявляется при более широком его понимании. Пусть дано А, а доказать требуется Б. Предположив противное, мы получим уже два условия: А и «не Б», а с двумя условиями работать легче, чем с одним. Из них требует- ся получить два любых противоречащих друг другу высказывания: В и «не В». Задачи 7.2, 7.3 и 7.4 демонстрируют, что В может как совпадать с одним из условий А или Б, так и быть новым утверж- дением. Иногда метод от противного удается применить при решении задач, в формулировке которых условия А и Б явно не выделены (см. задачу 7.6 и комментарий к ней). Достаточно усвоить идею «Предположим противное и поищем противоречие». 64 Задача на доказательство не всегда содержит слово «докажите». Иногда решающий должен сам выбрать верный ответ на вопрос типа «Можно лиff», «Существует лиff» и т. п., а потом доказать правиль- ность ответа. Если ответ отрицательный, часто бывает удобно предпо- ложить, что он положительный, а затем прийти к противоречию. Такое рассуждение от противного применяется в задачах 7.6 и 7.11, а также Д33 и Д36. Немного рекламы. 1) Доказательство от противного порадует любителей перебора: мы просто рассматриваем все случаи (часто их всего два, но может быть и больше), исключаем приводящие к противоречию и делаем вывод, какой из случаев выполняется. 2) «Противное» часто оказывается хорошим. От противного удоб- но доказывать «отрицательные» качества: неделимость, иррациональ- ность, бесконечность. А предположив противное, мы сразу получим что-то хорошее, с дополнительными свойствами (делимость на простое число, числитель и знаменатель рациональной дроби, размер конечно- го множества). 3) Метод от противного не помешает даже там, где он не нужен. Пусть дано А, и из этого без всякого «противного» можно доказать Б. Но мы этого не заметили и зачем-то предположили «не Б». И только после этого из А (без использования «не Б») получили Б. Вот и хорошо! Б и «не Б» противоречат друг другу, метод от противного сработал. А теперь антиреклама. 1) Если метод от противного сработал описанным только что обра- зом, самое время упростить доказательство и выбросить из него «про- тивную» оболочку. 2) Недостаток логической культуры может привести к некоррект- ному «доказательству» от противного. Одна из целей этого занятия, да и всей книжки — научить, как таких ошибок избегать. В частности, за- дача 7.5 еще раз напоминает о неравносильности обратных друг другу высказываний. 3) Одно дело — понять, что надо искать противоречие, и совсем дру- гое — уметь его находить. Поиск противоречия часто связан с владени- ем специфической техникой (подсчет двумя способами, инварианты, раскраски, свойства делимости, принцип Дирихле, неравенства и оцен- ки и т. д.). Мы постарались включить в занятие задачи, которые мож- но решить (а отмеченную звездочкой хотя бы понять) без специальной подготовки. жүктеу/скачать 1.3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|