Ыдыста ы судыЈ температурасы +20



жүктеу 2.92 Mb.
бет1/4
Дата13.06.2016
өлшемі2.92 Mb.
  1   2   3   4
Кіріспе.

КЇнделікті ймірде бізге кездесетін о›и“аларды мынадай Їш тЇрге бйлуге болады: а›и›ат о›и“алар, мЇмкін емес о›и“алар жЩне кездейсо› о›и“алар.



Аиат оиалар деп, белгілі бір Т шарттар жиынты“ы орындал“анда міндетті тЇрде ордалатын о›и“аны айтады.

Мысалы: Ыдыста“ы судыЈ температурасы +200, атмосфералы› ›ысымы ›алыпты жа“дайда болатын болса «ыдыста“ы су с±йы› ›алпында» о›и“асы а›и›ат болады. М±нда“ы берілген атмосфералы› ›ысым мен судыЈ температурасы Т шарттар жиынты“ын ›±райды.

Кездейсооиа деп, Т шарттар жиынты“ы орындал“анда, орындалуы да орындалмауы да мЇмкін о›и“аны айтамыз.

Мысалы: Тиынды ла›тыр“анда «елтаЈба» немесе «сан» тЇсуі кездейсо› о›и“алар. Б±л о›и“алардыЈ ›айсысы орындалатынын алдын ала айта алмаймыз, екеуініЈ кезкелгені орыналуы мЇмкін.

МЇмкін емес оиа деп Т шарттар жиынты“ы орындалса да, орындалуы мЇмкін болмайтын о›и“аны айтады.

Мысалы: Т шарттар жиынты“ы орындалса да «ыдыста“ы су м±з болып ›атты» деген о›и“а мЇмкін емес, я“ни орындалмайды, су ›атпайды, себебі Т шарты бойынша температура +200.

О›и“аныЈ нЩтижесіне ы›пал ететін себептер кйп, жЩне олар“а Щсер ететін заЈдылы›тар белгісіз бол“анды›тан, оныЈ бЩрін ескеру мЇмкін емес. Біра›та, біртекті кездейсо› о›и“аларды йте кйп ба›ылау ар›ылы олардыЈ белгілі бір заЈдылы››а ба“ынатынды“ы бай›алады. Осы заЈдылы›тарды т±жырымдаумен айналысатын пЩнді ытималдытеориясы дейміз. Сонымен ы›тималды› теориясы дегеніміз, кйптеген біртекті кездейсо› о›и“алардыЈ ы›тималды› заЈдылы›тарын о›ытатын пЩн.

Ы›тималды› теориясыныЈ тЩсілдері техника мен жаратылыстанудыЈ ЩртЇрлі салаларында ›олданылады, мысалы жаппай ›ызмет кйрсету теориясында, теоретикалы› физикада, геодезияда, астрономияда, ату теориясында, автоматты бас›ару теориясында жЩне кйптеген теориялы› жЩне ›олданбалы “ылымдарда.

Ы›тималды› теориясыныЈ ал“аш›ы ±“ымдары ›±мар ойындардыЈ теориясын жасау“а талаптан“ан Кардано (итальянды›), Гюгенс (нидерланды›), Паскаль, Ферма (француздар) т.б. ХУІ-ХУІІ-“асырдыЈ “алымдарыныЈ еЈбектерінде кездеседі. Ы›тималды› теориясыныЈ дамуыныЈ келесі кезеЈі Якоб Бернулли (швейцар), Муавр (а“ылшын), Лаплас, Пуассон (француздар), Гаусс (неміс) т.б. “алымдармен дамыды.

Ал кейінгі дамуы орыс “алымдары: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов жЩне б±рын“ы совет математиктері : Бернштейн С.Н., Колмогоров А.Н., Гнеденко Б. В., Смирнов Н.В. т.б. “алымдар“а байланысты болды.

І бйлім


Кездейсо› о›и“алар.

І тарау. Кездейсо› о›и“алар жЩне олардыЈ ы›тималды›тары

§ 1 Ы›тималды›тар теориясыныЈ негізгі ±“ымы жЩне кездейсо› о›и“алардыЈ тЇрлері.

Б±дан былай Т шарттар жиынты“ы деп айтудыЈ орнына «Щрекет жасалды» деп ›ыс›а “ана айтатын боламыз. Сонымен о›и“аны жасал“ан ЩрекеттіЈ нЩтижесі деп ›араймыз.



Мысалы: Шр тЇсті асы›тар бар дорбадан кезкелген бір асы› аламыз. Асы›ты ал“анымыз – жасал“ан Щрекет, ал белгілі бір тЇсті асы›тыЈ шы“уы – о›и“а.

Анытама. Жал“ыз рет жасал“ан Щрекетте, бір о›и“аныЈ орындалуы бас›а о›и“алардыЈ орындалуын жо››а шы“аратын болса (болдырмай тастаса) онда, ондай о›и“аларды Їйлесімсіз о›и“алар дейміз.

Мысалы. Тиынды ла›тыр“анда «елтаЈба» шы›са «сан» шы›пады дегенді ±“амыз. Сонды›тан «елтаЈба шы›ты» жЩне «сан шы›ты» деген екі о›и“а Їйлесімсіз о›и“алар.

Анытама. Жасал“ан ЩрекеттіЈ нЩтижесінде бірнеше о›и“алардыЈ еЈ болма“анда біреуі міндетті тЇрде орындалса, ондай о›и“аларды толы› топ ›±райтын о›и“алар дейміз.

Кей жа“дайда, толы› топтыЈ о›и“алары ›ос-›остан Їйлесімсіз болса, онда ЩрекеттіЈ нЩтижесінде тек ›ана бір-а› о›и“а орындалады.



Мысалы. Мерген кйздеп мылты› атсын. Б±л арада мына екі о›и“аныЈ: «дЩл тиді» , «тимеді» ›айтсе де біреуі орындалады. Б±л екі Їйлесімсіз о›и“алар толы› топ ›±райды.

Мысалы. Екі лотерея билетін ал“ан адам“а мына о›и“алардыЈ тек ›ана біреуі орындалады.

  1. ±тыс 1-ші билетке шы›ты да, 2-ші билетке шы›пады;

  2. ±тыс 1-ші билетке шы›пады да, 2-ші билетке шы›ты;

  3. ±тыс 1-ші билетке жЩне 2-ші билетке де шы›ты;

  4. ±тыс 1-ші билетке жЩне 2-ші билетке де шы›пады;

Б±л о›и“алар ›ос-›остан Їйлесімсіз толы› топты ›±райды.

Анытама. Орындалу мЇмкіндіктері бірдей о›и“аларды теЈ мЇмкіндікті о›и“алар деп атаймыз.

Мысал Тиынды ла›тыр“анда «елтаЈба» немесе «сан» тЇсті о›и“аларыныЈ мЇмкіндіктері бірдей. Сол сия›ты ойын кубын ла›тыр“анда да, 1-ден 6-“а дейінгі ±пайлардыЈ тЇсуі мЇмкіндіктері бірдей, сонды›тан ол о›и“алар теЈ мЇмкіндікті болады.
§ 2 Ы›тималды›тыЈ классикалы› аны›тамасы.

Кезкелген математикалы› теория белгілі бір ±“ымдар негізінде ›±рылатын бол“анды›тан, біз ы›тималды›тар теориясын ›±руда ы›тималды›тыЈ классикалы› аны›тамасына сЇйенеміз.

Жалпы, ы›тималды›тыЈ классикалы› аны›тамасынан бас›а да геометриялы›, статистикалы›, аксиоматикалы› аны›тамалары да бар.ОлардыЈ Щр›айсысыныЈ ›олданатын орны, ерекшеліктері, бір-бірінен арты›шылы›тары мен кемшіліктері бар. Мысалы, геометриялы› ы›тималды›тар астрономия, биология, атомды› физика т.с.с. салаларында жиі ›олданыл“анымен ол классикалы› аны›тама сия›ты ай›ын емес.

Ал статистикалы› аны›таманыЈ іс жЇзінде орындалатын тЇрлі зерттеулерде ерекше мЩні бар, мысалы, Їлкен жиынды зерттеу керек бол“анда, ол ›иын бол“анды›тан оныЈ бЩлігін (таЈдаманы) зерттейміз, сййтіп, таЈдаманы зерттеу нЩтижесінде кездейсо› о›и“аныЈ салыстырмалы жиілігін аны›таймыз. Осы ар›ылы ы›тималды›тыЈ санды› мЩнін ба“алаймыз, я“ни ›арастырып отыр“ан ›±былыстыЈ санды› сипаттамасы негізделеді. Сонымен, ы›тималды›тар теориясымен статистиканы (тЩжірибені) байланыстыратын маЈызды дЩнекер модель–Їлкен сандар заЈына алып келеді (ол туралы алда“ы бйлімдерде айтылады).

Осы аны›тамалардыЈ бЩрініЈ негізі болатын ы›тималды›тыЈ классикалы› аны›тамасын ал“аш рет француз “алымы Лаплас (1794-1827) берген еді.

Б±л аны›тама саны шекті болатын теЈ мЇмкіндікті элементар о›и“алар туралы ›ыс›аша тЇсінік берейік.

Жасал“ан Щрекетке (сына›, тЩжірибе) ›ойылатын негізгі шарт оныЈ мЇмкін болатын нЩтижесін кйрсете білуіміз керек. Ал Щрекет жасал“анда тек бірініЈ “ана орындалуын талап ете отырып, жасал“ан ЩрекеттіЈ нЩтижелерініЈ мЇмкін мЩндерін б±дан былай элементар о›и“алар деп атаймыз да, оны ti ар›ылы белгілейміз . Элементар о›и“алар – Щрі ›арай жіктелмейтін о›и“алар. Ал ЩрекеттіЈ нЩтижесі тек бір “ана элементар о›и“амен кйрсетіледі. ШрекеттіЈ барлы› мЇмкін болатын нЩтижелері жиынын элементар о›и“алар жиыны дейміз. М±ны {ω} ар›ылы белгілейік. Элементар о›и“алар {ω} жиыныныЈ Щрбір ішкі элементі о›и“а деп аталады. Оларды А,В,С,.... Щріптерімен белгілейміз. Мысалы, асы›ты Їйіргенде барлы› мЇмкін нЩтижелер жиыны t1, t2, t3 , t4} – элементар о›и“алар жиыны. М±нда“ы t1 – асы› алшы тЇсті, t2 – тЩйке тЇсті, t3 – бЇк тЇсті, t4 – шік тЇсті о›и“алар.

Енді мысалмен негіздей отырып, ы›тималды›тыЈ классикалы› аны›тамасын берейік.

ЖЩшікте м±›ият араластыр“ан 2-жасыл, 3-кйк, 1-а› барлы“ы 6 асы› болсын. Егер біз кезкелген бір асы›ты алатын болса›, онда боял“ан (кйк не ›ызыл) асы›тыЈ шы“у мЇмкіндігі а› асы››а ›ара“анда кйп. Осы мЇмкіндікті санмен кйрсетуге бола ма екен?

Соны кйрсетейік: боял“ан асы›тыЈ шы“уын А – о›и“асы деп белгілейік. Шрбір ЩрекеттіЈ мЇмкін болатын нЩтижесін элементар о›и“алар деп атайы› та t1, t2,.... т.с.с. белгілейік. БіздіЈ жа“дайда мынадай 6 элементар о›и“аныЈ болуы мЇмкін: t1 – а› асы› шы›ты, t2, t3 – ›ызыл асы› шы›ты, t4, t5,t6 – кйк асы› шы›ты.

Б±л о›и“алар йзара Їйлесімсіз, мЇмкіндіктері бірдей болатын толы› топты ›±райды. Б±л жерде Щрбір элементарлы› о›и“а бір-а› мЩнге ие болатынын атап айтуымыз керек. Біз ›ажет етіп отыр“ан А о›и“асы орындалатын элементарлы› о›и“аларды, біз Їшін ыЈ“айлы элементарлы› о›и“алар деп атаймыз. БіздіЈ мысалда А о›и“асына ыЈ“айлы, я“ни оныЈ орындалуына ы›пал етуші мынадай 5 элементарлы› о›и“алар бар: t2, t3, t4, t5, t6

Анытама. А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы деп, осы о›и“аныЈ орындалуына ыЈ“айлы болатын, я“ни ы›пал ететін элементарлы› о›и“алардыЈ санын, мЇкіндіктері бірдей, йзара Їйлесімсіз, толы› топ ›±райтын, барлы› элементарлы› о›и“алардыЈ санына ›атынасын айтамыз да, былайша белгілейміз:

(1)

м±нда“ы m – о›и“аныЈ орындалуына ыЈ“айлы, я“ни ы›пал етуші элементарлы› о›и“алардыЈ саны. n – барлы› мЇмкін болатын элементарлы› о›и“алардыЈ саны. Сонда біздіЈ мысал болып шешіледі.

Ы›тималды›тыЈ аны›тамасынан оныЈ мынадай ›асиеттері шы“ады:

Іасиет. А›и›ат о›и“аныЈ ы›тималды“ы 1-ге теЈ, я“ни болады да

2-›асиет. МЇмкін емес о›и“аныЈ ы›тималды“ы 0-ге теЈ, я“ни болады да

3-›асиет. Кездейсо› о›и“аныЈ ы›тималды“ы 0 мен 1-діЈ арасында жататын оЈ сан, я“ни бол“анды›тан демек

Сонымен кезкелген о›и“аныЈ ы›тималды“ы мына теЈсіздікті ›ана“аттандырады .


§ 3 КомбинаториканыЈ негізгі формулалары.

Ы›тималды›тар теориясыныЈ есебін шы“ар“анда, бізге кйп жа“дайларда комбинаторикалы› формулаларды ›олдану“а тура келеді.



Мысалы. Аян, Бек, Са“и, Берік, Болат атты бес жігіттіЈ кезкелген Їшеуі Щскерге алынады. љай ЇшеуініЈ алынуы мЇмкін ? (Аян, Бек, Са“и ма), жо› (Аян, Бек, Берік пе) т.с.с. Б±л ЇштіктердіЈ санын есептеу Їшін, комбинаторикада“ы терудіЈ формуласын ›олдану“а тура келетіндігін бай›ау“а болады. Сонды›тан сол формулалар туралы тЇсінік бере кетейік:

І. Берілген ЩртЇрлі n элементтен, n элементтіЈ барлы“ыныЈ ›атысуымен жасал“ан, бір-бірінен айырмашылы“ы тек орналасу ретінде “ана болатын топты алмастыру деп атаймыз. Барлы› алмастырудыЈ саны



(2)

формуласымен есептеледі.



Мысалы. Мына 2,4,5 цифрлары Щр санда бір-а› рет ›айталану“а тиіс болса, осы ифрлардан неше Їш орынды сан ›±рау“а болады?

Шешуі. ®ш орынды сан жазу Їшін берілген Їш цифрдыЈ Їшеуі де ›атысу“а тиіс, жЩне олардыЈ орындарын ауыстырып отырса› ЩртЇрлі сандар шы“ып отырады демек, б±л Їш орынды сандардыЈ барлы› саны Їш цифрдан жасал“ан алмастыру“а теЈ болатынды“ын бай›аймыз. (2) формуланы ›олданып:

2 4 5 4 5 2 5 2 4

5 4 2 4 2 5 2 5 4

2. Орналастыру деп, бір-бірінен айырмашылы“ы элементтерініЈ ›±рамында, немесе элементтерініЈ орналасу ретінде болатын ЩртЇрлі элементтен нен жасал“ан топты айтамыз (м±нда“ы ) . Барлы› орналастырудыЈ саны мына формуламен есептеледі:

(3)

Мысалы. ТЇстері ЩртЇрлі 6 жалаушадан екі-екіден ›ойып ›анша белгі жасау“а болады?

Шешуі. Мысал“а Їш жалаушаныЈ: а› (а), ›ызыл (›), сары (с) -- йзінен мынадай белгілер жасау“а болады: а ›, › а, а с, с а, › с, с › – демек, б±л белгілердіЈ бір-бірінен айырмашылы“ы, не жалаушаныЈ тЇсінде, немесе орналасу ретінде, олай болса біздіЈ іздеп отыр“ан белгілеріміздіЈ саны, 6-дан 2-ден жасал“ан орналастыру болады. Оны есептеу Їшін (3) формуланы ›олданамыз:



3.Теру – деп, бір-бірінен айырмашылы“ы еЈ болма“анда бір элементтінде болатын ЩртЇрлі n элементтен m-нен жасал“ан топты айтады. Барлы› терудіЈ санын мына формуламен есептейді:



Мысалы. Дорбада“ы 10 тЇске боял“ан асы›ты ›анша тЩсілмен 2-ден алу“а болады?

Шешуі. Екіден алын“ан асы›тыЈ бір-бірінен айырмашылы“ы еЈ болма“анда бір асы›тыЈ тЇсінде болу“а тиіс, олай болса іздеп отыр“ан, асы›ты екіден алудыЈ тЩсілдер саны – 10-нан 2-ден жасал“ан терудіЈ санына теЈ болады, демек (4) – формуланы ›олданса›:



Ескерту. Б±л есепті терудіЈ шартына байланысты, (а›-кйк) немесе (кйк-а›) сия›ты жа“дайлардыЈ тек біреуі “ана есепке алынады, Їйткені онда“ы асы›тыЈ тЇрлері ›айталанып т±р.
§ 4 Ы›тималды›ты есептеудіЈ мысалдары.

1-мысал. Хабарласушы адам телефон нймірініЈ соЈ“ы екі цифрын ±мытып ›алды, біра› олардыЈ ЩртЇрлі цифрлар екендігі ойына тЇсіп кездейсо› екі цифрды ала салды. Осы алын“ан цифрлар керекті цифрлар екендігініЈ ы›тималды“ын тап? (мысалы 2 мен 3-ті я“ни 23-ті немесе 3 пен 2-ні я“ни 32-ні ала салуы мЇмкін, т.с.с.)

Шешуі. Есепті шешу Їшін, ЩртЇрлі цифрлардан жасал“ан екі орынды сандарды (23,32,43,34,....) я“ни орналастыруларды табу керек екендігін бай›ау“а болады. ТелефонныЈ цифрлары: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 бол“анды›тан, барлы› екі орынды цифрлар саны 10 цифрдан екіден жасал“ан орналастырумен есептеледі, я“ни

Осы 90 тЇрлі екі орынды санныЈ тек біреуі “ана ±мытыл“ан сан, олай болса, бізге керекті о›и“алар саны біреу-а›, я“ни ал барлы› мЇмкін о›и“алар саны 90, я“ни . Енді В-деп «керекті екі цифр алынды» – о›и“асын белгілейік. Осыларды (1) – формула“а (§ 2 ) ›ойса›:





2-мысал. Екі ойын сЇйегі ла›тырылды. ТЇскен ±пайлардыЈ саныныЈ ›осындысы 4-ке теЈ екндігініЈ ы›тималды“ын тап?

Шешуі.

а) (Екі о›и“а болуы мЇмкін: 1) ±пайлардыЈ саны 4-ке теЈ, 2) ±пайлардыЈ саны 4-ке теЈ емес, олай болса , болады да б±л шешім д±рыс емес, Їйткені ›арастырып отыр“ан екі о›и“алар бірдей мЇмкіндікті емес.

б) Бірдей мЇмкіндікті барлы› о›и“алар саны я“ни , ал я“ни: (1;3), (3;1), (2;2) олай болса



3-мысал. ЖЩшіктегі 10 бал“аныЈ 7-уі бір Їлгідегі бал“алар. Кездейсо› алын“ан алты бал“аныЈ тура 4-уі бір Їлгіде болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап?

Шешуі. А деп «алын“ан 6 бал“аныЈ 4-уі бір Їлгіде» – о›и“асын белгілейік. МЇмкін болатын элементарлы› о›и“алардыЈ саны -“а теЈ, ал А о›и“асына ы›пал етушілердіЈ саны -ге теЈ (б±л m ), сонда


§ 5 Салыстырмалы жиілік.

Анытама. О›и“аныЈ жиілігі деп, жасал“ан ЩрекеттіЈ нЩтижесінде, орындал“ан о›и“аныЈ санын, жасал“ан ЩрекеттіЈ жалпы санына ›атынасын айтады да, мына формуламен есептейді:

м±нда“ы m-орындал“ан о›и“аныЈ саны да, -жасал“ан ЩрекеттіЈ саны.

Ы›тималды›тыЈ аны›тамасы мен салыстырмалы жиіліктіЈ аны›тамасын салыстыра отырып ы›тималды›тыЈ аны›тамасы, ЩрекеттіЈ жасалуын ›ажет етпейтіндігін, ал салыстырмалы жиіліктіЈ аны›тамасы оныЈ міндетті тЇрде жасалуын талап ететіндігін кйруге болады. Я“ни ы›тималды›ты Щрекетке дейін есептейді де, салыстырмалы жиілікті Щрекеттен кейін есептейді.

Мысал. Мылты›тан 24 рет кйздеп ат›анда 19 рет дЩл тиді, олай болса ма›сат›а жетудіЈ салыстырмалы жиілігі

Егер ЩрекеттіЈ нЩтижесінде салыстырмалы жиілікті тап›ан болса› онда ол санды жуы› мйлшермен о›и“аныЈ ы›тималды“ы деп те ›абылдау“а болады.


§ 6

®йлесімсіз о›и“алардыЈ ы›тималды“ын

›осу теоремасы

Анытама. А жЩне В о›и“аларыныЈ ›осындысы деп, А о›и“асыныЈ, не В о›и“асыныЈ, немесе екеуініЈ де орындалатынды“ын айтамыз.

Мысал. Мылты›тан екі рет о› атылды. А-деп, «бірінші ат›анда тиді» – о›и“асын, В-деп, «екінші ат›анда тиді» -– о›и“асын белгілесек, онда дегеніміз: «бірінші ат›анда тиді», немесе екінші ат›анда тиді», немесе «екеуінде де тиді», – деген о›и“аларды ›амтиды. Егерде А жЩне В о›и“алары Їйлесімсіз о›и“алар болатын болса, онда дегеніміз, не А, не В о›и“асыныЈ (›айсысы болса да) орындал“анын білдіреді.

Бірнеше о›и“аныЈ ›осындысы деп, еЈ болма“анда біреуі орындалатын о›и“аны айтады.



Мысал. о›и“асы деп, мыналардыЈ: А,В,С; А жЩне В, А мен С, В мен С, А Щрі В Щрі С о›и“аларыныЈ Щйтеуір біреуініЈ орындалатынды“ын айтады.

Егер де А жЩне В Їйлесімсіз екі о›и“а йздерініЈ орындалу ы›тималды“ымен берілсе, онда А о›и“асы орындала ма, жо› В о›и“асы орындала ма, деген ы›тималды›ты табу Їшін мына теореманы дЩлелдейік:



Теорема. Екі Їйлесімсіз о›и“аныЈ ›айсысы болса да, Щйтеуір біреуініЈ орындалу ы›тималды“ы, осы о›и“алардыЈ ы›тималды›тарыныЈ ›осындысына теЈ.



ДЩлелдеу: тЩжірибе кезінде мЇмкін болатын элементар о›и“алардыЈ жалпы саны болсын, – А о›и“асыныЈ орындалуына ы›пал ететін жа“дайлардыЈ саны; – В о›и“асыныЈ орындалуына ы›пал ететін жа“дайлардыЈ саны. Онда не А о›и“асыныЈ, не В о›и“асыныЈ орындалуына ы›пал ететін элементар о›и“алардыЈ саны болады, олай болса

м±нда“ы


,

бол“анды›тан



дЩлелденді.



Салдар. Ж±птары йзара ›ос-›остан Їйлесімсіз болып келетін бірнеше о›и“алардыЈ ›айсысы болса да, Щйтеуір біреуініЈ орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы, сол о›и“алардыЈ ы›тималды›тарыныЈ ›осындысына теЈ:

Мысал. љобдишада 15 а›, 10 ›ызыл, 5 кйк шарлар бар. Боял“ан шардыЈ шы“у ы›тималды“ын тап ?

Шешуі. Боял“ан шардыЈ шы“уы деп, не ›ызыл, не кйк шардыЈ шы“уын айтамыз, я“ни, А-›ызыл, В-кйк шар шы›ты о›и“асы болса, онда



Мысал. ®ш бйлікке бйлінген нысананы кйздеп мерген мылты› атты. ОныЈ бірінші бйлікке тигізу ы›тималды“ы -0,45, екіншіге -0,35 болса, мерген бір-а› рет ат›анда, оныЈ не бірінші, не екінші бйлікке тигізетіндігініЈ ы›тималды“ын тап ?

Шешуі. А – «мерген бірінші бйлікке тигізді» жЩне В – «мерген екінші бйлікке тигізді» о›и“алары йзара Їйлесімсіз, сонды›тан ›осу теоремасын ›олдануымыз“а болады, я“ни:




§ 7 О›и“аныЈ толы› топтары

Анытама. О›и“аныЈ толы› тобы деп, Щрекет кезінде біреуініЈ “ана орындалуы мЇмкін о›и“алар тобын айтамыз.

Мысал. Мерген нысананы кйздеп екі рет атты. Сонда мына о›и“алар: А1 – «бір ретінде тиді», А2 – «екеуінде де тиді», А3 – «мЇлдем тиген жо›» – толы› топ ›±райды. Бас›а о›и“а болуы мЇмкін емес.

Теорема. Толы› топ ›±райтын А1, А2, ......., о›и“аларыныЈ ы›тималды›тарыныЈ ›осындысы 1-ге теЈ, я“ни

(1)

ДЩлелдеу. Толы› топтыЈ Щйтеуір бір о›и“асыныЈ орындалатыны а›и›ат, ал о›и“аныЈ ы›тималды“ы 1-ге теЈ бол“анды›тан

(2)

Енді толы› топтыЈ кез-келген екі о›и“асы йзара Їйлесімсіз бол“анды›тан (2)-теЈдікке ›осу теоремасын ›олдану“а болады демек ,

(3)


  1. мен (3)-ті салыстырса› (1) шы“ады. ДЩлелденді.

Мысал. ИнституттыЈ кеЈес беретін бйліміне А, В жЩне С ›алаларынан ба›ылау ж±мысы жазыл“ан хаттар келуге тиіс. ХаттардыЈ А ›аласынан келу ы›тималды“ы – 0,7-ге теЈ ( ), В ›аласынан – 0,2-ге теЈ ( ) болса, таяу арада (кезекті) келетін хаттыЈ С ›аласына болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап ?

Шешуі. «Хат А ›аласынан келді», «Хат В ›аласынан келді» жЩне «Хат С ›аласынан келді» –о›и“алары толы› топ ›±райды, олай болса


§ 8 љарама-›арсы о›и“алар

Анытама. Толы› топ ›±райтын, бір-а› мЇмкіндікті екі о›и“аны ›арама-›арсы о›и“алар дейміз. Егер оныЈ біреуін А деп белгілесек екіншісін деп белгілеу шарт.

Мысал. Кйздеп мылты› ат›анда «тиеді» жЩне «тимейді» деген екі о›и“а, ›арама-›арсы о›и“алар. А – «тиеді» болса, –«тимейді» о›и“асы.

Теорема. љарама-›арсы о›и“алардыЈ ы›тималды›тарыныЈ ›осындысы 1-ге теЈ, я“ни

немесе

ДЩлелдеу. љарама-›арсы о›и“алар толы› топ ›±райтынды›тан



Мысал. КЇнніЈ жауынды болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы болса кЇнніЈ ашы› болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы тап ?

Шешуі. «КЇн жауынды» жЩне «кЇн ашы›» о›и“алары ›арама-›арсы о›и“алар бол“анды›тан б±дан

Мысал. ЖЩшіктегі бйлшектіЈ -і бір Їлгідегі бйлшектер. Кездейсо› алын“ан «К» бйлшектіЈ ішінде еЈ болма“анда бір Їлгілі бйлшек болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап ? ( ?)

Шешуі. «Алын“ан бйлшектердіЈ ішінде еЈ болма“анда бір Їлгілі бйлшек бар» жЩне «алын“ан бйлшектердіЈ ішінде бір де бір Їлгілі бйлшек жо›» – о›и“алары ›арама-›арсы. Олай болса олар“а келісілгендей А жЩне деп белгілеу енгізсек

Енді -ны табайы›. бйлшектен К бйлшекті алудыЈ жалпы саны –“а теЈ. ®лгілі емес бйлшектіЈ саны -“а теЈ. Б±дан Їлгілі емес К бйлшекті алудыЈ саны -“а теЈ. Олай болса «алын“ан К бйлшектіЈ ішінде бір де бір Їлгілі бйлшек жо›» о›и“асыныЈ ы›тималды“ы -“а теЈ, олай болса іздеп отыр“ан ы›тималды“ымыз




ТЩуелді жЩне тЩуелсіз о›и“алар.

Анытама. Екі о›и“аныЈ біреуініЈ ы›тималды“ы екіншісініЈ орындал“ан орындалма“анына тЩуелсіз болса, ондай о›и“аларды тЩуелсіз о›и“алар дейді.

Мысал. Тиынды екі рет ла›тырайы›. Бірінші ла›тыр“анда елтаЈба тЇсетіндігініЈ (А – о›и“асы) ы›тималды“ы, екінші ла›тыр“анда“ы елтаЈбаныЈ тЇсу тЇспеуіне (В – о›и“асы) тЩуелсіз, керісінше, екінші ла›тыр“анда елтаЈба тЇсетіндігі, бірінші ла›тыр“анныЈ нЩтижесіне де тЩуелсіз, олай болса А жЩне В о›и“алары тЩуелсіз о›и“алар.

Мысал. љобдишада 5 а›, 3 ›ара шар бар. Одан кез-келген бір шар алайы›. Ал“ан шарымыздыЈ а› болу (А – о›и“асы) ы›тималды“ы -ке теЈ. Алын“ан шарды ›айтадан ›обдиша“а салайы› та ›айталап та“ы шар алайы›. Екінші рет алын“ан шарымыздыЈ (В – о›и“асы) ы›тималды“ы б±рын“ыша -ке теЈ, я“ни екінші реткі ЩрекеттіЈ нЩтижесі тЩуелсіз. Олай болса А мен В тЩуелсіз о›и“алар.

Анытама. Шрбір екі о›и“асы йзара тЩуелсіз болатын бірнеше о›и“аларды ›ос-›остан тЩуелсіз о›и“алар дейміз.

Мысал. Тиынды Їш рет ла›тырайы›. А,В,С – о›и“алары: 1-ші, 2-ші, жЩне 3-ші ретте сЩйкес тЇрде елтаЈба тЇскендігін кйрсететін о›и“алар. М±нда“ы ›арастырылатын Щрбір екі о›и“а: А мен В, А мен С, В мен С – тЩуелсіз.

Анытама. Екі о›и“аныЈ біреуініЈ ы›тималды“ы екіншісініЈ орындалу-орындалмауына байланысты болса, ондай о›и“аларды тЩуелді о›и“алар дейді.

Мысал.Дорбада“ы 100 асы›тыЈ 80-і а› та 20-ы ›ызыл. Дорбадан кезкелген бір асы›ты аламызда аула››а ›оямыз. Ал“ан асы“ымыз а› (А – о›и“асы) болса, екінші рет та“ы да а› асы› (В – о›и“асы) алудыЈ ы›тималды“ы болады. Ал егер ал“аш›ы ал“анымыз ›ызыл асы› болса, онда болар еді. Сонымен В о›и“асыныЈ орындалу-орындалмауына байланысты, олай болса А мен В – тЩуелді о›и“алар.
§ 10 ТЩуелсіз о›и“алардыЈ ы›тималды›тарын

кйбейту


Анытама. А жЩне В о›и“аларыныЈ кйбейтіндісі деп, екеуі де бір сЩтте орындалатын АВ о›и“асын айтамыз.

Мысал. ЖЩшікте №1 жЩне №2 дайында“ан бйлшектер бар. Егер: А – «Їлгілі бйлшек алынды» о›и“асы, В – «бйлшекті №1-зауыт дайында“ан» о›и“асы болса, онда АВ «№1-ші зауыт дайында“ан Їлгілі бйлшек алынды» –о›и“асы болады.

Анытама. Бірнеше о›и“алардыЈ кйбейтіндісі деп, Їйлесімді тЇрде олардыЈ бЩрініЈ бір сЩтте орындалуын айтады.

Теорема. изара тЩуелсіз екі о›и“аныЈ бір сЩтте орындалу ы›тималды“ы осы о›и“алардыЈ ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісіне теЈ:



ДЩлелдеу. А – о›и“асыныЈ оындалуы да орындалмауы да мЇмкін болатын барлы› ЩрекеттердіЈ санын -деп белгілейік. -деп А – о›и“асына ы›пал етуші жа“дайлардыЈ санын ( ) белгілейік. деп В о›и“асыныЈ орындалуы да орындалмауы да мЇмкін болатын барлы› ЩрекеттердіЈ санын белгілейік. деп В о›и“асына ы›пал етуші жа“дайлардыЈ саны ( ) белгілейік. Сонда дегеніміз: А жЩне В, немесе А жЩне , немесе жЩне В, немесе жЩне о›и“алары орындалатын барлы› элементар о›и“алардыЈ санын береді. Ал м±ныЈ ішінде – А жЩне В о›и“аларыныЈ бір сЩтте орындалуына ы›пал етуші жа“дайлардыЈ саны. Олай болса оныЈ ы›тималды“ы

; ;

бол“анды›тан



дЩлелденді.



Анытама. Біренеше о›и“алардыЈ Щрбір екі о›и“асы йзара тЩуелсіз болса, жЩне олардыЈ Щрбір о›и“асымен ›ал“андарыныЈ кез-келген комбинациясы тЩуелсіз о›и“алар болатын болса, б±л о›и“аларды тобымен тЩуелсіз о›и“алар дейміз.

Мысал. А1, А2 жЩне А3 о›и“алары тобымен тЩуелсіз болса, онда мына: А1 мен А2, А1 мен А3, А2 мен А3, А1А2 мен А3, А1А3 пен А2, А2А3 пен А1 о›и“алары да тЩуелсіз болады.

Ескерту. Егер бірнеше о›и“алар ›ос-›остан тЩуелсіз болса, б±дан б±л о›и“алардыЈ бЩрі тобымен тЩуелсіз деген ±“ым тумайды. Я“ни тобымен тЩуелсіздіктіЈ талабы, ›ос-›остан иЩуелсіздіктіЈ талабына ›ара“анда ›атаЈыра›.

Мысал. љобдишада 1 ›ызыл тЇске (А – о›и“асы), 1 кйк тЇске (В – о›и“асы), 1 ›ара тЇске (С – о›и“асы), 1 осы Їш тЇске де (АВС – о›и“асы) боял“ан тйрт шар бар.

Сонда , , болатынды“ын бай›ау“а болады. Егер б±ларды ›ос-›остан ›арастырса›, мысалы А мен С-ны, В мен С-ны т.с.с. , бЩрібір олардыЈ ы›тималды“ы ге теЈ болады да, олар ›ос-›остан тЩуелсіз болады.

Біра› б±л о›и“алар тобымен тЩелсіз бола алмайды. Шынында да алын“ан шар кйк ›ара екі тЇстес болсын. Осы шардыЈ ›ызыл тЇске де боял“анды“ыныЈ ы›тималды“ы неге теЈ ? Ол былай, жал“ыз “ана Їш тЇске де боял“анды›тан алын“ан шар ›ызыл тЇске де боял“ан болып шы“ады. Сонымен В мен С о›и“алары орындалды деп есептесек А о›и“асыныЈ міндетті тЇрде орындалатынды“ына кйз жеткіздік. Я“ни б±лар тобымен тЩуелсіз емес, тЩуелді. ЖЩне де (А) соЈ“ы а›и›ат бол“анды›тан оныЈ ы›тималды“ы 1-ге теЈ ( ге емес).

Салдар. Тобымен тЩуелсіз болып келген бірнеше о›и“аныЈ бір сЩтте орындалу ы›тималды“ы, осы о›и“алардыЈ ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісіне теЈ.

ДЩлелдеу. Біз салдарды А, В, С Їш о›и“а“а дЩлелдесек, о›и“а“а да солайша дЩлелденеді. Сонымен А, В жЩне С Їш о›и“асын ›арастырайы›. А, В жЩне С о›и“асыныЈ бір сЩтте орындалуы АВ мен С о›и“асыныЈ бір сЩтте орындалуына пара-пар , сонды›тан . А,В жЩне С о›и“алары тобымен тЩуелсіз бол“анды›тан АВ мен С да, сол сия›ты А жЩне В да йзара тЩуелсіз о›и“алар. Олай болса екі тЩуелсіз о›и“аларды кйбейту теоремасы бойынша



Мысал. изара тЩуелсіз А1, А2, А3 о›и“аларыныЈ орындалу ы›тималды›тары Р1, Р2, Р3 болса, осы ЇшеуініЈ тек біреуі “ана орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап ?

Шешуі. Тек А1 о›и“асы орындалады десек, б±л мына о›и“аныЈ орындалатынды“ымен пара-пар (бірінші о›и“а орындалды да екінші мен Їшінші орындал“ан жо›). Мынадай белгілеулер енгізейік:

В1 – тек А1 о›и“асы орындалды, я“ни

В2 – тек А2 о›и“асы орындалады, я“ни

В3 – тек А3 о›и“асы орындалады, я“ни

Енді А1, А2, А3 о›и“аларыныЈ тек біреуі “ана орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын табу Їшін мына ы›тималды›ты, я“ни В1, В2, В3 о›и“аларыныЈ ›айсысы болсада біреуініЈ орындаатынды“ыныЈ ы›тималды“ын табамыз. Ал В1, В2, В3 о›и“алары Їйлесімсіз о›и“аларды ›осу теоремасын ›олданамыз:

(1)

Енді А1, А2, А3 тЩуелсіз о›и“алар бол“анды›тан А1, о›и“алары да тЩуелсіз, олай болса кйбейту теоремасын ›олданып:



сол сия›ты





Осыларды (1)-ге ›ойса›, А1, А2, А3 о›и“аларыныЈ тек біреуі “ана орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын табамыз, я“ни


  1   2   3   4


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет