§ 11 ЕЈ болма“анда бір о›и“аныЈ орындалу

ы›тималды“ы

Кейде істелген ЩрекеттіЈ нЩтижесінде тобымен тЩуелсіз болып келетін о›и“алардыЈ бЩрі де орындалуы мЇмкін, немесе олардыЈ кейбіреулері “ана, я“ни біреуі “ана, немесе екеуі “ана орындалуы мЇмкін, немесе бірде-біреуі орындалмауы да мЇмкін. ОныЈ Їстіне Щрбір о›и“аныЈ орындалу ы›тималды“ы берілген болсын. Сонда: «Осы о›и“алардыЈ еЈ болма“анда біреуі орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын ›алай табу“а болады ?» – деген с±ра› туады.

Мысалы, егер ЩрекеттіЈ нЩтижесінде Їш о›и“аныЈ орындалуы мЇмкін болса, онда еЈ болма“анда біреуі орындалады деп мына жа“дайларды айтамыз: біреуі орындалса, немесе екеуі орындалса, немесе Їшеуі орындалса дегендей. Ол Їшін мына теореманы дЩледейік.

Теоерема. Тобымен тЩуелсіз А₁, А₂, ....... , о›и“аларыныЈ еЈ болма“анда біреуініЈ орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы, ›арама-›арсы ₁, ₂, ....... , о›и“аларыныЈ ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісін 1-ден алып таста“ан“а теЈ.

(1)

кйбейту теоремасын ›олданса›

я“ни

формуласымен есептеледі.

Сонымен іздеп отыр“ан ы›тималды“ымыз

§ 12 Шартты ы›тималды›

А жЩне В тЩуелді о›и“алар делік. Онда аны›тама бойынша біреуініЈ ы›тималды“ы екінші о›и“аныЈ орындалу орындалмауына байланысты. Сонды›тан, бізді В о›и“асыныЈ ы›тималды“ы ›ызы›тыратын болса, онда бізге А о›и“асыныЈ орындал“ан орындалма“анын білудіЈ маЈызы зор.

Аны›тама. А о›и“асы орындалды деп есептеп, одан кейін есептелетін В о›и“асыныЈ ы›тималды“ын шартты ы›тималды› деп атаймыз да деп белгілейміз.

Мысал. љобдида 5 а› жЩне 4 ›ара шар бар. љобдидан ›айтармай екі рет бір-бірлеп шар алайы› . Егер, бірінші рет ›ара шар алын“ан (А о›и“асы) болса, екінші рет а› шар алынатынды“ыныЈ (В о›и“асы) ы›тималды“ын тап.

Шешуі. Бірінші Щрекеттен кейін ›обдида 8 шар ›алды, оныЈ 5-уі а›. Олай болса шартты ы›тималды›



Ескерту. ТЩуелсіз о›и“алар бір-бірініЈ орындалу ы›тималды›тарын йзгертпейтін бол“анды›тан, тЩуелсіз о›и“алардыЈ шартты ы›тималды›тары олардыЈ шартсыз ы›тималды›тарына теЈ, я“ни

жЩне
§ 13 ТЩуелді о›и“алардыЈ ы›тималды›тарын

кйбейту теоремасы

А жЩне В о›и“алары тЩуелді болсын, оныЈ Їстіне Р(А) жЩне Р_А(В) ы›тималды›тары белгілі болсын. Осы о›и“алардыЈ бір сЩтте орындалу ы›тималды“ын табу Їшін мына теореманы пайдаланамыз.

Теорема. Екі тЩуелді о›и“аныЈ бір сЩтте орындалу ы›тималды“ы олардыЈ біреуініЈ ы›тималды“ын екіншісініЈ, бірінші о›и“а орындалды деп есептегендегі шартты ы›тималды“ына кйбейткенге теЈ.

(1)

ДЩлелдеу. -деп Щрекет кезінде А о›и“асыныЈ орындалуы да, орындалмауы да мЇмкін болатын элементар жа“дайлардыЈ санын белгілейік.

-деп А о›и“асыныЈ орындалуына ы›пал ететін жа“дайлардыЈ санын белгілейік [А ( ].

деп А о›и“асы орындалды деп жоры“аннан кейінгі В о›и“асыныЈ орындалуы Їшін жасалатын Щрекет кезіндегі элементар жа“дайлардыЈ саны, я“ни АВ о›и“асыныЈ орындалуына ы›пал етуші жа“дайлардыЈ саны.

Сонда

я“ни

ДЩлелденді.

Енді ВА мен АВ о›и“алары бір-а› екендігін ескерсек, онда (2) (1) мен (2)-ні салыстырып

м±нда“ы

ТЩуелді Їш о›и“а Їшін былай болады:

Енді бірінші рет а› шар, екінші рет ›ара шар шы›ты десек, Їшінші рет кйк шар шы“атынды“ыныЈ ы›тималды“ы болады да іздеп отыр“ан ы›тималды“ымыз

§ 14 ®йлесімді о›и“алардыЈ ы›тималды›тарын

›осу теоремасы

Аны›тама. Бір-а› рет жасалатын Щрекет кезінде біреуініЈ орындалуы, екіншісініЈ орындалуын жо››а шы“армайтын екі о›и“аны Їйлесімді о›и“алар деп атаймыз.

Мысал. А-деп, ойын сЇйегін ла›тыр“анда 4 ±пайдыЈ тЇсуін белгілесек, онда А мен В о›и“алары Їйлесімді о›и“алар.

А мен В о›и“алары Їйлесімді болсын, жЩне олардыЈ жеке-жеке, жЩне бірге орындалу ы›тималды›тары: Р(А), Р(В), Р(АВ) берілсін. Сонда А мен В о›и“аларыныЈ еЈ болма“анда біреуініЈ орындалуыныЈ я“ни А+В о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ын табу Їшін, мына теореманы дЩлелдейік.

Р (А+В) = Р (В)-Р(АВ) (*)

Р (А+В) = Р (А )+Р( В)+Р(АВ) (I)

®йлесімсіз екі о›и“аныЈ: немесе АВ біреуі орындалса А о›и“асы орындалады. ®йлесімсіз о›и“алардыЈ ы›тималды›тарын ›осу теоремасын ›олданып

б±дан (2)

осы сия›ты

б±дан (3)

(2) мен (3)-ті (1)-ге ›ойса› (*) шы“ады.

1-ші Ескерту. ДЩлелденген (*) формуласын А мен В о›и“алары тЩуелсіз болса да, тЩуелді болса да ›олдану“а болады. А мен В тЩуелсіз бо“ан жа“дайда мына тЇрде:

ТЩуелді бол“ан жа“дайда мына тЇрде:

пайдаланамыз.

Ендеше

(*) формуласы бойынша мынау шы“ады

§ 15 Толы› ы›тималды›тыЈ формуласы

В₁,В₂,........, о›и“алары толы› топ ›±райды, жЩне осылардыЈ біреуі орындал“анда “ана А о›и“асы да орындалады. Егер осы о›и“алардыЈ ы›тималды›тары мен шартты ы›тималды›тары берілген болса А о›и“асыныЈ ы›тималды“ын ›алай табамыз ? Ол Їшін мына теореманы ›олданамыз.

Теорема. Толы› топ ›±райтын Їйлесімсіз о›и“алардыЈ біреуі орындал“анда “ана орындалатын А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы, осы о›и“алардыЈ Щр›айсысыныЈ ы›тималды“ын, со“ан сЩйкес А о›и“асыныЈ шартты ы›тималды“ына кйбейтіп, оларды ›ос›ан“а теЈ я“ни (1)

Б±л формуланы «толы› ы›тималды›тыЈ» формуласы деп атайды.

енді тЩуелді о›и“алардыЈ кйбейту теоремасы бойынша

Осыларда (2)-ге ›ойса› (1) шы“ады. ДЩлелденді.

Енді толы› ы›тималды›тыЈ формуласы бойынша (1)

Жауабы: 0,86

(А“ылшын математигі 18-“.)

Біз А о›и“асыныЈ орындалу ы›тималды“ы толы› ы›тималды›тыЈ формуласымен (1) аны›талатынын кйрсеттік, я“ни

Енді А о›и“асы орындалды деп есептейік те, б±л жа“дайда болжамдардыЈ ы›тималды“ы ›алай йзгеретінін кйрсетелік, я“ни мына шартты ы›тималды›тарды іздейміз: . Алдымен шартты ы›тималды“ын табалы› . Кйбейту теоремасын ›олданса›

Р(А)-ны (1)-ші формула ар›ылы айырбастаса› (2)-ден мынау шы“ады:

сонда кезкелген болжамныЈ шартты ы›тималды“ы мына формуламен есептеледі:

Алын“ан (3) жЩне (3^і) формулаларын Бейес формулалары дейміз.

ЕсептіЈ шарты бойынша: (тексерілетін бйлшектіЈ 1-ші ба›ылаушы“а тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ы), (бйлшектіЈ 2-ші ба›ылаушы“а тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ы), (жарамды бйлшектіЈ 1-ші ба›ылаушы“а тексеріп, Їлгілі болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы), (2-ші ба›ылаушы тексеріп, Їлгілі болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы). Сонда іздеп отыр“ан ы›тималды“ымыз:

Шрекетке дейін В болжамныЈ ы›тималды“ы – 0,6 еді, ал ЩрекеттіЈ нЩтижесі белгілі бол“аннан кейін, б±л болжамныЈ ы›тималды“ы йзгеріп 0,59 бол“анды“ын бай›ау“а болады. Сонымен Бейес формуласын ›олдану ар›ылы ›арастырып отыр“ан болжамныЈ ы›тималды“ын ›айта ба“алады›.

1. 
   Дорбада“ы 40 асы›тыЈ 4-уі са›а. Дорбадан кездейсо› ал“ан асы›тыЈ са›а болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. ( Жауабы: р=0,1)
   
2. 
   БЩйгеге шабатын аттыЈ Їстіндегі балалар“а нймір та“у Їшін 1-ден 60-›а дейінгі нймір жазыл“ан ›а“азды алу керек болды. Бірінші бала ал“ан нймірде 8 цифры болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,1)
   
3. 
   Ойын кубы ла›тырылды.Та› санды ±пай тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
   
4. 
   Бір асы›ты Їйірдік. Алшы мен тЩйке тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
   
5. 
   Дорбада 3 а› , 21 ›ара тЇсті дойбы тасы бар. Дорбадан кездейсо› ал“ан дойбыныЈ а› тЇті болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
   
6. 
   Дорбада бірдей 5 кубик бар. Шр кубиктіЈ барлы› жа“ына мына ЩріптердіЈ біреуі жазыл“н: А, З, С, Т, °. Дорбадан бір-бірлеп кубиктерді алып, жЩне бір ›атар“а тізіп ›ой“ан кубиктерден «°СТАЗ» деген сйзді о›у“а болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
   
7. 
   БЩрі бірдей алты карточка“а мына ЩріптердіЈ біреуі жазыл“ан: А, Б, Н, Р, Т, Ы. Карточкалар жа›сылап араластырылды. Бір-бірден кездейсо› алып, бір ›атар“а тізіп ›ой“ан тйрт карточкадан «ТАРЫ» деген сйзді о›у“а болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
   
8. 
   Барлы› жа›тары боял“ан кубикті бірдей етіп аралап кесіп, мыЈ кубиктерге бйлейік те жа›сылап араластырайы› . Кездейсо› алын“ан кубикшеніЈ боял“ан жа›тары: а) біреу, б) екеу, В) Їшеу болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: а) 0,384, б)0,96, в)0,008 )
   
9. 
   ШртЇрлі сегіз кітапты кездейсо› тЇрде бір сйреге ›ояйы› . Белгілі екі кітаптыЈ ›атар орналас›анды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
   
10. 
    ДЇкенде Щр›айсысы 4 теЈгелік 5 ›алам, 3 ›алам – бір теЈгеден жЩне 2 ›алам – Їш теЈгеден сатылма› . Кездейсо› алын“ан екі ›аламныЈ 5 теЈге т±ратынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
    
11. 
    Шкелінген 100 ›арбыздыЈ 5-уі шикі болып шы›ты. Шикі ›арбыздыЈ болатынды“ыныЈ салыстырмалы жиілігін тап. (Жауабы: )
    
12. 
    Сада›тан ат›анда нысана“а дЩл тиетіндігініЈ салыстырмалы жиілігі 0,75-ке теЈ болды. Барлы“ы 80 рет ат›ан болса, неше рет нысана“а дЩл тиді ? (Жауабы: 60 рет)
    
13. 
    Тігін цехынан шы››ан 120 ›алпа›ты тексергенде 6-уыныЈ жарамсыз екендігі белгілі болды. Жарамсыз ›алпа›тыЈ бар екендігініЈ салыстырмалы жиілігін тап. (Жауабы: )
    
14. 
    Футбол ойынында“ы 11 метрлік айып добын со››анда, тор“а дЩл тЇсетіндігініЈ салыстырмалы жиілігі 0,85-ке теЈ болды. Бір маусымда 120 айып добы со“ыл“ан болса, соныЈ нешеуі тор“а тЇсті ? (Жауабы: 102 рет тЇсті)
    
15. 
    А›шалай-заттай лотореясында Щр 10000 билетке а›шадай 50 жЩне заттай 150 ±тыс шы“ады. Бір билет ал“ан адамныЈ а›шалай ма , заттай ма, Щйтеуір ±татынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,02 )
    
16. 
    Мерген бір ат›анда 10 ±пай алатынды“ыныЈ ы›тималды“ы 0,1-ге теЈ; 9 ±пай алатынды“ы 0,3-ке теЈ; ал 8 ±пай, немесе одан аз ±пай алатынды“ыныЈ ы›тималды“ы 0,6-“а теЈ. Мерген бір ат›анда 9-дан кем емес ±пай алатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,4)
    
17. 
    10 дойбы тасыныЈ 8-і ›ара тЇсті. Кездейсо› ал“ан 2 тастыЈ еЈ болма“анда біреуі ›ара тас екендігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
    
18. 
    ЖЩшіктегі 10 балапанныЈ екеуі тауы›тыкі емес. Кездейсо› ал“ан 6 балапанныЈ ішінде бйтен балапанныЈ саны біреуден кйп емес екендігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )
    

19. А, В, С, Д о›и“асы толы› топ ›±райды. Б±л о›и“алардыЈ ы›тималды›тары ; ; -ке теЈ болса Д о›и“асыныЈ ы›тималды“ы неге теЈ ? (Жауабы: )

20. Статистикалы› мЩліметке ›ара“анда нау›ан кезінде автомашинаныЈ орташа есеппен 20 рет то›тап т±руына себеп: 10-ы бензин алу“а, 3-уі балон ауыстыру“а, 2-уі жЇк уа“ында тиелмегендіктен екен. Ал бас›алары ЩртЇрлі бас›а себептерге байланысты болса керек. АвтомашинаныЈ бас›а себептерге байланысты то›тайтынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

21. Асы›ты бір рет Їйіргенде бЇк тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ы р=0,8-ге теЈ. Асы›ты Їш рет Їйірдік. ®шеуінде де бЇк тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: Р=0,512 )

22. Сада›тан бір рет ат›анда мерген нысана“а дЩл тиетіндігініЈ ы›тималды“ы 0,7-ге теЈ. Мерген Їш рет атты. ®шеуінде де нысана“а дЩл тиетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,343 )

23. Тиын мен ойын кубы ла›тырылды. «ЕлтаЈба тЇсті» жЩне «5 ±пай тЇсті» о›и“аларыныЈ ›абат орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

24. Екі дорбада дойбы тастары бар: біріншісінде – 10 (оныЈ 3-уі а› тас), екіншісінде – 15 (оныЈ 6-уы а› тас). Шр бір дорбадан кездейсо› бір-бір тас алды›. ЕкеуініЈ де а› тас болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,12)

25. Телевидения студиясында 3 телевизорлы› камера бар. ОлардыЈ Щр›айсысыныЈ ›ажетті уа›ыт сЩтіндегі іске ›осылу ы›тималды“ы р=0,7. љажет сЩтте осылардыЈ еЈ болма“анда біреуініЈ іске ›осылатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,973)

26. ®ш ойын кубын ла›тыр“анда, еЈ болма“анда біреуінде 4 ±пай тЇсетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

27. Мекеме 95% Їлгілі б±йым дайындайды, оныЈ 86 %-ы бірінші сортты. Осы мекемеде дайындал“ан, кездейсо› алын“ан б±йымныЈ бірінші сортты болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,817 )

28. Тиынды ла›тыр“анда, ›атарынан екі рет бір жа“ы “ана тЇскенше ла›тыра берейік. Мына о›и“алардыЈ ы›тималды“ын тап: а) алтыншы рет ла›тыр“ан“а дейін талап орындалады, б) ж±п сан рет ла›тыр“анда талап орындалады. ( Жауабы: ; б) )

29. 1,2,3,4,5 цифрларыныЈ алдымен біреуін таЈдап аламыз, одан соЈ ›ал“ан тйртеуінен екінші цифрды таЈдап аламыз. Барлы› 20 мЇмкін жа“дайларды теЈ ы›тималды›ты деп есептеп, таЈдап алын“ан та› цифр екендігініЈ ы›тималды“ын тап. а) бірінші ретте, б) екінші ретте, в) екеуінде де. ( Жауабы: а) ; б) ; в) 0,3

30. Бір ат›анда мергенніЈ онды››а тигізетіндігінЈ ы›тималды“ы 0,6-“а теЈ. Тигізу ы›тималды“ы 0,8-ден кем болмаса, ол еЈ болма“анда бір рет онды››а тигізу Їшін неше рет ату“а тиіс. ( Жауабы: )

31. ®ш электр лампочкалары то››а тізбектей жал“астырыл“ан. Егер тізбектегі то›тыЈ ›уаты тиісті ›алыптан артып кетсе, кезкелген лампочканыЈ жанып кету ы›тималды“ы 0,6-“а теЈ. То›тыЈ ›уаты тым жо“ары болса, тізбекте то› болмайтынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: р=0,936 )

32. ТЩуелсіз екі рет Щрекет жаса“анда А о›и“асыныЈ еЈ болма“анда бір рет орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ы 0,75-ке теЈ. Екі реткі Щрекет кезінде де о›и“аныЈ орындалу ы›тималды“ы бірдей деп есептеп, о›и“аныЈ бір Щрекет кезінде орындалатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: 0,5 )

33. А спорт ±йымыныЈ А₁, А₂, А₃ Їш командасы В спорт ±йымыныЈ В₁, В₂, В₃ Їш командасымен сайыс›а тЇседі. А ±йымыныЈ командалары В ±йымыныЈ командаларынан ±татынды“ыныЈ ы›тималды›тары мынандай: А₁ командасы В₁ командасын ±татынды“ы – 0,8; А₂ – В₂-ні ±татынды“ы – 0,4; А₃ – В₃-ті ±татынды“ы – 0,4. ЖеЈіс Їшін, Їш сайыста екіден кем емес ±ту керек. (теЈ ойын есепке алынбайды) љай ±йымныЈ ±туы ы›тималдыра› ? ( Жауабы: А ±йымы, р=0,544 ; )

34. Бір рет ат›анда тигізу ы›тималды“ы, бірінші ат›ыш Їшін 0,8 , ал екінші Їшін 0,6-“а теЈ болса, тек бір “ана ат›ыштыЈ тигізетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. ( Жауабы: 0,44 )

35. Асы›тыЈ боял“анды“ы тексерілуде. ОныЈ боялма“анды“ыныЈ ы›тималды“ы 0,1-ге теЈ болса: а) тексерілген Їш асы›тыЈ тек біреуі “ана боялма“ан, б) ›атарынан тексерілгендегі тйртіншісі “ана боялма“ан, болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. ( Жауабы: а) 0,243 б) 0,0729 )

36. Екі мерген бір-бірден о› атты. Бірінші мергенніЈ тигізу ы›тималды“ы 0,7-ге теЈ, ал екіншінікі 0,6-“а теЈ болса, еЈ болма“анда біреуініЈ нысана“а дЩл тиетіндігініЈ ы›тималды“ын тап. ( Жауабы: 0,88 )

37. Сауытта №1 шебер жаса“ан 16 жЩне №2 шебер жаса“ан 4 жЇзік бар. Кездейсо› екі жЇзікті алды› . СолардыЈ еЈ болма“анда біреуін №1 шебер жаса“анды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

38. Топта 4 желая›, 6 палуан жЩне 20 гимнаст бар. Б±лардыЈ спортты› норманы орындау ы›тималды›тары мынадай: желая› – 0,75; палуан – 0,8 жЩне гимнаст Їшін – 0,9. Кездейсо› таЈдап алын“ан спортшыныЈ норманы орындайтынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: 0,86 )

39. ®ш ›оржында №1-ші йрімші йрген жЩне екі ›оржында №2 –ші йрімші йрген ›амшылар бар. №1-ші йрімшініЈ ›амшысы тобыл“ы сапты екендігініЈ ы›тималды“ы – 0,8-ге, ал №2-шінікі – 0,9-“а теЈ. Кезкелген ›оржыннан кездейсо› ›амшы алды› . Алын“ан ›амшыныЈ тобыл“ы сапты болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: 0,84 )

40. Бірінші дорбада“ы 20 асы›тыЈ 15-і боял“ан, екінші дорбада“ы 30 асы›тыЈ 24-і боял“ан, Їшінші дорбада“ы 10 асы›тыЈ 6-уы боял“ан. Кезкелген дорбадан кездейсо› алын“ан асы› боял“ан болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

41. љоймада 4 киноскоп бар. Б±лардыЈ межелі мерзімге дейін б±зылмай ж±мыс істеу ы›тималды›тары: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95- ке теЈ. Кездейсо› алын“ан киноскоптыЈ межелі мерзімге дейін б±зылмайтынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: 0,875 )

42. Екі жЩшікте радиолампылар бар. Бірінші жЩшіктегі 12 лампыныЈ 1-уі жарамсыз, екінші жЩшіктегі 10 лампыныЈ да 1-уі жарамсыз. Бірінші жЩшіктен кездейсо› бір лампа алайы› та екіншіге салайы› . Екінші жЩшіктен кездейсо› алын“ан лампаныЈ жарамсыз болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

43. Толы› 28 тасы бар доминоныЈ кездейсо› бір тасын алды› . Екінші рет кездейсо› алын“ан тастыЈ алдыЈ“ы тас›а жал“астырып ›ою“а болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: )

44. Емтихан билеттерініЈ кейбіреулерін білмейтін студент Їшін, білмейтін билетті алудыЈ ы›тималды“ы ›андай жа“дайда мейлінше аз болады: билетті бірінші болып алса ма, немесе соЈынан алса ма ? (Жауабы: Екеуінде де бірдей )

45. Ішінде бірдей Їш дойбы бар ›обдиша“а боял“ан дойбы салайы›-та, одан соЈ кездейсо› бір дойбы алайы› ›обдишада“ы б±рын“ы дойбылардыЈ боял“анды“ы туралы барлы› мЇмкін болжамдар теЈ ы›тималды болатын болса, кейінгі ал“ан дойбыныЈ боял“ан болатынды“ыныЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: 0,625 )

46. Олимпиада“а ›атысу Їшін бірінші топтан – 4, екіншіден – 6, Їшіншіден – 5 студент бйлінді. ОлардыЈ институттыЈ ›±рамасына кіру ы›тималды›тары мынадай: бірінші топ Їшін – 0,9; екінші топ Їшін – 0,7; Їшінші топ Їшін – 0,8. Кездейсо› алын“ан студент жарыс ›ортындысында институттыЈ ›±рамасына кірді. Б±л студенттіЈ ›ай топ›а жататынды“ы ы›тималдыра› ? ( Жауабы: љ±рама“а кірген студент 1-ші, 2-ші, 3-ші топтан болатынды“ыныЈ сЩйкес ы›тималды›тары: )

47. Шлде›андай йндіріс йнімініЈ талап›а сай болатынды“ыныЈ ы›тималды›тары – 0,96-“а теЈ. Талап›а сай йнімніЈ оЈ ба“асын 0,98-ге теЈ ы›тималды›пен, ал талап›а сай емес йнімдікін 0,05-ке теЈ ы›тималды›пен ›арапайым ›±рылым тексеретін болды. Тексеру нЩтижесінде талап›а сай деп ба“алан“ан йнімніЈ шынында да талап›а сай екендігініЈ ы›тималды“ын тап. (Жауабы: 0,998)

ІІ тарау. ТЩуелсіз тЩжірибелердіЈ тізбегі.

§ 1 Бернулли формуласы.

( Швейцар математигі )

Егер бірнеше Щрекеттер жасаса›, жЩне де А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы Щрбір Щрекет кезінде бас›а ЩрекеттердіЈ нЩтижесіне байланыссыз болса, онда ондай Щрекеттерді А о›и“асына байланысты айт›анда тЩуелсіз Щрекеттер деп атайды.

ШртЇрлі тЩуелсіз Щрекеттер кезінде А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы ЩртЇрлі де, немесе бЩрінде бірдей де болуы мЇмкін. Б±дан былай біз А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы ыл“и да бірдей болатын тЩуелсіз Щрекеттерді ›арастырайы›. А о›и“асыныЈ орындалуы да, орындалмауы да мЇмкін, саны Щрекеттер жасалсын. ЖЩне де Щрбір Щрекет кезінде А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы ыл“и да Р-“а теЈ болсын. Олай болса А о›и“асыныЈ орындалмау ы›тималды“ы болады.

Саны рет Щрекет жаса“анда А о›и“асыныЈ тура К рет орындалатынды“ыныЈ, я“ни рет орындалмайтынды“ыныЈ ы›тималды“ын табу керек. М±ны былай тЇсінеміз: Тйрт рет Щрекет жаса“анда А о›и“асы Їш рет орындалу“а тиіс болса, ол дегеніміз мынадай кЇрделі о›и“алар болу“а тиіс деген сйз: жЩне . Сонымен Щрекет жаса“анда К рет орындалатынды›тыЈ ы›тималды“ын есептеу кезінде былайша белгілейміз .

БіздіЈ мысалымыз да – дегеніміз, тйрт Щрекет жаса“анда, о›и“а т±п-тура Їш рет орындалады, демек бір рет орындалмайтын болып шы“ады. М±ндай мазм±нда“ы есепті шы“ару Їшін Бернулли формуласын ›орытып шы“арайы› .

А – дегеніміз Щрекет жаса“анда К рет орындалатын о›и“а болса, онда ол рет орындалмайтын о›и“а болады, олай болса б±л жа“дайда, тЩуелсіз о›и“алардыЈ ы›тималды›тарын кйбейту теоремасы бойынша бір кЇрделі о›и“аныЈ ы›тималды“ы -“а теЈ болады. М±ндай кЇрделі о›и“алардыЈ саны элементтен -ден жасал“ан терудіЈ санына, я“ни -“а теЈ болады. Б±л кЇрделі о›и“алар Їйлесімсіз бол“анды›тан, Їйлесімсіз о›и“алардыЈ ›осу теоремасы бойынша, керекті ы›тималды› барлы› мЇмкін болатын кЇрделі о›и“алардыЈ ы›тималды›тарыныЈ ›осындысына теЈ. Б±л дегеніміз барлы› кЇрделі о›и“алардыЈ ы›тималды›тары бірдей бол“анды›тан іздеп отыр“ан ы›тималды“ымыз бір кЇрделі о›и“аныЈ ы›тималды“ын, солардыЈ барлы› санына кйбейткенге теЈ:

Б±л формула Бернулли формуласы деп аталады.