Исследование цепей переменного тока Методические указания к лабораторной работе по дисциплине Электротехника и электроника
жүктеу/скачать 329.3 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Авторы-составители: Погодин Д.В.
- 3. Комплексный метод с использованием комплексных амплитуд
- 1.4. Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)
|
Министерство образования и науки Российской федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева (КНИТУ – КАИ) ________________________________________________________________ Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине Электротехника и электроника
Насырова Р.ГКазань 2014 Цель работы: ознакомиться со свойствами элементов электрической цепи синусоидального тока, изучить явление резонанса напряжений и получить навык построения векторных диаграмм.
1.1.Общие сведения о переменных (синусоидальных) токах В электротехнике простейшим переменным сигналом является гармонический (ЭДС - е(t), напряжение - (u(t), ток - i(t)). Применяют несколько способов представления гармонических (синусоидальных – sin или косинусоидальных –cos) электрических величин. 1. Временной (аналитический) способ - ток задается аналитически в виде функции времени (1.1). Аналитически гармонический сигнал (например, напряжение) записывается выражением: u(t) = Umsin(ω0t+φ0) , (1.1) где u(t) – мгновенное значение напряжения – напряжение в момент времени t. Временная диаграмма гармонического сигнала приведена на рис.1.1. Он характеризуется следующими тремя основными параметрами: 1. um – амплитуда, величина наибольшего отклонения от нуля, (В- вольт); 2. Т – период, наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные величины повторяются, измеряется в (сек), с ним связаны f=1/Т – циклическая частота, измеряется в (Гц) и ω0 =2πf – угловая частота - (рад/с); 3. φ0 – начальная фаза, (рад). Выражение в скобках - (ω0t+φ0)= ψ(t) называют полная фаза. Отсюда φ0 = ψ(t=0).
Кроме амплитуд о величине периодических сигналов судят по их среднеквадратичным (действующим) значениям за период, I, U, E –  ,  ,  . (1.2)
Например, действующее значение периодического тока равно такому значению постоянного тока, который, проходя через сопротивление r, за период Т выделяет то же количество тепла, что и данный переменный ток i. Связь между амплитудным и действующим значениями синусоидального тока равна
Иногда гармонические сигналы характеризуют средним значением. Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю, поэтому за среднее значением гармонического тока принимают среднее значение за положительный полупериод:  . (1.4)
Разность фаз колебаний. При совместном рассмотрении двух гармонических сигналов (рис.1.2) одной частоты разность их начальных фаз, называют сдвигом фаз и обозначают  . Если  и  то
 . (1.5)
Если φ=0,то напряжение и ток совпадают по фазе, если Графически синусоидальные величины изображаются вектором (рис. 1.3) вращающимся против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция вектора на вертикальную ось есть мгновенное значение величины. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой. Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными. Как известно из тригонометрии сумму двух гармонических функций времени одинаковой частоты i1=I1тsin(t+1) и i2=I2тsin(t+2), образует синусоидальный сигнал с той же частотой i=Iтsin(t+), где  ,  .
Графически сложение векторов показано на рис. 1.4. 
Рис. 1.4. Сложение векторов значительно проще, чем сложение гармонических функций. 3. Комплексный метод с использованием комплексных амплитудКомплексной амплитудой синусоидального тока i(t) = Im sin(ωt + ψ) называют комплексное число Ím = Imejψ, где амплитуда тока Im – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока. Между ними при известной частоте ω существует взаимнооднозначное соответствие i(t) = Im sin(ωt + ψ)↔ Ím = Imejψ, т.е. зная одно можно записать другое. Комплексную амплитуду можно записать в алгебраической, показательной и тригонометрической форме
где j – мнимая единица; Re[Ím ] = Imcosψ и Im[Ím ] =Imsinψ - реальная и мнимая части комплексного числа; Ím =(( Re[Ím ]2 + (Im[Ím ]2)1/2 и ψ – модуль и аргумент комплексной амплитуды. и представить на комплексной плоскости (рис. 1.5) вектором с длиной Im и углом поворота ψ относительно вещественной оси Re. Во многих случаях пользуются понятием комплексного действующего значения синусоидальной величины Í  = Iеjψ , (1.2)
т.е. комплексного числа с модулем в виде действующего значения Í =Ím/ Совокупность векторов, изображающих комплексные амплитуды синусоидальных величин (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой. Использование комплексной формы представления позволяет заменить операции над функциями времени на операциями над комплексными числами, а также для анализу цепей переменного тока применять все методы анализа цепей постоянного тока. 1.2. Законы Кирхгофа для мгновенных значений напряжения и тока
 . (1.3)
При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают токи, направленные от узла (к узлу). Например, для узла электрической цепи (рис. 1.6) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде При этом с положительным (отрицательным) знаком учитывают напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) направлению обхода контура. Ч В этом уравнении с положительным (отрицательным) знаком записывают напряжения и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно) с направлением обхода контура. Так, для замкнутого контура схемы (рис. 1.7)
Они имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин: комплексных амплитуд и комплексных сопротивлений. 1. Закон Ома. Он устанавливает связь между комплексными амплитудами тока и напряжения на участке цепи. 1.8. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС (рис. 1.8):    ,
г 2. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений) токов в узле равна нулю  . (1.5 а)
3. Второй закон Кирхгофа: В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений, ЭДС) равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.  . (1.5 б)
1.4. Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)Под комплексным сопротивлением понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока:  . (1.6)
где Z –модуль комплексного сопротивления, φ=ψu - ψi – начальная фаза или аргумент комплексного сопротивления; R - активного сопротивления, X– реактивному сопротивлению, причем Z=(R2+X2)1/2, а φz(ω)=ψu-ψi =arctg(X/R). В По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи: Z=R – активное (резистивное) сопротивление; Z=R+jX — активно-индуктивное сопротивление; Z=R – j X — активно-емкостное. 1.5 Мощность в цепях синусоидального тока. Для характеристики мощности в цепи синусоидального тока используются понятия мгновенной, активной, реактивной и полной мощности. Мгновенная мощность, характеризующая скорость изменения энергии в цепи в любой момент времени определяется выражением p(t)=u(t)i(t)=Um Sin (ωt+ψu) ImSin(ωt+ψ i)= UICos(ψ u- ψ i)- UICos(2ωt+ ψ u+ ψ i ). Мгновенная мощность содержит постоянную составляющую и переменную составляющую, меняющуюся с удвоенной частотой относительно частоты изменения напряжения и тока. Среднее за период «Т» значение мощности называется активной мощностью и в нашем случае P= UICosφ, [Вт]. Эта мощность характеризует энергию, рассеиваемую за период питающего напряжения в виде тепла в резистивных элементах цепи, и измеряется в Ваттах. Видно, что средняя или активная мощность всегда положительна и равна постоянной составляющей мгновенной мощности. Реактивной мощности Q, которая вычисляется по формуле Q = UISinφ , [ВАР]. Эта мощность не связана с выделением энергии в элементах и характеризует максимальную скорость обмена энергии между источником и элементами, способными запасать энергию электрического или магнитного поля (индуктивные или емкостные элементы ЭЦ). Эта мощность определяет ток, связанный с обменом энергии. Протекание тока приводит к дополнительным потерям энергии в проводах линий передач. Поэтому реактивная мощность должна быть по возможности минимальной. Реактивная мощность может быть положительной, если φ >0 и отрицательной, если φ<0. В S= UI, [ВА]. Между полной, активной и реактивной мощностью существует связь  ,
Графически ее можно представить в виде «треугольника мощностей» (рис.1.6). При расчетах мощностей в цепях переменного тока пользуются понятием коэффициента мощности Cosφ =P/S . Он характеризует долю средней или активной мощности P в полной мощности S. Чем меньше Cos φ при одинаковой активной мощности Р, тем больше ток и потери в устройствах передачи энергии. Повышение коэффициента мощности промышленных установок представляет собой важную техническую задачу. На щитке любого источника переменного тока (генератора или трансформатора) указывается значение полной мощности S, представляющей предельную мощность установки. Только при Cosφ =1, активная мощность становится равной полной мощности и, следовательно, мощность источника используется полностью. 1.6. Элементы цепи переменного тока К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся резистивный элемент с сопротивлением R, индуктивный элемент с индуктивностью L, и емкостный элемент с емкостью С. Их условные обозначения на схемах показаны в табл.1.1. Также, в табл.1.1, для идеализированных элементов приведены: уравнения элементов – i=F(u); временные диаграммы напряжения и тока на элементе, соотношения между их амплитудами и начальными фазами при гармоническом токе; законы Ома в комплексной форме и выражения для комплексных сопротивлений элемента; векторные диаграммы тока и напряжения на элементе. Таблица 1.1.
1.7. Анализ цепи при последовательном соединение RLC-элементов. Для схемы рис. 1.9. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:  (1.7) Пусть  , тогда:
 (1.8)
Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 1.10. Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на В комплексной форме уравнение (1.8) примет вид:
Здесь: Z=R+j(XL-XC)=Zejφ - комплексное сопротивление, На комплексной плоскости сопротивления R, jXL, -jXC, Z - образуют треугольник сопротивления, рис. 1.11. Если сопротивления умножить на Сравнивания уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения (8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета. жүктеу/скачать 329.3 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
. (
). (1.3)
- находятся в противофазе, если 
- в квадратуре. Если φ>0, то 
отстает от 
по фазе на угол 
, то 
.
. 
синусоидальной величины и аргументом в виде начальной фазы.
.
. (1.4а)
асто второй закон Кирхгофа формулируют, иначе: алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.
. (1.4б)
и
- комплексные амплитуды тока и напряжения на участке цепи; Z – комплексное сопротивление участка цепи, 
–комплексные амплитуды потенциалов на данном участке цепи.
замосвязь между полным, активным и реактивным сопротивлением графически представляется в виде «треугольника сопротивления» (рис.1.7)
еличина S, равная произведению действующих значений тока и напряжения на зажимах ЭЦ, называется полной или кажущейся мощностью и измеряется в вольтамперах (ВА).
; =ψи – ψi = 0.
ZR
,
или 
;
; 
.
.
(1.9)
- модуль комплексного сопротивления; 
- фаза комплексного сопротивления; X=(XL-XC) – реактивное сопротивление.
, получим диаграмму напряжений, рис. 2.12 – треугольник напряжений.
