Iv акселерометры глава IV акселерометры осевой акселерометр прямого преобразования



жүктеу 0.9 Mb.
бет1/5
Дата16.06.2016
өлшемі0.9 Mb.
  1   2   3   4   5

Глава IV Акселерометры

ГЛАВА IV АКСЕЛЕРОМЕТРЫ

4.1. Осевой акселерометр прямого преобразования

4.1.1. Уравнения движения чувствительного элемента





Рис.4.1. Схема чувствительного элемента акселерометра


Чувствительный элемент акселерометра может быть изготовлен из кремниевой пластины толщиной ск, плоскость xz которой совмещена с кристаллографической плоскостью (100), а оси xz сориентированы по кристаллографическим направлениям [ПО] (рис. 4.1).

С помощью анизотропного травления формируется симметричная лунка с наклоном граней 54°44', ориентированных в семействе четырех плоскостей (111). Собственно чувствительным элементом (ЧЭ) является пластина (чувствительная масса) с размерами ат, bт, ст. Толщина упругого элемента сп, являющегося подвесом чувствительной массы, мо­жет быть задана по времени травления. Упругий подвес может быть сформирован в виде четырех симметрично расположенных перемычек (см. также рис. 1.13).

Для обеспечения жидкостного или газового демпфирования ЧЭ необходимо предусмотреть возможность перетекания демпфирующей среды в направлении оси у. Если подвесом являются перемычки, то перетекание жидкости или газа, заполняющих объем акселеро­метра, обеспечивается зазором по периметру пластины. Если упругим подвесом является сплошная мембранная перемычка, должны быть предусмотрены отверстия, либо другие конструктивные меры. Для вывода уравнений движения воспользуемся рис.4.2.



Рис. 4.2. К выводу уравнений движения чувствительного элемента акселерометра: а, б положение центра масс; в положение пластины; г системы координат

Предполагается, что центр масс (т.С) ЧЭ (пластины) смещен в плоскости xz относительно геометрического центра (т.О) на величины lx, lz (рис. 4.2.а). Центр масс находится в плоскости симметрии пластины (рис.4.2.б). При действии сил mU и mg (m — масса пласти­ны), обусловленных измеряемым ускорением «U» и ускорением g силы тяжести, переме­щение пластины определяется линейной у и угловой α координатами (рис.4.2.в).

Текущее положение чувствительной массы (пластины) определено следующим образом (рис. 4.2.г). С корпусом акселерометра связана система координат XYZ, начало кото­рой (т.О) совпадает с центром симметрии пластины. Оси X1 и Z1 системы координат X1Y1Z1 параллельны соответственно осям X и Z, а оси Y1 и Y совпадают. Перемещение OO1 определяет новое положение центра симметрии пластины. Положение центра масс плас­тины (т.С) определяется в плоскости O1X1Z1 координатами lx, lz. Оси системы координат x2y2z2 параллельны соответствующим осям системы X1Y1Z1. Положение системы коорди­нат х3Уз2з относительно системы координат x2y2z2 определено углом β, а положение сис­темы координат xyz относительно системы x3y3z3 определено углом α. Таким образом, положение пластины в системе координат XYZ, может быть определено координатой у и углами α, β. Предполагается, что корпус акселерометра подвержен пространственной вибрации, которая определена виброперемещениями xB,yB,zB вдоль соответствующих осей системы XYZ.

Уравнения движения акселерометра, т.е. его чувствительной массы (пластины) получим с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода:






(4.1)

где: T — кинетическая энергия пластины;

Qjобобщенные силы по соответствующим обобщенным координатам;

qj, qj — обобщенные координаты и скорости







Выражение, определяющее кинетическую энергию пластины, имеет вид:




(4.2)

где: Jx, Jz — главные центральные моменты инерции пластины относительно осей Cx и Cy;

с, с, c — линейные скорости центра масс (ЦМ) пластины в направлении осей X, Y,

Z, соответственно.


Линейные скорости ЦМ пластины:

В соответствии с рис. 4.2.г имеем:









Используя (4.2), получим выражение для кинетической энергии пластины:




(4.3)

В качестве примера получим уравнение движения по координате у. Вычислим следую­щие производные:









Имея в виду, что обобщенные координаты α, β, у — малые величины, будем полагать: sinα≈ α, sin β ≈ β, cos α ≈ cosβ ≈ 1. Кроме того, будем пренебрегать произведениями и квадрата­ми малых величин, а также величинами, имеющими еще более высокий порядок «малости».



С учетом сказанного, уравнение движения акселерометра по линейной координате имеет вид:

(4.4)

Поступая аналогичным образом, получим уравнения движения акселерометра по угло­вым координатам:






(4.5)

Имея в виду, что векторы сил и моментов, обусловленных упругими связями пластины (мембрана, перемычки), направлены против положительного отсчета обобщенных координат, а сила и моменты демпфирования — против положительного направления векторов обобщенных скоростей, запишем выражения для обобщенных сил:




(4.6)

где: кдy , кдβ, кдα — абсолютные коэффициенты демпфирования пластины по соответствую­щим координатам;

G0 — линейная жесткость упругих связей по координате у;

Gβ, Gα — угловые жесткости упругих связей по соответствующим координатам. Имея в виду (4.4, 4.5, 4.6), и добавляя уравнение связи между координатами ус и у запи­шем уравнения движения чувствительной массы акселерометра:




(4.7)

где:— моменты инерции чувствительной массы (пластины)

относительно осей O1Z1 и O1X1 соответственно.

Воспользуемся известными результатами [15, 16, 18] и запишем выражения для коэффициентов демпфирования:

— чувствительная масса в форме прямоугольника (аm bm)






(4.8)



где:

μ — динамический коэффициент вязкости демпфирующей среды; h — размер, определяющий толщину демпфирующей среды.

— чувствительная масса в форме квадрата т = bт)





(4.9)

где:

Для определения жесткостей упругого подвеса будем полагать, что он выполнен в виде четырех упругих балок толщиной cn, шириной bп и длиной l. Так как плоскость пластины (чувствительная масса) ориентирована в кристаллографической плоскости (100), поперечные сечения упругих балок (bп × сп) будут ориентированы в кристаллографической плоскости (ПО). Воспользуемся справочными данными* и для определения жесткостей запишем сле­дующие выражения:






(4.10)

где коэффициент k' зависит от отношения bпп (табл.4.1.)

Табл. 4.1.





Vcn

1

1,5

1,75

2

2,5

3

4

6

8

10,0

OO

k'

0,141

0,196

0,214

0,229

0,249

0,263

0,281

0,299

0,307

0,312

0,333

* Справочник машиностроителя в шести томах. Под ред. CB. Серенсена. Т.З. M.: Машгиз, 1955.

Заметим, что формула для вычисления жесткости Gy записана в предположении, что четыре упругие балки подвеса работают на изгиб, когда сила приложена на конце балки, а формула для вычисления жесткости Ga, Gβ — в предположении, что две балки работают на изгиб, а две — на кручение.

Пример 1.

Вычислим коэффициенты демпфирования чувствительного элемента, который имеет

форму прямоугольника со сторонами ат =9000· 10-6м, bт =10000 10-6J м; зазор h = 20· 10-6 м · Полагаем, что демпфирующей средой является воздух, для которого при

t = 20°C— μ = 1,7∙10-5 Н∙с/м2.

Воспользуемся формулами (4.8) и получим:



















Полагаем, что упругий подвес выполнен в виде четырех балок с размерами: bп = 400· 10-6 м, cn = 25· 10-6 м, l = 2000· 10-6м.

Имеем:

Выполним вычисления по формулам (4.10) и получим:









Следует подчеркнуть, что вычисления по формулам (4.8, 4.9, 4.10), как и по другим, приведенным в различных источниках, не дают точных результатов. Во всех случаях, когда это возможно, необходимо экспериментальное уточнение используемых формул.

Более того, даже физические константы E и G не являются неизменными и зависят, например, от степени нарушения структур монокристалла, вызванного металлизацией, эпитаксией и другими технологическими операциями.

Из системы (4.7) следует, что перекрестные связи между уравнениями обусловлены несовпадением геометрического центра пластины с её центром масс и что измерение ускоре­ния «U» «зашумлено» вибрационными ускорениями.

Если lx = 1z = 0 ,тο система (4.7) распадается на независимые уравнения:






(4.11)

Для стационарного режима из уравнений (4.11) следуют выражения смещений:




(4.12)

Пример 2.

Вычислим стационарные перемещения ЧЭ акселерометра для исходных данных:



т = 0,2∙10-3 кг, U= 100 м/с2, g = 9,8 м/с2;







Значения жесткостей получены в предыдущем примере:

Заметим вначале, что линейная перегрузка , а вибрационная пb =b /g=40

Воспользуемся выражениями (4.12) и получим:








Из вычислений следует, что при вибрационной перегрузке превышающей линейную, возможна ситуация, когда постоянное смещение в направлении измерительной оси меньше ам­плитуды вибрационной составляющей перемещения. При одновременном действии линей­ного и вибрационного ускорений возможны достаточно большие угловые колебания ЧЭ.

4.1.2. Передаточные функции чувствительного элемента

Уравнения вида (4.11) неоднократно исследовались [8, 13, 43, 63]. Не останавливаясь здесь на известных результатах этих исследований, запишем только передаточные функции, характеризующие изменение обобщенных координат чувствительного элемента от действия внешних сил. Применим форму записи d/dt=s), введем обозначения:

и получим:





(4.13)

где: Tq — постоянная времени ЧЭ;

ξq— относительный коэффициент демпфированных ЧЭ; (w0q = 1/Tq — собственная частота недемпфированных колебаний ЧЭ).




(4.14)

Пример 3.

Вычислим значения передаточной функции (4.13). Воспользуемся данными предыдущих примеров:



Размеры кремниевой пластины: ат = ∙10 -3 м, bт =10-2 м, ст = 35 · 10-5 м. Плотность кремния: ρ = 2,33 кг/см3 = 2,33 · 10-3 кг3.

Вычислим массу пластины: тп= ρат bт ст = 0,075 · 10-3 кг.

В предыдущем примере было принято значение чувствительной массы т = 0,2 · 10-3 кг. Чтобы обеспечить это значение, необходимо на пластине разместить дополнительную массу тд=т-тп= 0,125·10-3кг . Допустим, что эта масса изготовлена из стали плотностью ρ = 7,8 · 10-3 кг/м3. Объем, занимаемый этой массой V = 16 мм3, что соответствует кубу с

длиной грани аk = 2,5 ∙10 -3 м.

Моменты инерции пластины относительно осей x, z (рис.4.1) равны:



Полагаем, что дополнительная масса расположена в геометрическом центре поверхности пластины и вычислим ее моменты инерции относительно осей x, z:













Моменты инерции чувствительного элемента:


Воспользуемся выражениями (4.14) и получим:

Числовые значения параметров (4.14) могут быть изменены соответствующим подбором размеров пластины и упругих элементов. Эффективным конструктивным приемом изменения степени демпфирования, помимо изменения демпфирующей среды (воздух, азот, водород, масло и т.д.), является выполнение в пластине специальных отверстий, которые могут быть названы — перфорационными отверстиями (ПО) (рис.4.3). Прибли­женно можно считать, что коэффициенты демпфирования уменьшаются пропорциональ­но площади ПО.





Рис.4.3. Варианты конфигураций перфорационных отверстий (ПО)

Выполним анализ влияния перекрестных связей, обусловленных смещением центра масс ЧЭ, на его динамику. Перепишем систему уравнений (4.7



где:




(415)

(415)


(4.15)


(4.16)

Будем полагать, что параметры ЧЭ и линейной вибрации таковы, что в двух последних уравнениях системы (4.15) в правых частях первые составляющие, по крайней мере, на два порядка больше остальных, которые исключим из дальнейшего рассмотрения.

Запишем систему (4.15) в операторной форме (4.17)


Запишем передаточную функцию ЧЭ по отношению к силе F:


(4.18)

(4.19) (4.20)


Уравнение (4.16) в операторной форме:



где:


Δ, у, Δβ, Δα — определители, получаемые из системы (4.17) в соответствии с прави­лом Крамера.

Подставим (4.20) в (4.19) и получим:





откуда:

(4.21)



Запишем выражения для определителей:




(4.22)

Раскроем определители (4.22) и получим:




(4.23)





где:







(4.24)





где:



















где:


где:

Запишем выражение для передаточной функции:

(4.25)


(4.26) (4.27)







где:

Из передаточной функции (4.27) при s = 0 следует выражение для чувствительности к линейным ускорениям:






(4.28)

Очевидно, чувствительность по отношению к виброускорению b также может быть рассчитана по формуле (4.28).

Пример 4.

Примем значения параметров ЧЭ из предыдущих примеров и вычислим значения коэффициентов многочленов в передаточной функции (4.27).










Имеем:

Выполним вычисления с точностью до второго знака после запятой и получим:

Воспользуемся формулой (4.28) и получим ус/(и-g) = 0,13∙10∙-6[c2]. Предположим U=0, g = 9,81 м/с2, и получим смещение ус = 1,25∙10-6 м.


Из выражения (4.28) следует, что если выполняются равенства Ga = Gp, lx=Iz, то

угловые жесткости на чувствительность к линейным ускорениям не влияют. Заметим, что для принятых значений величин параметров ЧЭ и вычислениях с точностью до второго знака после запятой, влияние угловой жесткости подвеса на чувствительность незаметно.

Устойчивость ЧЭ может быть исследована с помощью критерия Гурвица. Для характе­ристического уравнения ∆ = 0 (см. выражение 4.23) составим квадратную матрицу (табли­цу) коэффициентов:





Критерий устойчивости сводится к тому, что при а6 > 0 должны быть больше нуля все шесть определителей Гурвица:

(4.29)


Получение конкретных выражений для соотношений коэффициентов, характеризую­щих устойчивость, не представляет трудностей.

Порядок передаточной функции (4.27), имея в виду числовые значения коэффициентов, может быть снижен.

Пример 5.

Воспользуемся значениями коэффициентов передаточной функции из предыдущего примера и запишем ее в виде:



Имея в виду порядок значений коэффициентов, передаточную функцию запишем в при­ближенной форме:



Из полученных результатов следует, что возможно такое сочетание значений парамет­ров ЧЭ, особенно при сильном демпфировании, при котором ЧЭ можно рассматривать как «усилительное» звено с большим запаздыванием по фазе.

4.1.3. Передаточная функция акселерометра

На рис.4.4. в соответствии с уравнениями (4.15, 4.16) приведена структурная схема ЧЭ акселерометра. Если параметры ЧЭ позволяют пренебречь перекрестными связями, то структурная схема распадается на три независимые канала по координатам у, β и α (показаны толстыми линиями).









Рис.4.4. Структурная схема ЧЭ акселерометра

Измерение перемещений чувствительного элемента акселерометра чаще всего выпол­няется дифференциальным преобразователем емкостного типа. При этом роль среднего электрода выполняет подвижная пластина (чувствительная масса) акселерометра. Емкости дифференциального измерителя определяются по известным формулам (см. 3.15):












где:
(система СИ);

ε — диэлектрическая проницаемость среды между электродами (ε = 1,00058+1,00061; воздух, азот),



S — взаимная площадь перекрытия электродов [м2];

h0h — начальное значение и изменение зазора между электродами [м].

Измерительные цепи микромеханических акселерометров прямого преобразования, как правило, реализуются на дискретно-аналоговых схемах. Их выбор обусловлен необходи­мостью совместимости с ЧЭ по массогабаритным и метрологическим характеристикам. Один из вариантов измерительной цепи акселерометра показан на рис.4.5.



Рис. 4.5. Измерительная цепь акселерометра

Емкости C1 и C2, включенные последователю, составляют два плеча мостовой схемы, а роль двух других плеч выполняют двупольные источники питания ±Uоп. Опорное напряжение к емкостному мосту поступает через ключевую схему Кл1÷Кл4, управляемую специальным тактовым генератором. Выходное напряжение AU с измерительного моста поступает на инвертирующий повторитель с большим входным сопротивлением на операционном усилите­ле ОУ1. Получим выражение для определения U. На рис.4.6, а показана схема измерительного моста, а на рис.4.6 б — эквивалентная схема, на которой обозначены: R — внутреннее сопротивление источника опорного напряжения; Хс1 = 1/(С1ω), Хс2 = 1/(С2ω) — сопротивления емкостей (ω — частота тактового генератора); I1,I2 — токи в ветвях мостовой схемы.



α — схема включений, б — эквивалентная схема

Если выбрать сопротивления R1 = R2 = 1 МОм (рис. 4.5), то можно считать, что измерительный мост работает без нагрузки. В этом случае перезаряд емкостей C1 и C2 будет осу­ществляться через малые внутренние сопротивления источников питания R. Частота напряжения питания fn измерительного моста выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие








где tm — время перезаряда конденсаторов.

Тогда выходное напряжение будет иметь форму близкую к меандру.

В соответствии с рис.4.6.6 величина U образуется как разность потенциалов между т. А и т. В (ф-лы 3.17 и 3.18):








С учетом выражений для емкостей, получим:




(4.30)

В соответствии с (4.30) напряжение в измерительной диагонали моста не зависит от частоты генератора, а передаточная функция преобразователя перемещений имеет вид:




(4.31)

Как отмечалось, напряжение U поступает на инвертирующий повторитель, к выходу которого подсоединен ключ Кл5 синхронного детектора Управление Кл5 осуществляется прямым сигналом с частотой напряжения питания моста. Преобразование переменного напряжения после синхронного детектора в сигнал Uвых постоянного напряжения реализуется с помощью активного фильтра нижних частот второго порядка. Подобные фильтры могут быть реализованы разными схемами. Одна из них, показанная на рис.4.5, построена на операционном усилителе ОУ2 и получила название структуры Рауха. С ее помощью можно реализовать фильтр с малым значением добротности. Увеличение добротности филь­тра повышает его избирательные свойства. При этом сужается диапазон частот, в котором осуществляется переход от полосы пропускания к полосе задерживания. Однако с увеличением добротности повышается колебательность переходного процесса в фильтре при скач­кообразном воздействии. Подобная ситуация может возникнуть, например, при измерении ускорения катапультируемого объекта, при резком (удар) торможении автомобиля и т.д. В этих случаях нужно использовать фильтр с малой добротностью.

Передаточная функция фильтра второго порядка имеет известный вид [33]:






(4.32)




где:

(4.33)



В предположении отсутствия перекрестных связей между обобщенными координата­ми, блок-схема измерительной цепи акселерометра показана на рис.4.7.







Рис. 4.7. Блок-схема измерительной цепи акселерометра

В соответствии с рис.4.7. и с учетом (4.13, 4.14, 4.31,4.32), передаточная функция аксе­лерометра имеет вид:






(4.34)

Из передаточной функции (4.34) при s = 0 следует статическая характеристика акселе­рометра:




(4.35)

Запишем амплитудно-частотную характеристику фильтра, полагая s = jω (ω — круговая частота):




(4.36)

В соответствии с (4.36) амплитуда пульсации выходного сигнала определяется выраже­нием:




(4.37)

где: ω = ωг — круговая частота тактового генератора.

Пример 6.

Параметры акселерометра:





Рассчитаем параметры фильтра, обеспечивающие крутизну выходной характеристики Uвых/u = 1 B/g и значение пульсации выходного сигнала Un10-5 В.



Используем формулу (4.35) и получим:







Примем Kф= 3,5, тогда в соответствии с (4.33): R5 = 3,5R3.

Положим R3 = R4 и получим зависимость . Полагая ξф = 0,707 , примем C3 = 10-6[Ф] и получим С4≈9∙10-6[Ф]. Будем считать R3 = R4= 103[Om], тогда R5 = 3,5∙103[Ом] и Tф = 5,61∙10-3[с], (ωф = 0,17∙103 1/с≈28,38 Гц). Будем считать ωг = 6,28∙105[1/с] и получим Uп = 0,157· 10-5В<10-5В.



Пример 7.

Рассчитаем частотные характеристики акселерометра с параметрами из предыдущего примера:


















Воспользуемся передаточной функцией (4.34) и запишем:







Имея в виду, что выражение в первой квадратной скобке знаменателя имеет два действительные корня, перепишем передаточную функцию следующим образом:










где:





На рис. 4.8 приведены частотные характеристики акселерометра с параметрами из данного примера (см. 4.34). В данном примере из-за большого демпфирования ЧЭ, соответствую­щее ему колебательное звено преобразуется в два апериодических. В соответствии с видом модифицированной передаточной функции и вычислениями на рис.4.8. приведены частот­ные характеристики в пределах изменения частоты до 1000 1/с, т.к. для принятых параметров акселерометра полоса пропускания ограничена значением частоты ω=100 1/с≈16 Гц, и при этом запаздывание по фазе достигает φ = 90°.





Рис. 4.8. Частотные характеристики акселерометра:

А(ω) амплитудная характеристика (тонкой линией показана асимптотическая ЛАЧХ);

φ1(ω)— фазовая характеристика, соответствующая постоянной времени T1,

φф(ω) — фазовая характеристика фильтра,

φ(ω) — суммарная фазовая характеристика

4.2. Маятниковый акселерометр прямого преобразования

4.2.1. Уравнения движения чувствительного элемента

Чувствительный элемент акселерометра представляет собой массу на упругом подвесе, который может быть оформлен в виде консольных «балок», работающих на изгиб, либо в виде упругих элементов типа «торсионов», работающих на кручение. Если плоскость мо­нокристалла, в котором вытравлены конфигурации чувствительной к ускорениям массы и упругих элементов, совмещена с кристаллографической плоскостью (100), то плоскости изгиба или кручения будут ориентированы в направлении [110].


Рис.4.9. К выводу уравнений движения чувствительного элемента





Для вывода уравнений движения воспользуемся рис.4.9.

Предполагается, что центр масс недеформированной пластины (чувствительной массы) т. С, располагается в ее геометрическом центре на расстоянии а от ее краев. Чувствительная масса связана с корпусом акселерометра гибким элементом балочного типа дли­ной AB = l.

Для определения текущего положения чувствительной массы введены следующие системы координат: OXY — неподвижная система; ох0у0 — система координат, связанная с основанием, на котором установлен акселерометр; O1xкyк — система координат, связан­ная с корпусом акселерометра (тт. В и O1 совпадают).

Положение системы Ох0у0 относительно OXY определено углом γ, который может произвольно изменяться во времени. Основание, а вместе с ним и система координат Ох0у0, может перемещаться с ускорением u, направление вектора которого определено углом β. Кроме тοгο, основание может совершать «косую» вибрацию, заданную виброперемещениями хb и уb. Начало системы координат O1xкyк определено вдоль оси Oy0 как OO1 = L, а ее положение относительно системы Ох0у0 определено произвольным, но фиксированным в пределах от 0° до 360°, углом γ0. Мгновенное положение центра масс (т. С) определено координатами x и у в системе осей OXY. Положение оси, проходящей через тт. А и С в системе координат O1xкyк определено углом υ, а положение т. А — координатой уr парал­лельной оси O1yк. Угол между осью O1xк и касательной к изогнутой оси упругого элемента в т. В силу его малости: αуr /l. B т. С приложены внешние силы, обусловленные ускорени­ями u и g; а также виброускорениями.

Будем полагать, что углы α и υ малы и имеет место равенство α = υ. Уравнения движения получим вторым методом Лагранжа, имея в виду, что в (4.1) обобщенные координаты q1 = υ , q2 = уr .

Кинетическая энергия чувствительной массы m акселерометра равна:






(4.40)

где: Jc — главный центральный момент инерции чувствительной массы вокруг оси перпендикулярной плоскости XY.

Запишем выражения для координат x и у т.С:






(4.41)

Имея в виду, что углы α и υ малы (sin υ ≈ υ, sin α ≈ α, cos α = cos υ1) и при γ 0 име­ют место неравенства α <<γ, υ << γ из (4.41) получим следующие равенства:




(4.42)


В качестве примера получим уравнения движения для случая γ0 = 0°. Имея в виду (4.42) (γ0 = 0°)' вычислим ,  и в соответствии с (4.40) запишем:







Вычислим производные от полученного выражения:




















































В соответствии с (4.1) получим уравнения движения чувствительного элемента акселерометра для случая γ0 = 0°:




(4.43)

где: Qυ , Qy — обобщенные силы по соответствующим координатам.

Поступая аналогичным образом, получим уравнения движения чувствительного элемента акселерометра для случаев:






γ0= 90°

(4.44)


γ0= 180°




(4.45)

γ0= 270°.




(4.46)

Обобщенные силы Qυ , Qy в уравнениях (4.43÷4.46) включают: силы, обусловленные жесткостью упругой «балки» подвеса; силы, обусловленные ускорениями g и и; силы демпфирования. На рис.4.10 показаны упругие силы P и моменты M, приложенные к «балке» со стороны чувствительной массы и к массе со стороны балки. Там же показаны сила mg и составляющие силы ти.



Рис. 4.10. К определению обобщенных сил

Определим вначале силы, обусловленные упругими свойствами «балки». Известно*, что сила P вызывает линейное смещение уr и поворот балки на угол υ, определяемые формулами:







где: E — модуль продольной упругости материала балки;

J— момент инерции поперечного сечения балки относительно главной оси;

EJ — жесткость балки на изгиб.

Известно также, что момент M вызывает аналогичные перемещения сечения балки в т. А:









Объединяя приведенные результаты, запишем уравнения перемещений:













или в матричной форме:

(4.47)


где: δij (i = 1,2; j = 1,2) — коэффициенты влияния, определяемые зависимостями:




(4.4*

Матрице коэффициентов влияниясоответствует обратная матрица коэффициентов жесткости, т.е. имеет место матричное равенство— единичная матрица).

В соответствии с определением обратной матрицы имеем:



Следовательно:



* Справочник машиностроителя. ТЗ/Под ред. CB. Серенсена.-М.:Машгиз,1955.









Далее имеем:









Имея в виду (4.48) получаем коэффициенты жесткости:




(4.49)

Аналогично (4.47) можем записать:







Таким образом, обобщенные силы, обусловленные жесткостью подвеса, определяются через матричное равенство (4.50).

В угловых акселерометрах сила Fд и момент Мд демпфирования пропорциональны соответственно линейной r и угловой  скорости движения маятника и могут быть опреде­лены из матричного равенства:






(4.51)

где: kдy кдθ— абсолютные коэффициенты демпфирования пластины (маятника) акселерометра соответственно для линейного и углового движений.

На рис.4.11 показана пластина (чувствительный элемент), заключенная в объеме, ограниченном двумя крышками. При движении пластины демпфирующая среда (газ, жидкость) перетекает через зазоры и перфорационные отверстия из одной полости, ограниченной пластиной и крышкой, в другую. Возникающая при этом сила вязкого сопротивления и является демпфирующей. Коэффициенты демпфирования определяются в соответствии с зависимостями (4.8,4.9), имея в виду, что kдυ = kдα = kдβ . Заметим также, что если пластина имеет перфорацию, то коэффициент углового демпфирования может быть вычислен по формуле [93]:



(4.52)

где: lцм — расстояние от «точки» защемления упругой «балки» подвеса до центра масс (т. С) пластины (рис.4.11).







Рис.4.11. К пояснению механизма демпфирования

Обобщенные силы, обусловленные ускорениями и и g, в соответствии с рис. 4.9 для обобщенных координат уr и υ определяются по формулам:






(4.53]

Таким образом, обобщенные силы Qυ и Qy определяются суммированием соответствующих выражений (4.50, 4.51, 4.53). Заметим при этом, что обобщенные силы, обусловленные жесткостью подвеса и демпфированием, не зависят от угла γ0 установки корпуса акселерометра.

Имея в виду (4.43 — 4.46) и (4.50, 4.51, 4.53), запишем уравнения движения чувстви­тельного элемента акселерометра для четырех вариантов установки его корпуса на объекте в следующем виде:






(4.54)




Где:

(4.55)


Уравнения движения (4.54) позволяют выполнить анализ динамики ЧЭ акселерометра для различных вариантов возмущений.

Пример 8.

Рассчитаем коэффициенты жесткости, податливости и демпфирования для ЧЭ, схема

которого показана на рис. 4.12.



Рис.4.12. Схема чувствительного элемента маятникового акселерометра

Чувствительный элемент представляет собой пластину (маятник) с внешними размера­ми ат, bm, ст, которая вместе с упругими элементами вытравлена из монокристалла, часть которого, обрамляющего по периметру маятник, условно названа «корпусом». В пластине выполнены перфорационные отверстия («ПО»), и в центре масс (т. С), совпадающем с гео­метрическим центром, расположена дополнительная масса (груз), которая может и отсут­ствовать. Для акселерометров компенсационного типа роль груза может выполнять катуш­ка электромагнитной обратной связи. Упругие элементы («балки») могут иметь сложную



конфигурацию как по высоте п), как и по ширине (bп). Здесь ширина балки принята по­стоянной, а переменный размер по высоте заменен постоянным размером сп эквивалент­ной высоты по ее длине l. Длина l и точки «А» и «В» соответствуют рис. 4.9 и 4.10.

Монокристаллический маятник изготовлен из кремния, для которого:

E100=1,4∙1011 H/м2, ρ = 2,33 г/см2 (плотность). Геометрические размеры пластины:

ат =8562,5∙10-6 м, a = 4281,25∙10 -6 м, bт =9100∙10-6 м, сm = 350∙10-6 м. Размеры упру­гой балки: l = 805∙10-6 м, bп = 400·10-6 м, сn = 26,67·10-6 м. Общая масса маятника (пла­стина с двумя грузами (катушками)) т = 0,29·10-3 кг .

Момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс (т. С) и

параллельной оси Z: = 1,775∙10-9 кг·м2.

В предположении, что вся масса маятника расположена в центре пластины, момент инер­ции маятника относительно оси, проходящей через т.А и параллельной оси z, равен:



JA=Jc+ma2 = 7,093·10-9 кг · м4.

Момент инерции поперечного сечения балки вокруг оси Z, проходящей через центр

тяжести сечения равен: = 6,32∙10-19 м4.

Воспользуемся формулами (4.48) и (4.49) и вычислим коэффициенты влияния и коэффициенты жесткости:



Для вычисления коэффициентов демпфирования предположим, что маятник располо­жен в герметичном объеме, заполненном воздухом, для которого при температуре окружа­ющей среды t = +200C вязкость μ = 1,7∙10-5 кг/м∙с. Имеем также следующие размеры·

м'с

lцм ≈ 5∙10-3м, h=18∙10-6 м, S = ambm ≈ 75∙10-6 м2 . Эффективную площадь пластины, участвующей в создании демпфирующей силы (момента), определим в долях от общей площади S. Воспользуемся зависимостями (4.8) для вычисления kду и (4.52) для вычисле­ния k и результаты поместим в таблицу:

Коэффициенты демпфирования

Эффективная площадь пластины

0,9S

0,8S

0,7S

0,6S

0,5S

0,4S

kду,, Н∙с/м

13,21

10,44

7,99

5,87

4,07

2,61

k, 10-6Н∙м∙с

82,56

65,25

49,93

36,68

25,43

16,31

  1   2   3   4   5


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет