Ж. Даулетбаева дифференциалдық теңдеулер

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулерінің жалпы шешімін табыңыз.
1) y′′ + y′ − 2y = 0 Жауабы: y= C₁ e^x+ C₂ e ^-2x
2) y′′ − 9y = 0 Жауабы: y= C₁ e^3x+ C₂ e ^-3x
3) y′′ − 4y′ = 0 Жауабы: y= C₁ e^4x+ C₂
4) y′′ − 2y′ − y = 0 Жауабы: y= C₁ + C₂
5) 3y′′ − 2y′ − 8y = 0 Жауабы: y= C₁ + C₂
6) y′′ + y = 0 Жауабы: y= С₁ cos x +С₂ sin x


Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап.
7) y′′ + 6y′ +13y = 0 Жауабы: y=

8) 4y′′ − 8y′ + 5y = 0 Жауабы: y=

9) y′′ − 2y′ + y = 0 Жауабы: y= e^x(C₁ + C₂ х)
10) Жауабы: x=( С₁+ С₂t) e^2,5t
11) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y  _x=0 = 6, y′  _{x= 0} =10 Жауабы: y = 4e^x + 2e^3x
13) y′′ + 4y′ + 29y = 0, y  _x=0 = 0, y′  _{x= 0} =15 Жауабы: y = 3e^−2x sin5x
14) 4y′′ + 4y′ + y = 0, y  _x=0 = 2, y′  _{x= 0} =0 Жауабы: y= e^{-x/ 2} (2 +x)


3.4 Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық теңдеулер


түріндегі теңдеу II ретті коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты теңдеу деп аталады.
коэффициенттері тұрақты дифф-қ теңдеудің шешімін табу үшін алдымен сипаттамалық (квадраттық болады) теңдеуін шешу керек. 3 жағдайға байланысты теңдеудің шешімі былайша анықталады:

Квадраттық теңдеудің түбірлері	Дара шешімі	Жалпы шешім
1) - нақты әртүрлі түбірлер
2) - нақты бірдей түбірлер
3) түбірлер комплекс сандар

Мысал 1:


Мысал 2:



3.5 Жоғарғы ретті тұрақты коэффициентті біртекті емес сызықтық теңдеулер


түріндегі теңдеу n-ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Теорема. -сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес теңдеудің дербес шешімдерінің қосындысынан тұрады.
y = + y* ,
мұндағы y - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі, - біртекті теңдеудің жалпы шешімі (оны табуды алдыңғы тақырыпта қарастырғанбыз), y* - сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің дара шешімі, оны біртекті емес теңдеудің оң жағы f(x) функциясына ұқсас анықтаймыз. Ол қалай болатындығы төмендегі кестеде көрсетілген:

f(x)	Сипаттамалық теңдеудің түбірлері	Дара шешімнің түрі
1) eax Pn(x), мұндағы Pn(x) – n-дəрежелі берілген көпмүшелік	a саны – сипаттама теңдеудің түбірі емес a саны – сипаттама теңдеудің r-еселі түбірі	y* = eax P*n (x) y∗ = xreaxP*n (x)
2) eax [ Pn(x) cosbx+ +Qm(x) sinbx ]	abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің түбірі емес abi сандар жұбы – сипаттама теңдеудің r-еселі түбірі	y*=eax[P*k(x)cosbx+Q*k(x)sinbx], мұндағы k=max(m,n) y*=xreax[P*k(x)cosbx+Q*k(x)sinbx] мұндағы k=max(m,n)

Мысал 1: y^IV + 8y''+16y = cos x теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: y = + y*
1) =?

2) y*=?
f(x) = cosx  abi = 01i = i ≠ k₁, k₂, ,k₃ ,k₄
y*=Acosx+Bsinx  (y*)^= -Asinx+Bcosx 
(y*)= -Acosx-Bsinx  (y*)= Asinx-Bcosx  (y*)^iv= Acosx+Bsinx
Осы табылған туындыларды бастапқы берілген теңдікке қоямыз:
Acosx+Bsinx+8(-Acosx-Bsinx)+16(Acosx+Bsinx)=cosx

A мен B мəндерін y*-ны анықтау өрнегіне қоямыз:
y*= cos x
Демек, y = + y*= (C₁+xC₃)cos2x+ (C₂+xC₄)sin2x + cosx
Мысал 2: теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Шешуі: f₁(x) + f₂(x) = x + (-sinx).
1)
2) түрінде іздейміз, мұндағы:


Сонымен,
3) f₂(x) функциясын келесі түрде ізделік: .

Сонымен,


 болғандықтан
Ізделінді дара шешім :
Ал біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:

Аудиториялық жұмыстар
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін тап:
1) 2y′′ + y′ − y = 2e^x Жауабы: y = С₁ e^{− x} + С₂ e^x/2 + e^x
2) y′′ + a² y = e^x Жауабы: y =С₁ cosax+С₂ sinax +
3) y′′ − 7y′ + 6y = sin x Жауабы: y = С₁ e^{6 x} + С₂
4) y′′ − 6y′ + 9y = 2x² − x + 3 Жауабы:
5) y′′ − 2y′ + 2y = 2x Жауабы: y = e^x((c₁ ^{cos x+c}₂ ^{sin x)+ x)−1}
6) y′′ + 4y′ − 5y = 1 Жауабы: y = С₁ e^x + С₂ e ^-5x - 0,2
7) у" -2у ' +у= Жауабы:у=е^х(С₁+C₂x-ln +x arctgx)


Үй жұмыстары
Берілген теңдеулердің жалпы шешімін анықта.
8) y"−3y′ + 2y = f (x), мұнда f (x) келесі функциялар түрінде берілген:

а) 10e^{− x}
ə) 3e^2x

б) 2sin x
в) 2x³ − 30
г)2e^x cos
д) x − e^−2x +1
е) e^x (3 − 4x)
ж) 3x + 5sin 2x
з) 2e^x − e^−2x
и) sinxsin2x
к) shx

Жауаптары: y = C₁ e^x + C₂ e ^{2 x} + y* , мұнда y* тең:

а) e^−x
ə) 3xe^2x
б)
в)
г) -8/5 +e^x(cosx/2 +2sinx/2)
д)

е) e^x (2x² + x)

ж) (9+3cos2x- sin2x )
з) -2xe^x- e^-2x
и)
к) - e^-x- xe^x

9) 2y"+5y′ = f (x) , егер f (x) тең: