ГЛАВА 2. Проективные отображения. Проективные преобразования

ГЛАВА 2. Проективные отображения. Проективные преобразования.

1. § 1. Проективное отображение пространств.

На проективной плоскости Р вектор ā порождает точку М, а вектор ā' на проективной плоскости Т порождает точку N.

Отображение fє является проективным отображением пространств, и индуцируется линейным преобразованием φ: V → V. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать, что отображение φ является гомотетией.

Для этого рассмотрим точку К пространства Р, отличную от точки М. Тогда отображение fє будет переводить точку К в точку К' (совпадающую с точкой К). Так как точки К и К' порождаются коллинеарными векторами ū и ū', то ū = ηū'. Докажем, что λ и η совпадают.

Если φ - линейное преобразование, то одним из ее свойств является сохранение суммы векторов; т. е. оно переводит вектор ā + ū в вектор ū' + ā'. Векторы ā + ū и ū' + ā' порождают в проективном пространстве Р соответственно точки N и N'. Так как fє - тождественное преобразование проективного пространства Р, то точки N и N' совпадают.

А так как точки N и N' порождаются коллинеарными векторами ā + ū и ū' +ā', то ā + ū = τ(ū' + ā' ).

Рассматривая векторы ā и ū , необходимо рассмотреть два случая:

1. 
   ā и ū – не коллинеарны, т. е. являются линейно независимыми. Тогда λ = τ и η = τ, то есть λ = η .
   
2. 
   ā и ū – коллинеарны, т. е. являются линейно зависимыми.Тогда выполняются равенства ā = αū, ā' = βū'.
   

В качестве , порождающего точку Е, можно взять согласованный с векторами вектор:

При проективном преобразовании f точки А_i переходят в А_i', совпадающими с точками А_i. Таким образом вектора коллинеарны векторам . Аналогично, точки Е и Е' совпадают, а вектор коллинеарен вектору .

Если рассматривать вектора в качестве базисных, то всегда найдется вектор с ними согласованный.

Таким образом, существует единственное линейное преобразование φ: → . Докажем, что преобразование φ является гомотетией.

1. § 2. Основная теорема о проективных отображениях.

1. § 3. Перспективное отображение гиперплоскостей пространства. Теорема Рейе.

следующему закону: если М π_{п – 1}, а М' π'_{п – 1}, то f переводит точку М в такую точку М', которая образуется при пересечении прямой (МS) с гиперплоскостью π'_{п – 1}.

Предположим, что в проективном пространстве Р_п задано перспективное отображение f, которое отображает гиперплоскость π_{п – 1} в π'_{п – 1} по следующему закону:

если М π_{п – 1}, а М' π'_{п – 1}, то f переводит точку М в такую точку М', которая образуется при пересечении прямой (МS) с гиперплоскостью π'_{п – 1}.

Точки М и М' порождаются соответственно одномерными векторными пространствами V₁, V'₁, принадлежащие V_п, V'_п. Так как V⁰₁ V_п, V⁰₁ V'_п, то точка S не принадлежит прямой (ММ'). В свою очередь, V⁰₁, V₁, V'₁ V₂, которая порождает прямую s, содержащую точку S.

Пусть {e_i} – базис векторного пространства V_п (i = 1, 2, 3…, п), тогда система векторов является линейно независимой в векторном пространстве V_п+1, тем самым образуя базис в этом пространстве.

В векторном пространстве V'_п выберем вектор , для которого существует такой вектор , что выполняется равенство: = + (1) или = + (2).

Вектор называется проекцией вектора вдоль вектора .

Таким образом, возникает отображение φ: V'_п→ V_п, действующее по закону (1) и преводящее вектор в вектор .

Докажем, что отображение φ: V'_п→ V_п является биекцией. Для этого рассмотрим базис {e'_i} векторного пространства V'_п (i = 1, 2, 3…, п) и

{ } – базис векторного пространства V_п+1.

В векторном просранстве V_п выберем вектор , который можно представить в виде:

= + , или

= + .

Таким образом, мы доказали, что φ: V'_п→ V_п является биекцией.

Докажем, что φ: V'_п→ V_п является линейным отображением.

λ = λ( + ) = λ + λ = λ + , т. е. вектор λ является проекцией вектора λ вдоль вектора .

Так мы показали, что отображение φ: V'_п→ V_п порождает проективное отображение f⁰: π_{п – 1} → π'_{п – 1}. Причём, когда отображение φ переводит одномерное векторное пространство V₁ в V'₁, f⁰ отображает точку М в точку М'. Оба пространства V₁ и V'₁ принадлежат двумерному векторному пространству V₂, тогда φ: V₁ → V'₁ отображает пространство V₂ на себя, а проективное отображение f⁰ отображает прямую s на себя. Таким образом, отображения f и f⁰ совпадают. А так как f⁰ является проективным отображением, тогда f также является проективным. ■

соответствующие точки Е'₁, Е'₂, Е' прямой l'.

Докажем существование двух перспектив.

Для этого на прямой (ЕЕ¹) выберем точки S и S'.

Прямые (SЕ₁) и (S'Е'₁) пересекаются в точке М,

а прямые (SЕ₂) и (S'Е'₂) пересекаются в точке N.

Прямую, проходящую через точки М и N,

обозначим через s₀. Прямые s₀ и (SS') пересекаются в точке Е₀. Таким образом, получили перспективное отображение f₁: l → s₀, которое переводит точки Е₁, Е₂, Е в точки М, N, Е₀. Вторым перспективным отображением

является отображение f₂: s₀ → l', которое

переводит точки М, N, Е₀ в точки Е'₁, Е'₂, Е'.

Композиция этих перспектив f₂ ж f₁ отображает прямую l на прямую l' и переводит точки Е₁, Е₂, Е в точки Е'₁, Е'₂, Е'. Композиция перспектив f₂ ж f₁ является проективным отображением.

Таким образом, доказали, что проективное отображение представимо в виде композиции двух перспектив. ■

1. § 4. Признак перспективного отображения.

На прямых l₁ и l₂ выберем соответственно такие точки А₁, В₁ и А₂, В₂ , чтобы при отображении f точка А₁ отображалась в точку А₂, а точка В₁ - в точку В₂ . Таким образом, точка , а точка Р будет являться неподвижной или инвариантной точкой проективного отображения.

Отображение переводит различные точки А₁, В₁ прямой l₁ соответственно в точки А₂, В₂ (А₂ ≠ В₂ )прямой l₂ . (А₁В₁) ∩ (А₂ В₂) = Р.

Рассмотрим перспективное отображение , которое переводит точки А₁, В_1,Р соответственно в точки А₂, В₂, Р. В силу теоремы1§3, любое перспективное отображение является проективным. Тогда ,в силу основной теоремы, существует единственное проективное отображение такое, что f₀ = f = f''. Таким образом, проективное отображение является перспективным. ■.

1. § 5. Проективные преобразования прямой. Инволюция.

Докажем, что нетождественное проективное преобразование прямой не может иметь более двух неподвижных точек.

По основной теореме о проективных преобразованиях, для точек

А', В', С' и А, В, С, принадлежащих одной прямой, существует единственное преобразование f ⁰, которое переводит точки А', В', С' соответственно в точки А, В, С. Такм образом, преобразования f^-1 и f ⁰ совпадают, а это доказывает что преобразование f^-1 является проективным. ■.
П.2.

Рассмотрим задачу построения образов точек при проективном преобразовании прямой.

Докажем теорему, выражающую признак инволюции.

Так как инволюция – нетождественное преобразование прямой, то по теореме 2 она не может иметь более двух инвариантных точек. ■

1. § 6 . Проективные преобразования плоскости. Гомология.

Проективные преобразования плоскости определяются требованиями, в соответствии с которыми должны сохранятся:

1. 
   принадлежность точек и прямых;
   
2. 
   двойное отношение.
   

По основной теореме о проективных отображениях следует утверждение 1.

Так как тождественное преобразование является проективным преобразованием, то из этого утверждения следует , что если вершины и единичная точка некоторого репера являются инвариантными точками проективного преобразования, то оно является тождественным преобразованием.

Рассмотрим основные свойства проективных преобразований.

Отсюда непосредственно следуют утверждения.

Нетождественное проективное преобразование называется гомологией, если оно имеет, по крайней мере три инвариантные точки, не лежащие на одной прямой.

Рассмотрим произвольную точку М и её образ М', не совпадающий с ней, и докажем, что прямая ММ' проходит через точку Р. Допустим, что это утверждение неверно. Тогда прямая ММ' пересекает прямые АА' и ВВ' в двух точках Q и R (рис.16). Точки Р, Q и R не лежат на одной прямой и являются инвариантными точками гомологии f. Возьмём на прямой gє точку S так, чтобы Р, Q, R, S были точками общего положения. По следствию теоремы п.1 преобразование f является тождественным преобразованием. Но это противоречит определению гомологии. Таким образом, наше предположение неверно, поэтому прямая ММ' проходит через точку Р. ■

Таким образом, гомологию можно задать осью, центром и парой соответственных точек. На рисунке 17 а, б выполнено построение образа точки Х, если гомология задана осью gє, центром Р и парой соответственных точек А и В ( рис. 17 а соответствует случаю, когда гомология гиперболическая, а рис. 17 б – когда она параболическая ).

Сначала строим образ прямой ХА, для чего точку пересечения Хє прямых ХА и gє соединяем с точкой В. Так как точки Х, Х' и Р лежат на одной прямой, то Х' – точка пересечения прямых ХєА и РХ.

• 
  
  жүктеу/скачать 1.71 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: