Кафедра геометрии
Раздел II. Аналитическая геометрия проективного пространства
жүктеу/скачать 1.71 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 2. Уравнение прямой. Координаты прямой.
- § 3. Формулы преобразование однородных координат.
- § 4. Теорема Дезарга на плоскости.
- § 5. Сложное отношение четырёх точек на плоскости. Свойства.
- § 6. Сложное отношение четырех прямых пучка.
- Пользуясь формулой (1) §9, после несложных выкладок получим
- § 7. Полный четырёхвершинник. Гармоническая четвёрка точек.
- Для этого спроектируем точки P, Q, M, N на
- Так как (АС, RN) = 1 / (СА, RN), то из равенств (1) и (2) получаем
- На рисунке 22пара прямых RМ, RN гармонически разделяют пару RP, RQ, так как
Раздел II. Аналитическая геометрия проективного пространства.Глава I. Проективные координаты.
П.1. Определение. Пусть σ – проективная плоскость. Упорядоченную систему точек А№, АІ, Аі, Е общего положения(№) плоскости σ называют проективным репером или проективной системой координат на плоскости и обозначают так: R = (А№, АІ, Аі, Е). Точки А№, АІ, Аі называют вершинами, точку Е – единичной точкой репера, а прямые А№АІ, АІАі, АіА№ - координатными прямыми. Определение. Если векторы ā№, āІ, āі и ē, порождающие вершины и единичную точку проективного репера R, выбраны так, что ē = ā№ + āІ + āі, (1) то будем говорить, что система векторов ā№, āІ, āі, ē согласована относительно репера R. Легко показать, что всегда существует система векторов которая согласована относительно данного репера. В самом деле, пусть đ№, đІ, đі, ē – какие-то векторы, порождающие вершины и единичную точку репера R = (А№, АІ, Аі, Е). Так как эти векторы принадлежат трёхмерному векторному пространству V, которое порождает плоскость σ, и đ№, đІ, đі не компланарны, то ē = λ№đ№ + λІđІ + λіđі. Положив ā№ = λ№đ№, āІ = λІđІ, āі = λіđі, получаем систему векторов ā№, āІ, āі, ē, порождающих соответственно точки А№ АІ, Аі, Е и удовлетворяющих равенству (1). Пусть λ – произвольное действительное число, отличное от нуля. Умножив равенство (1) на λ, получим λē = λā№ + λāІ + λāі. Отсюда следует, что система ā'№ = λā№, ā'І = λāІ, ā'і = λāі, ē' = λē также согласована относительно репера R. Таким образом, существует бесконечное множество систем векторов, каждая из которых согласована относительно данного репера. Лемма 1. Если каждая из систем векторов ā№, āІ, āі, ē и ā'№, ā'І, ā'і, ē' согласована относительно данного репера R = (А№, АІ, Аі, Е), то существует такое число λ ≠ 0, что ā'№ = λā№, ā'І = λāІ, ā'і = λāі, ē' = λē. (2) ■ Так как ā'№ = ā№ порождают одну и ту же точку А', то ā'№ = λ№ā№. Аналогично ā'І = λІāІ, ā'і = λіāі, ē' = λ4 ē. Система ā'№, ā'І, ā'і, ē' согласована относительно репера R, поэтому ē' = ā'№ + ā'І + ā'і или λ4 ē = λ№ā№ + λІāІ + λіāі. Так как λ4 ≠ 0, ē = (λ№/ λ4) ā№ + (λІ/ λ4 )āІ + + (λі/ λ4 )āі. Сравнения это равенство с равенством (1), получаем λ№/ λ4 = 1, λІ/ λ4 = 1, λі/ λ4 = 1, поэтому λ№ = λІ = λі = λ4. Таким образом, имеют место равенства (2). ■
Введём понятие координат точек на проективной плоскости. Пусть Х – произвольная точка плоскости σ, на которой задан проективный репер R = (А№, АІ, Аі, Е). рассмотрим какой-нибудь вектор х, порождающий точку Х, и систему векторов ā№, āІ, āі, ē, согласованную относительно репера R. Примем векторы ā№, āІ, āі за базис трёхмерного векторного пространства V, порождающего плоскость σ, и разложим вектор х по этому базису: х = х№ā№ + хІ āІ + хі āі. Определение. Числа х№, хІ, хі называются проективными координатами точки Х в репере R, причём х№ называется первой координатой этой точки, хІ - второй координатой, а хі - третьей координатой; пишут: Х(х№, хІ, хі) или Х(х№, хІ, хі)R. Так как х ≠ Ō, то все координаты точки одновременно не равны нулю. Заметим, что проективные координаты Х зависят выбора как вектора х, так и системы векторов ā№, āІ, āі, ē, согласованной относительно репера R. Выясним характер этой зависимости. Пусть ā'№, ā'І, ā'і, ē' – другая система векторов, согласованная относительно репера R, а х' – другой вектор, порождающий точку Х. Так как векторы х' и х порождают одну и ту же точку, то х' = μх. По предыдущей лемме ā'№ = λā№, ā'І = λāІ, ā'і = λāі. Координаты х№, хІ, хі точки Х при данном выборе векторов определяются по формуле х№ = х'№ ā'№ + х'І ā'І + х'і ā'і или μх№ = х'№ λā'№ + х'І λā'І + х'іλ ā'і. Сравнивая это равенство с равенством (3), получаем х№ = (λ/μ)х'№, хІ = (λ/μ)х'І, хі= (λ/μ)х'і, где (λ/μ) ≠ 0. Итак, заданием проективного репера координаты произвольной точки плоскости σ определяются с точностью до общего множителя. Вершины репера R = (А№, АІ, Аі, Е) и единичная точка в самом репере R имеют координаты А№(1,0,0), АІ(0,1,0), Аі(0,0,1), Е(1,1,1). В самом деле, пусть система ā№, āІ, āі, ē согласована относительно репера R. Тогда е = ā№ + āІ + āі. Отсюда и следует, что точка Е имеет координаты (1,1,1). Так как вектор ā№ порождает точку А№ и ā№ = 1· ā№ + 0· āІ + 0· āі, то точка А№ имеет координаты (1,0,0). Аналогично получаем координаты точек АІ и Аі. Лемма 2. Если (х№, хІ, хі) – координаты точки Х в репере R, а ā№, āІ, āі, ē – какая-нибудь система векторов, согласованная относительно репера R, то вектор y= х№ā№ + хІ āІ + хі āі порождает точку Х. ■ Так как (х№, хІ, хі) – координаты точки Х в репере R, то имеется такая система векторов ā'№, ā'І, ā'і, ē', согласованная относительно репера R, что вектор х = х№ ā'№ + хІ ā'І + хі ā'і порождает точку Х. По лемме 1 существует такое число λ ≠ 0, что выполняются равенства (2). Таким образом, х = λ( х№ ā№ + хІ āІ + хі āі) = λу. Отсюда следует, что вектор у порождает точку Х. ■ П.3. Докажем следующую теорему. Теорема 1. Три точки Х(х№, хІ, хі), У(у№, уІ, уі) и Z(z№, zІ, zі), заданные координатами в репере R, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (4)
Из этой теоремы следует, что точка Х(х№, хІ, хі) лежит на координатной прямой А№АІ тогда и только тогда, когда координаты точек Х(х№, хІ, хі), А№(1,0,0), АІ(0,1,0) удовлетворяют равенству (4), или хі = 0. Аналогично можно показать, что точка Х лежит на координатной прямой А№Аі (на прямой АІАі) тогда и только тогда, когда хІ = 0 (х№ = 0). П.4. По аналогии с предыдущим введём понятие координат точек на проективной прямой. Определение. Упорядоченную систему трёх точек А№, АІ, Е проективной прямой l называют проективным репером и обозначают так: R = (А№, АІ, Е). Точки А№, АІ называют вершинами репера, а точку Е – единичной точкой. Определение. Если векторы ā№, āІ, ē, порождающие вершины и единичную точку проективного репера R, выбраны так, что ē = ā№ + āІ, то будем говорить, что система векторов ā№, āІ, ē согласована относительно репера R. Так же как и в случае проективной плоскости, легко доказать, что существует бесконечное множество систем векторов, каждая из которых согласована относительно данного репера. Если ā№, āІ, ē и ā'№, ā'І, ē' согласованы относительно данного репера, то существует такое число λ ≠ 0, что ā'№ = λ ā№, ā'І = λ āІ, ē' = λ ē. Определение. Пусть Х – произвольная точка прямой l, на которой задан репер R = (А№, АІ, Е). Рассмотрим какой-нибудь вектор х, порождающий точку Х, и систему векторов ā№, āІ, ē за базис двумерного векторного пространства L, порождающего прямую l, и разложим на вектор х по этому базису: х = х№ ā№ + хІ āІ. Числа х№, хІ называются проективными координатами точки Х в репере R; пишут: Х(х№, хІ). Так же каки на плоскости, можно доказать, что заданием проективного репера на прямой l координаты произвольной точки прямой определяются с точностью до общего множителя. П.5. Рассмотрим на плоскости σ проективный репер R = (А№, АІ, Аі, Е). Пусть Х – произвольная точка плоскости σ, отличная от точки Аі, а Хі - точка пересечения прямых А№АІ и АіХ (рис.18). Точка Хі называется проекцией точки Х из центра Аі на прямую А№АІ. Ясно, что каждая точка плоскости σ, отличная от точки Аі, имеет проекцию из точки Аі на прямую А№АІ. Проекция каждой точки прямой А№АІсовпадает с самой точкой. Обозначим через Еі проекцию единичной точки репера R из центра Аі на прямую А№АІ (рис.). Упорядоченная система точек А№, АІ, Еі на прямой А№АІ образует проективный репер, который будем обозначать через Rі. Аналогично можно ввести реперы RІ = (А№, Аі, ЕІ) и R№ = (АІ, Аі, Е№) (рис.18). Итак, если на плоскости задан репер R, то на каждой из координатных прямых возникает свой репер: R№ на прямой АІАі, RІ на прямой А№Аі и Rі на прямой А№АІ. Докажем теорему о координатах проекции точки на координатную прямую.
то или .
Возьмём систему векторов , согласованную относительно репера R. Так как точки Хі и Еі имеют координаты (х№, хІ, 0) и (1,1,0), то векторы
порождают соответственно точки Еі и Хі. Равенство (1) означает, что система векторов ā№, āІ, ē согласована относительно репера Rі проективной прямой А№АІ. Из равенства (2) мы заключаем, что точка Хі на прямой А№АІ в репере Rі имеет координаты (х№, хІ). ■
П.1. Пусть Ф – фигура, т. е. любое множество точек. Определение. Уравнением фигуры Ф в выбранном репере называется такое уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры и не удовлетворяют координаты точек не принадлежащих этой фигуре. На проективной плоскости, так же как и на евклидовой плоскости, в качестве фигур чаще всего рассматриваются линии (примером линии является прямая). В этом случае уравнение фигуры называется уравнением линии. Выведем уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть на проективной плоскости выбран репер R и в этом репере известны координаты двух точек А (а№, аІ, аі) и В(b№, bІ, bі) данной прямой d. Напишем уравнение прямой d. Точка М(х№, хІ, хі) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда . (1) Это есть уравнение прямой d. Так как А и В – различные точки, то ранг (2) поэтому из равенства (1) следует, что х№, хІ, хі линейно выражаются через а№, аІ, аі и b№, bІ, bі. Это означает, что существуют числа λ и μ (не равные одновременно нулю), такие, что .(3) Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой d. Их смысл заключается в следующем: каковы бы ни были числа λ и μ, не равные нулю одновременно, точка с координатами х№, хІ, хі, удовлетворяющими условиям (3), лежит на прямой d. Обратно: если (х№, хІ, хі) – точка прямой d, то всегда найдутся числа λ и μ, такие, что х№, хІ, хі выражаются через ā№, āІ, āі и b№, bІ, bі при помощи равенств (3). В качестве примера запишем уравнения координатных прямых А№АІ, АІАі, АіА№ данного репера R = (А№, АІ, Аі, Е). Так как точки А№ и АІ имеют координаты А№(1,0,0), АІ(0,1,0), то уравнение (1) прямой А№АІ имеет вид: или хі = 0. Аналогично получаем уравнения двух других координатных прямых: АІАі : х№ = 0, АіА№ : хІ = 0. П.2. Разложив по элементам первого столбца определитель, стоящий в левой части уравнения (1) получим: (4) где
, , . В силу (2) хотя бы один из коэффициентов u№, uІ, uі не равен нулю. Таким образом, уравнение любой прямой в произвольном проективном репере является однородным уравнением первой степени. Докажем обратное утверждение:
■ Пусть γ- линия, заданная уравнением (4). Предположим для определенности, что u№≠0. Уравнению (4) удовлетворяют координаты двух точек Р (-uІ, u№, 0), Q (-uі,0,u№). Напишем уравнение (1) прямой PQ : или .
Рассмотрим прямые d№ и dІ, заданные уравнениями (5) (6)
Эти прямые совпадают тогда и только тогда, когда уравнения (5) и (6) эквивалентны. Используя соответствующую теорему из алгебры, мы приходим к следующей теореме: Теорема 2. Прямые, заданные уравнениями (5) и (6), совпадают тогда и только тогда, когда ранг . Следствие. Прямые, заданные уравнениями (5) и (6), пресекаются тогда и только тогда, когда ранг . П.4. Определение. Если прямая d в репере R задана уравнением (4), то коэффициенты u№ uІ uі этого уравнения называются координатами прямой d в репере R, и пишут: d (u№, uІ, uі). Координаты прямой одновременно не равны нулю, и из теоремы 2 следует, что они определяются с точностью до числового множителя. Из теоремы 1 заключаем, что любые три числа, не равные нулю одновременно, являются координатами некоторой прямой. Мы замечаем, что понятия координат точки и координат прямой обладают аналогичным свойством. Это обстоятельство не является случайным. В нём находит своё проявление так называемый принцип двойственности на проективной плоскости. Найдём координаты координатных прямых А№АІ, АІАі и АіА№ данного репера R = (А№, АІ, Аі, Е). Так как прямая А№АІ имеет уравнение хі = 0 или 0 х№ + 0 хІ + 1 хі = 0, то прямая имеет координаты А№АІ(0, 0, 1). Аналогично получаем координаты двух других координатных прямых: АІАі(1, 0, 0), АіА№(0, 1, 0).
П.1. Определение. На проективной плоскости рассмотрим два проективных репера R = (А№, АІ, Аі, Е) и R' = (А'№, А'І, А'і, Е') и допустим, что вершины репера R' в репере R имеют координаты А'№(а№№, аІ№, аі№), А'І(а№І, аІІ, аіІ), А'і(а№і, аІі, аіі), Е'(а№є,аІє, аіє). Матрицу (1) назовём матрицей перехода от репера R к реперу R'. Пусть система векторов согласована относительно репера R. По лемме 2 §1 векторы (2) , порождающие вершины репера R' и его единичную точку Е'. Из этих равенств получаем Так как векторы ā№, āІ, āі не компланарны, то из этого равенства следует, что система векторов ā'№, ā'І, ā'і, ē' согласована относительно репера R' (т. е. ā'№ + ā'І + ā'і = ē') тогда и только тогда, когда четвёртый столбец матрицы (1) является суммой первых трёх столбцов. В этом случае будем говорить, что столбцы матрицы (1) перехода от репера R к реперу R' согласованы. Если столбцы матрицы (1) перехода от репера R к реперу R' не согласованы, то, учитывая, что координаты вершин репера R' и его единичной точкой определяются с точностью до числового множителя, всегда можно добиться того, чтобы столбцы этой матрицы были согласованы. В самом деле, найдём k№, kІ и kі, удовлетворяющие системе уравнений: (3) Так как определитель этой системы отличен от нуля, то k№, kІ и kі из этой системы определяются однозначно, причём k№ ≠ 0, kІ ≠ 0 и kі ≠ 0. Действительно, если предположить, например, что k№ = 0, то из равенств (3)будет следовать, что точка Е' лежит на прямой А'ІА'і, что невозможно, так как R' – репер. Матрица
является матрицей перехода от репера R к реперу R', причём теперь уже столбцы этой матрицы согласованы. П.2. Сформулируем задачу преобразования координат точек проективной плоскости. Задача 1. Произвольная точка Х проективной плоскости в реперах R и R' имеет соответственно координаты (х№, хІ, хі) и (х'№, х'І, х'і). Выразить х№, хІ, хі через х'№, х'І, х'і, если дана матрица (1) перехода от репера R к реперу R', столбцы которой согласованы. Решение. Пусть система векторов ā№, āІ, āі, ē согласована относительно репера R. По лемме 2 §1 векторы ā'№, ā'І, ā'і, ē', определяемые формулами (2), порождают вершины репера R'. Так как столбцы матрицы (1) согласованы, то эти векторы согласованы относительно репера R'. Пусть у –вектор, который порождает точку Х, а (у№, уІ, уі) и (у'№, у'І, у'і) – координаты этого вектора соответственно в базисах ā№, āІ, āі, ē и ā'№, ā'І, ā'і, ē'. Используя равенства (2), получаем: (5) Так как у№, уІ, уі и х№, хІ, хі являются координатами точки Х в репере R, то эти числа пропорциональны: у№ = λх№, уІ = λхІ, уі = λхі, где λ ≠ 0. Аналогично у'№ = λ'х'№, у'І = λ'х'І, у'і = λ'х'і, где λ' ≠ 0. Подставив эти значения уЎ и у'Ў в (5) и положив λ/λ' = ρ, получаем искомые формулы преобразования координат точек проективной плоскости: (6)
Задача. Записать формулы преобразования координат точек проективной плоскости, если матрица перехода от репера R к реперу R' имеет вид: Решение. Столбцы этой матрицы не согласованы, поэтому сначала запишем формулы (3) для данной матрицы: 2k№ + 4kІ = 5, k№ + 3kІ = 4, kі = 3. Отсюда получаем k№ = - 1/2, kІ = 3/2, kі =3. Теперь запишем матрицу (4) перехода от репера R к реперу R', затем искомые формулы преобразования (6): ρх№ = - х'№ + 6 х'І, ρхІ = - 1/2 х'№ + 9/2 х'І, ρхі = 3 х'і. П.3. Рассмотрим теперь задачу преобразования координат точек на проективной прямой. Определение. Пусть на проективной прямой даны два репера R = (А№, АІ, Е) и R' = (А'№, А'І, Е'), причём известны координаты вершин репера R' в репере R: А'№( а№№, аІ№), А'І( а№І, аІІ), Е'(а№є, аІє). Матрицу (7) назовём матрицей перехода от репера R к реперу R'. Если третий столбец этой матрицы является суммой первых двух столбцов, то будем говорить, что столбцы матрицы (7) согласованы. Задача 2. Произвольная точка Х проективной прямой в реперах R и R' имеет соответственно координаты (х№, хІ) и (х'№, х'І). Выразить х№, хІ через х'№, х'І, если дана матрица (7) перехода от репера R к реперу R', столбцы которой согласованы. Решение. Пусть система векторов ā'№, ā'І, ē' согласована относительно репера R. Рассмотрим векторы ā'№ = а№№ā'№ + аІ№ā'І, ā'І = а№Іā'№ + аІІā'І, (8) ē' = а№єā'№ + аІєā'І. Так же как и в случае координат точек на плоскости (см. док-во леммы 2 §1), эти векторы порождают вершины репера R'. В силу согласованности столбцов матрицы (7) система векторов ā'№, ā'І, ē' согласована относительно репера R'. Пусть у – вектор, который порождает точку Х, а (у№, уІ) и (у'№, у'І) – координаты этого вектора соответственно в базисах ā№, āІ и ā'№, ā'І. Используя равенство (8),получаем:
Так как (у№, уІ) и (х№, хІ) являются координатами точки Х в репере R, то эти числа пропорциональны: у№ = λх№, уІ = λхІ, λ ≠ 0. Аналогично у'№ = λ'х'№, у'І = λ'х'І, где λ' ≠ 0. Подставив эти значения в равенство (9) и положив λ/λ' = ρ, получаем искомые формулы преобразования координат точек проективной прямой: ρх№ = а№№х'№ + а№Іх'І, ρхІ = аІ№х'№ + аІІх'І. (10)
Теорема. Если прямые, проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников АВС и А'В'С', про-ходят через одну точку О, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой s. То есть, если два трехвершинника на Р2 имеют дезаргову точку, то они имеют дезаргову ось. ■ Рассмотрим проективный репер R = (А, В, С, О) , точки репера имеют координаты А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1), О(1, 1, 1). Прямая (ОА) задается уравнением: (ОА): , т.е. (ОА): х2 – х3 = 0. Точка А' лежит на прямой (ОА) с уравнением х2 – х3 = 0 и не совпадает с точкой А(1, 0, 0), поэтому ее координаты можно обозначить так: А'(а, 1, 1), где а – некоторое действительное число. Прямая (ОВ) задается уравнением: (ОВ): , т.е. (ОВ): х3 – х1 = 0. Точка В' лежит на прямой (ОВ) с уравнением х3 – х1 = 0 и не совпадает с точкой В(0, 1, 0), поэтому ее координаты можно обозначить так: В'(1, b, 1), где b – некоторое действительное число. Прямая (ОС) задается уравнением: (ОС): , т.е. (ОС): х1 – х2 = 0. Точка С' лежит на прямой (ОС) с уравнением х1 – х2 = 0 и не совпадает с точкой С(0, 0, 1), поэтому ее координаты можно обозначить так: С'(1, 1, с), где с – некоторое действительное число. Найдем координаты точки М = (АВ) ∩ (А'В'). Прямая (АВ) задается уравнением: х3 =0. Найдем уравнение прямой (А'В'): (А'В'): , т.е. (А'В'): . Таким образом, точка М имеет координаты (а - 1, 1 - b, 0). Найдем координаты точки N = (ВС) ∩ (В'С'). Прямая (ВС) задается уравнением: х1 =0. Найдем уравнение прямой (В'С'): (В'С'): , т.е. (В'С'): Таким образом точка N имеет координаты (0, 1 - b, с - 1). Найдем координаты точки К = (АС) ∩ (А'С'). Прямая (АС) задается уравнением: х2 =0. Найдем уравнение прямой (А'С'): (А'С'): , т.е. (А'С'): Таким образом точка К имеет координаты ( 1 - а, 0, с - 1). Установим принадлежность точки M, N и К одной прямой l: ■.
Если два трехвершинника имеют дезаргову ось, то они имеют и дезаргову точку. Доказательство теоремы осуществляется по малому принципу двойственности.
П.1. Пусть на проективной прямой d даны точки А, В, С и D так, что А, В и С – различные точки, а D не совпадает с точкой А. Рассмотрим проективный репер Rє = (А, В, С) прямой d и обозначим через (х№, хІ) координаты точки D в этом репере. Так как точка D не совпадает с точкой А, то хІ ≠ 0. Определение. Число х№/хІ называется сложным (двойным или ангармоническим) отношением точек А, В, С, D и обозначается так: (АВ, СD). Теорема 1. Если А, В и С – различные точки прямой, а λ – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна точка Х, такая, что (АВ, СХ)= λ. ■ На данной прямой введём репер R = (А, В, С) и в этом репере рассмотрим точку Х с координатами (λ, 1). По определению (АВ, СХ)= λ. Докажем теперь, что точка Х, удовлетворяющая условию теоремы, единственная. Пусть для какой- то точки Х'(х№, хІ) данной прямой (АВ, СХ')= λ. Тогда по определению сложного отношения х№/хІ = λ, х№/хІ = λ/1. мы видим, что координаты точек Х и Х' пропорциональны, поэтому эти точки совпадают. ■ Следствие. Если на прямой даны точки А, В, С, D и D', удовлетворяющие условию (АВ, СD) =(АВ, СD'), то точки D и D' совпадают. Докажем теорему, позволяющую вычислить сложное отношение четырёх точек прямой по их координатам. Теорема 2. Если точки А, В, С, D, лежащие на некоторой прямой, имеют в репере R координаты А(а№, аІ), В(b№, bІ), С(с№, сІ), D(d№, dІ), причем точки А, В, С различны и точка D на совпадает с точкой А, то (1)
B ( kІb№, kІbІ ). Матрица перехода от репера R к реперу Rє имеет вид:
Подберем числа k№ и kІ так, чтобы столбцы этой матрицы были согласованы: k№a№ + kІb№ = c№, k№aІ + kІbІ = cІ . Тогда формулы (10) §3 принимают вид: ρx№ = k№a№x'№ + kІb№x'І ρxІ = k№aІx'№ + kІbІx'І (3) Пусть y№, yІ- координаты точки D в репере Rє. По формулам (3) получаем: ρd№ = k№a№y№ + kІb№yІ , ρdІ = k№aІy№ + kІbІyІ. Отсюда находим y№ и yІ: где
Таким образом, d№ b№ y№ kІ dІ bІ (AB,CD) = = . yІ k№ a№ d№ aІ dІ
с№ b№ а№ c№ cІ bІ аІ cІ k№ = kІ = . Δ Δ
Подставив эти значения в предыдущее соотношение, получаем искомое равенство (1).■. П.2. Имеют место следующие свойства сложного отношения четырёх точек прямой. 1є. (AB, CD) = (CD, АВ). 2є . 1 1
(AB,CD)= , (AB,CD)= , если (AB, CD ) ≠ 0. (AB, DC) (BA, CD) 3є. (AB,CD)=(BA,DC). 4є. (AB, CC) = 1, (AB, CВ) = 0. 5є. (AB,CD)+(AC,BD)=1.
Для доказательства свойства 5є рассмотрим репер Rє=(A,B,C) и обозначим через (d№,dІ) координаты точки D в этом репере. В репере Rє точки А, В, С имеют координаты: A(1,0), С(1,1), В(0,1), поэтому по формуле (1) получаем: 1 0 1 d№ 0 1 1 dІ dІ-d№ d№ (AC,BD)= = =1- . 1 d№ 1 0 dІ dІ 0 dІ 1 1 d№
Так как dІ=(AB,CD), то из этого соотношения следует равенство 5є. Заметим, что если известно сложное отношение точек А, В, С, D, заданных в определенном порядке, то, пользуясь формулами 1є - 5є , можно найти сложное отношение тех же точек, заданных в любом другом порядке. В самом деле, пусть(AB, CD) = ξ ≠ 0. Найдем, например, (AD,BC). По свойству 5є (AD, BC) = 1 - (AB, DC). Но 1 1 1 ξ - 1 (AB,DC)= = , поэтому (AD, ВС) = 1- = . (AB,CD) ξ ξ ξ
Пусть А,В,С, D – четыре точки прямой g. Будем говорить, что пара точек А, В разделяет пару точек С, D, если (AB,CD)<0, и не разделяет пару точек C, D, если (АB,CD)>0. Из свойств 1є - 3є пункта 2 следует, что понятие разделённости не зависит от того, в каком порядке рассматриваются пары А,В и С,D, и от того, в каком порядке рассматриваются точки в каждой паре. Другими словами, если пара А, В разделяет пару C, D, то пара С, D разделяет пару А, В, пара А, В разделяет пару D, C, пара D, C разделяет пару А, В и т.д. С другой стороны, если пара А, В разделяет пару C, D, то из свойства 5є п.2 следует, что пара А, С не разделяет пару В, D. Таким образом две точки А и В на проективной прямой g разделяют множество всех остальных точек прямой на два непустых подмножества так, что если точки М и N принадлежат разным подмножествам, то пара А, В разделяет пару М, N, а если они принадлежат одному подмножеству, то пара А, В не разделяет пару М, N. Каждое из этих подмножеств вместе с точками А и В называется проективным отрезком с концами А и В. Так на проективной прямой две точки определяют не один отрезок, как на евклидовой прямой, а два отрезка аналогично тому, как две точки окружности на евклидовой плоскости определяют две дуги с концами в этих точках.
Докажем теорему, которая раскрывает геометрический смысл сложного отношения четырех точек расширенной прямой. Теорема 3. Если А, В, С, D – собственные точки, а Р∞ - несобственная точка расширенной прямой, то (AB, C) (AB, CD)= , (4) (AB, CP∞) = – (AB, C), (5) (AB, D) где (AB,C) и (AB,D) – простые отношения соответствующих точек. ■ На расширенной прямой выберем репер Ř = (P∞, А, В) и введем в рассмотрение координаты данных точек в этом репере: P∞(1, 0), А(0, 1), В(1, 1), C(c№, cІ), D(d№, dІ). Здесь c№, cІ, d№, dІ - действительные числа, причем cІ ≠ 0, dІ ≠ 0. По формуле (1) находим: (6) 0 c№ 1 1
1 cІ 1 0 c№ –c (AB,CP∞)= = = ,(7) 0 1 1 c№ c№–cІ 1–c 1 0 1 cІ
Напомним, что λ = (M№MІ, M) есть отношение, в котором точка М делит отрезок M№M: . Если точки M№, MІ, М в системе координат А, имеют соответственно координаты x№, xІ, x, то очевидно, что , поэтому .(8) Точки А, В, С, D в системе А, имеют координаты: А(0), В(1), С(с), D(d). По формуле (8) находим:
Отсюда, учитывая выражения (6) и (7), приходим к искомым формулам (4) и (5).
П.1. Рассмотрим две прямые g и g' проективной плоскости и точку О этой плоскости, не лежащую на данных прямых. Пусть точка М – произвольная точка прямой g, а M' – точка пересечения прямых ОМ и g'. Точка М' называется проекцией точки М на прямую g' ( из центра О). Теорема. Если А, В, С, D – точки прямой g, а А', В', С', D' – их проекции на прямую g' из точки О, то (АВ, СD) = (А'В',С'D'). ■ Рассмотрим на плоскости два проективных репера R = (А, В, О, Е) и R' = (А', В', О, Е), где Е – точка на прямой ОС, отличная от точек О, С и С' ( рис.19) Точка А' лежит на прямой ОА с уравнением хІ = 0 и не совпадает с точкой О, поэтому её координаты в репере R можно обозначить так: А' (1, 0, а). Аналогично координаты точки В' обозначим так: В' (0, 1, b). Точки О и Е в репере R имеют координаты: О (0, 0, 1), Е (1, 1, 1). Запишем матрицу перехода от репера R к реперу R' :
и подберём k№, kІ и kі так, чтобы столбцы этой матрицы были согласованы: k№ = kІ = 1, kі =1 – а – b. Тогда формулы (6) §3 в данном случае принимают вид ρх№ = х'№, ρхІ = х'І, ρхі = ах'№ + bх'І + (1 – а – b)х'і. Если точка D в реперах R и R' имеет соответственно координаты D (у№, уІ, уі), D(у'№, у'І, у'і), то из первых двух равенств получаем: у№/уІ = у'І/у'№. По теореме о координатах проекции точки на координатную прямую точка D на прямой g в репере (А, В, С) имеет координаты (у№, уІ), а точка D' на прямой g' в репере (А', В', С') – координаты(у'№, у'І).Поэтому (АВ, СD) = у№ / уІ, (А'В',С'D') = у№ / у'І, и, следовательно, (АВ, СD) = (А'В',С'D'). ■ П.2. Пользуясь доказанной теоремой, решим следующую задачу, необходимую для дальнейшего изложения. Задача. В репере R = (А№, АІ, Аі, Е) задана прямая параметрическими уравнениями х№ = λp№ + μq№,хІ = λpІ + μqІ, хі = λpі + μqі, проходящая через две точки Р(p№, рІ, рі) и Q(q№, qІ, qі). Доказать, что если две точки М№ и МІ этой прямой имеют параметры М№(λ№, μ№), МІ( λІ, μІ), то (PQ, М№МІ) = μ№λІ / λ№μІ. (1) Решение. Предположим, что прямая PQ не проходит через точку Аі. Обозначим через P', Q', М'№, М'І проекции точек P, Q, М№, МІ на прямую А№АІ из центра Аі. По теореме 2 §3 эти точки имеют следующие координаты на прямой А№АІ в репере Rі = (А№, АІ, Еі), где Еі - точка пересечения прямых АіЕ и А№АІ: P'(p№, pІ), Q'(q№, qІ), М№( λ№p№ + μ№q№, λ№pІ + μ№qІ), МІ( λІp№ + μІq№, λІpІ + μІqІ).
(P'Q', М'№М'І)= μ№λІ/λ№μІ. По предыдущей теореме (P'Q', М'№М'І) = (РQ, М№МІ), поэтому справедливо равенство (1). Равенство (1) верно также и том случае, когда прямая PQ проходит через точку Аі. В этом случае одна из точек А№ или АІ, например АІ, не лежит на этой прямой. Тогда точки Р, Q, М№, МІ проектируем из центра Аі на прямую А№Аі и аналогично предыдущему приходим к формуле (1).
Пользуясь теоремой, доказанной в П.1, введём понятие сложного отношения четырёх прямых пучка. Определение. Пусть а, b, c, d – четыре прямые некоторого пучка с центром О (рис.20). Рассмотрим произвольную прямую g, не проходящую через точку О, и обозначим через А, В,С, D точки пересечения прямой g с прямыми а, b, c, d. Число (АВ, СD) называется сложным отношением прямых а, b, c, d и обозначается так: (аb, cd). Из теоремы, доказанной в п. 1, следует, что (аb, cd) не зависит от выбора прямой g Из свойств сложного отношения четырёх точек прямой вытекает следующие свойства сложного отношения четырёх прямых пучка.
П.1. Рассмотрим на проективной прямой четыре точки А, В, С, D. Определение. Будем говорить, что пара точек А и В гармонически разделяет паруточек С, D (или гармонически сопряжена с парой точек С, D),если (АВ, СD) = -1. Нетрудно видеть, что если (АВ, СD) = -1, то имеют место соотношения (ВА, СD) = -1, (АВ, DС) = -1, (СD, АВ) = -1. Таким образом, точки, составляющие как первую, так и вторую пару, равноправны между собой. Равноправны также пары А, В и С, D. П.2. Определение. Полным четырёхвершинником называется фигура, состоящая из четырёх точек проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые – сторонами полного четырёхвершинника. На рисунке 21 изображен полный четырёхвершинник АВСD с вершинами в точках А, В, С и D и сторонами АВ, ВС, СD, DА, АС и ВD. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. В четырёхвершиннике АВСD противоположными являются стороны АВ и СD, ВС и DА, АС и ВD. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, попарно соединяющие диагональные точки, - диагоналями полного четырёхвершинника. На рисунке 21 P, Q и R - диагональные точки, а PQ, QR и RP – диагонали полного четырёхвершинника АВСD. Лемма. Диагональные точки полного четырёхвершинника не лежат на одной прямой. ■ Рассмотрим полный четырёхвершинник АВСD и докажем, что его диагональные точки P, Q и R не лежат на одной прямой (рис.21). Для этого рассмотрим репер (А, В, С,D) и найдём координаты точек P, Q и R в этом репере. Прямые АС и ВD имеют уравнения хІ = 0, х№ = хі, поэтому точка R имеет координаты: R(1, 0, 1). Аналогично находим координаты двух других диагональных точек P(0, 1, 1), Q(1, 1, 0). Так как , то точки P, Q и R не лежат на одной прямой. ■ П.3. Докажем теперь следующую важную теорему. Теорема. На каждой диагонали полного четырёхвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку. ■ Пусть АВСD – полный четырёхвершинник, P, Q и R –его диагональные точки (рис.22). Докажем, что на диагонали PQ точки P, Q гармонически разделяет пару точек М и N, в которых эта диагональ пересекает стороны ВD и АС, проходящие через точку R.
прямую АС сначала из центра В, а затем из центра D. По теореме § 5 имеем: (PQ, MN) = (АС, RN), (1) (PQ, MN) = (СА, RN). (2)
Следствие 1. Две вершины, лежащие на стороне полного четырёхвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки. Рассмотрим четыре прямые а, b, с, d некоторого пучка. Будем говорить, что пара прямых а, b гармонически разделяет пару прямых с, d, если (аb, сd) = -1.
(МN, PQ) = -1. Таким образом, приходим к утверждению. Следствие 2. Две противоположные стороны полного четырёхвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих сторон. П.4. На проективной плоскости, так же как и на евклидовой плоскости, можно решать задачи на построение. Здесь задачи на построение решаются только с помощью линейки. При этом предполагается, что с помощью линейки как инструмента геометрических построений можно строить прямые, проходящие через данные или построенные точки. Таким образом, при решении задач на построение основными фигурами на проективной плоскости являются точки и прямые. Так же, как и на евклидовой плоскости, точки и прямые, заданные условиями задачи на построение, считаются построенными фигурами и множество построенных фигур конечно. Кроме того, мы считаем, что существует хотя бы одна построенная прямая, на любой построенной прямой существуют по крайней мере три построенные точки и вне построенной прямой существуют построенные точки. Сформулируем постулаты построений на проективной плоскости, т. е. утверждения о допустимых шагах построений.
Постановка задачи на построение на проективной плоскости формулируем следующим образом. Дано конечное множество построенных точек и прямых и описано свойство, характеризующее искомую не построенную точку или прямую. Требуется, используя постулаты построений, получить конечное множество точек и прямых, содержащих искомые элементы.
|