Кафедра геометрии
Глава 3. Аффинная, евклидова геометрия с проективной точки зрения
жүктеу/скачать 1.71 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- § 1. Проективная плоскость с фиксированной прямой.
- §2. Аффинная геометрия с проективной точки зрения.
- § 3. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.
Глава 3. Аффинная, евклидова геометрия с проективной точки зрения.В этой главе рассмотрим проективную иллюстрацию аффинной, евклидовой геометрии. Выясним сходство и разницу геометрии аффинной и евклидовой плоскости.
П.1 Теорема 1. Множество проективных преобразований проективной плоскости Р2 образует группу. Для доказательства этой теоремы проверим два условия: 1. Выберем на проективной плоскости точки общего положения А, В, С. А1, В1, С1,А2,В2,С2 Рассмотрим f, g – проективные преобразования плоскости Р2. Преобразование f переводит точку А в точку А1, В → В1, С → С1, а преобразование g переводит . А1→ А2, В1 → В2, С1 → С2. Композиция двух проективных преобразований f ж g единственным образом переводит А→ А2, В → В2, С → С2. Такое преобразование f ж g является проективным преобразованием. 2. Рассмотрим проективное преобразование f , которое переводит точки А → А1, В → В1, С → С1. Для точек А, В, С и А1, В1, С1 существует единственное преобразование f1, которое переводит точки А1 → А, В1 → В, С1 → С. Такое преобразование f-1 будет являться проективным преобразованием. Таким образом, множество проективных преобразований проективной плоскости Р2 образует группу. ■.
Рассмотрим проективную плоскость Р2, на которой зафиксируем проективную прямую рm . Прямая рm называется абсолютом проективной плоскости Р2m , где Р2m - проективная плоскость с фиксированной прямой рm . Все точки, принадлежащие абсолюту обозначают так: Аm, Вm, Сm… . А все точки, не принадлежащие абсолюту обозначают так: А, В, С. Рассмотрим некоторое множество U множества G. Преобразования множества G, оставляющие множество U без изменения, называются автоморфными (или автоморфизмами множества U) преобразованиями относительно U.
(gжf)(U) = g(f(U)) = g(U) = U. 2) Преобразование f : U → U является автоморфизмом относительно множества U, тогда преобразование f-1: U → U также является автоморфизмом относительно множества U. 3) Рассмотрим проективную плоскость Р2m и фиксированную на ней прямую р*. Проективное преобразование f*: р* → р* также является автоморфизмом относительно прямой р*. Таким образом, рассмотренное множество всех автоморфизмов относительно U G образуют группу. ■. Определение. Автоморфизмы абсолюта плоскости Р2m называются аффинными коллинеациями. Прямые плоскости называются сходящимися, если их точки пересечения принадлежат абсолюту. Замечание. Из определения аффинной коллинеации следует, что если f* - аффинная коллинеация, то она переводит точку, непринадлежащую фиксированной прямой р*, в точку, принадлежащую прямой р* ; а точку, которая лежит на прямой р*, f* переводит в точку, также лежащую на прямой р*. Теорема. Если даны три пары точек общего положения, непринадлежащих абсолюту, то существует единственная аффинная коллинеация плоскости Р2m такая что: f*: А → А' f*: В → В' f*: С → С'. Рассмотрим точки общего положения А, В, С, А', В', С', принадлежащие проективной плоскости Р2 . По основной теореме о проективных преобразованиях следует, что всегда существует единственное проективное преобразование f плоскости Р2, которое переводит точки А, В, С в точки А', В', С'. Тогда преобразование f переводит фиксированную прямую р* в прямую р*.Таким образом, преобразование f является аффинной коллинеацией. ■. Определение. Аффинной гомологией называется аффинная коллинеация, если она не является тождественной и имеет прямую инвариантных точек, т.е. аффинная гомология – это аффинная коллинеация, которая является гомологией. Теорема. Если ось аффинной гомологии не совпадает с абсолютом, то центр гомологии принадлежит абсолюту. На проективной плоскости Р2m рассмотрим проективную прямую s и абсолют р*. на фиксированной прямой р* выберем такую точку S, которая не принадлежит прямой s. Рассмотрим нетождественное проективное преобразование f, которое является аффинной коллинеацией с осью s и центром S. На фиксированной прямой выберем произвольную точку М*, которую аффинная гомология f* переводит в точку М*', принадлежащую прямой р*. f* - гомология с центром в точке S, а точки М* и М*' являются соответственными точками , то, по свойству гомологии, центр S принадлежит прямой (М*М*'), которая совпадает с фиксированной прямой р*. Таким образом, ось аффинной гомологии не совпадает с абсолютом, но центр гомологии принадлежит абсолюту. ■. П.2. Классификация аффинной гомологии плоскости Р2*.
П.1. Поскольку на проективной плоскости все прямые равноправны (они образуют класс проективно эквивалентных фигур), то нет оснований отдавать предпочтение какой – либо одной из них: в качестве несобственной прямой ( абсолюта) можно взять произвольную прямую . Теперь можно определить все аффинные понятия в терминах проективной геометрии. Определение. Аффинной точкой на проективной плоскости с фиксированной прямой называется любая прямая, не принадлежащая абсолюту. Определение. Аффинной прямой на проективной плоскости с фиксированной прямой называется любая проективная прямая, не совпадающая с абсолютом, из которой выкинута точка пересечения с абсолютом. Определение. Аффинной плоскостью называется проективная плоскость с фиксированной прямой без абсолюта. Определение. Несобственными точками называются точки, принадлежащие абсолюту. Определение. Параллельными прямыми на аффинной плоскости называются сходящиеся прямые на проективной плоскости с фиксированной прямой. Определение. Аффинными преобразованиями плоскости называются автоморфные преобразования относительно абсолюта. Определение. Пусть А и В – какие – либо точки аффинной плоскости , (АВ) – проективная прямая, - точка пересечения этой прямой с несобственной прямой . Тогда точка С, принадлежащая прямой (АВ), называется лежащей между А и В, если пары А, В и С, разделяют друг друга. Множество точек, лежащих между двумя точками, называется открытым отрезком. Пусть А, В, С – коллинеарные точки аффинной плоскости. Тогда простое отношение (АВС) определяется формулой (АВС) = - (АВС ), где = (АВ) ∩ . Точка С – середина отрезка, если (АВС ) = -1. Определение. Эллипс, парабола, гипербола – овальные линии второго порядка, имеющие с абсолютом соответственно нуль, одну и две общие точки.
П.1. Для построения проективной модели евклидовой плоскости рассмотрим плоскость Р2 с фиксированной прямой d0 и множество точек А2 = Р2 \ d0 с введенной на нём аффинной структурой (проективная модель аффинной плоскости). В качестве группы преобразований рассмотрим некоторую подгруппу Н1 группы Н0, которая определяется следующим образом. Отметим на прямой d0 две произвольные комплексно-сопряжённые точки I1 и I2 (назовём их циклическими точками). Прямую d0 с точками I1 и I2 на ней будем обозначать через d1. Рассмотрим множество Н1 всех проективных преобразований, каждое преобразование f из которых обладает свойством: либо I1 = f (I1) и I2 = f (I2), либо I1 = f (I2) и I2 = f (I1). Отсюда следует, что если f Н1, то f Н0, т. е. Н1 Н0. Далее, если f1, f2 Н1, то f2 f1 Н1, и если f Н1, то f -1 Н1. Таким образом, Н1 – подгруппа группы Н0. Любое проективное преобразование f из Н1 порождает некоторое преобразование f ' множества точек А2. Следовательно, множество $1 всех этих преобразований можно рассматривать как группу преобразований плоскости А2.
Запишем аналитическое выражение преобразований из множества Н1. Для этого будем пользоваться только такими реперами плоскости Ā2, в которых циклические точки имеют координаты I1 (1, i, 0), I2 (1, - i, 0). Репер, удовлетворяющий этому условию, обозначим через R1. Докажем, что существует бесконечное множество таких реперов. Вершины и единичную точку репера (А0, В0, С, Е) выберем так: В0 – произвольная точка прямой d1, С – произвольная точка проективной плоскости Ā2, ен лежащая на прямой d1. Точку А0 на прямой d1 и точку Е вне этой прямой выберем так, чтобы (I1I2, В0А0) = -1, (I1I2, В0Е3) = i, (1) где Е3 – точка пресечения прямых СЕ и d0. Такой выбор точек А0 и Е всегда возможен. Произвол в выборе репера (А0, В0, С, Е) определяется произволом выбора точки В0 на прямой d1, точки С на плоскости А2 и точки Е на прямой СЕ3 (см. рис.32). Докажем, что выбранный таким образом репер является репером R1. Пусть циклические точки в этом репере имеют координаты I1 (1, а + ib, 0), I2 (1, а - ib, 0). На прямой d0 в репере R3 = (А0, В0, Е3) для точек I1, I2, А0, В0, Е3 имеем: I1 (1, а + ib, 0), I2 (1, а - ib, 0), А0 (1, 0), В0 (0, 1), Е3 (1, 1). Пользуясь формулой , находим: , . Учитывая равенства (1), получаем а= 0, b = 1, т. е. циклические точки имеют координаты I1 (1, i, 0), I2 (1, - i, 0). В дальнейшем предполагаем, что все рассматриваемые реперы являются реперами R1. Каждому такому реперу на плоскости А2 соответствует аффинный репер = (С, Е1, Е2), который назовём декартовым репером (см. рис.32.). В соответствии с формулами
где с33 ≠ 0 и любое преобразование f Н1 в репере R0, а следовательно, и в репере R1 определяется формулами ρх1' = с11 х1 + с12 х2 + с13 х3, ρх2' = с21 х1 + с22 х2 + с23 х3, ρх3' = с33 х3, (2) где с33 ≠ 0, и ρ ≠ 0, ρ С. Но для преобразований группы Н1 на коэффициенты сij накладываются дополнительные ограничения, которые нам предстоит установить. Так как преобразования f циклические точки переводит в циклические точки, то возможны два случая. а) I1 = f (I1) и I2 = f (I2). Используя первое из трёх равенств, по формулам (2) получаем ρ = с11 + с12i, ρi = с21 + с22i. Отсюда получаем с11 = с22, с12 = - с21. Нетрудно проверить, что при выполнении этих равенств I2 = f (I2). б) I2 = f (I1) и I1 = f (I2). По аналогии с предыдущим случаем из условия I2 = f (I1) получаем с11 = - с22, с12 = с21. При выполнении этих равенств I1 = f (I2). Если ввести обозначения с11 = а', с21 = b', с13 = с'1, с23 = с'2, то формулы (2) принимают вид: ρх1' = а' х1 + εb' х2 + с'1 х3, ρх2' = b' х1 + εа' х2 + с'2 х3, ρх3' = с33 х3, (3) где (а' 2+ b' 2) с33 ≠ 0, аε = 1, причём ε = 1 отвечает условию а), а ε = -1 – случаю б). Получим теперь аналитическое выражение преобразований из множества $1 в реперах , которые соответствуют реперам R1. Для точек множества А2 х3 ≠ 0, х'3 ≠ 0, поэтому, разделив почленно первое и второе из равенств (3) на третье, получаем:
где . Введём новые параметры, положив а = k cosφ, b = k sinφ, где k > 0, а –π ≤ φ ≤ π. Тогда формулы (4) принимают вид:
Обозначим через $Т множество преобразований из $1 плоскости А2, состоящее из всех преобразований, заданных в репере формулами х' = х + с1, у' = у + с2, (6) где с1 и с2 – произвольные действительные числа. Формулы (6) получены из формул (5) при k = 1, cosφ = 1, ε= 1. Это множество является подгруппой группы Н1 (предлагаем читателю самостоятельно убедиться в этом). Любое преобразование $Т называется параллельным переносом. Следовательно, множество $Т параллельных переносов можно рассматривать как группу преобразований плоскости А2. Множество $Т называется группой параллельных переносов. Единицей этой группы, очевидно, является тождественное преобразование, т. е. преобразование, которое задаётся формулами (6) при с1 = с2 = 0. Пользуясь формулами (6), легко доказать следующие свойства параллельных переносов плоскости. Доказательство этих свойств предлагаем читателю. 10. Параллельный перенос, отличный от тождественного преобразования, не имеет инвариантных точек. 20. В параллельном переносе , отличном от тождественного преобразования, прямые, проходящие через соответственные точки, параллельны или совпадают. 30. Каковы бы ни были точки М и М' плоскости А2, существует единственный перенос, который точку М переводит в точку М'. В заключении отметим, что формулы (6) в точности совпадают с формулами параллельного переноса на евклидовой плоскости.
|