Кафедра геометрии
Система задач и упражнений
жүктеу/скачать 1.71 Mb.
|
Система задач и упражнений.Раздел 1.Синтетическая геометрия проективного пространства. Глава 1. Проективное пространство в схеме Вейля. Взаимно однозначное расположение прямых и плоскостей. §1.Понятие проективного пространства. Взаимное расположение точек прямых в PІ и Pі. Задача 1. F22 – двумерное векторное пространство над полем F2 вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная прямая Р (F22) содержит точно три точки. Решение. . Векторы составляют базис векторного пространства F22, . Фактор множество по отношению коллинеарности состоит из трех элементов: . Поэтому Р (F22) содержит три точки А0, А, Е. Задача 2. Доказать, что проективная плоскость Р (V) содержит по крайней мере 7 точек. Указание к решению. dim Р (V) = 2 dim V = 3. Пусть ( ) – базис векторного пространства V. Тогда векторы попарно не коллинеарны и порождают семь различных точек проективного пространства Р (V). Задача 3. F23 – трёхмерное векторное пространство над полем F2 вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная плоскость Р (F23) содержит точно 7 точек. Указание к решению. Векторное пространство содержит лишь семь попарно не коллинеарных ненулевых векторов. Задача 4. Сколько прямых содержит проективная плоскость Р (F23)? Ответ. Семь. Задача 5. Доказать, что на проективной плоскости Р (V) существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Указание к решению. Точки, порожденные базисными векторами трёхмерного векторного пространства V и их суммой, обладают требуемыми свойствами. Задача 6. F33 – трёхмерное векторное пространство над полем F3 вычетов по модулю 3. Сколько точек содержит произвольная прямая проективной плоскости Р (F33)? Ответ. Четыре. § 2. Теорема Дезарга. Принцип двойственности. Задача 7. Прямая р лежит в плоскости трёхвершинника АВС и не проходит через его вершины. Пусть А1 = (ВС) ∩ р, В1 = (СА) ∩ р, С1 = (АВ) ∩ р, R = (ВВ1) ∩ (СС1), S = (СС1) ∩ (АА1), Т = (АА1) ∩ (ВВ1). Докажите, что прямые (АR), (СТ), (ВS) пересекаются в одной точке. Задача 8. Треугольники АВС и DВС пересечены тремя прямыми р, q, r = (АD), р ∩ (АD) = М; р ∩ (DВ) = Р; q ∩ (АС) = N; q ∩ (DС) = Q. Докажите, что прямые (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку. Задача 9. На аффинной расширенной плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах (или на их продолжениях) второго. Докажите, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии. Задача 10. Даны параллелограмм, прямая т и точка А, принадлежащая одной из сторон параллелограмма. С помощью одной линейки проведите прямую, параллельную прямой т и проходящую через точку А. Указание к решению. Постройте два дезарговых трехвершинника с несобственной осью перспективы. Задача 11. Даны параллелограмм, прямая т и точка А, принадлежащая сторонам параллелограмма. С помощью одной линейки проведите прямую, параллельную прямой т и проходящую через точку А. Указание к решению. Постройте такой параллелограмм, чтобы точка А принадлежала одной из его сторон, и воспользуйтесь предыдущей задачей. Задача 12. Через точку R плоскости параллелограмма АВСD проведены прямые р и q, параллельные сторонам АВ и АD параллелограмма: Р = р ∩ (АD), Q = р ∩ (ВС), S = q ∩ (АВ), Т = q ∩ (СD) и М = (ВТ) ∩ (DQ). Докажите, что точки А, R и М лежат на одной прямой. Указание к решению. Последовательно рассмотрите две пары дезарговых трехвершинников: (PDT), (SBQ) и (PDQ), (SBT) Задача 13. Пользуясь принципом двойственности, доказать, что: 1) на проективной плоскости Р2 (К) а) через каждую точку проходит не менее трёх плоскостей; б) существует три прямые, не проходящие через одну точку; 2) в трёхмерном проективном пространстве Р3 (К) а) через каждую прямую проходит не менее трёх прямых; б) существуют три плоскости, проходящие через одну точку, но не проходящие через одну прямую; в) существуют четыре плоскости, не проходящие через одну точку; г) через всякие две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость; д) через прямую и не принадлежащую ей точку проходит единственная плоскость. Задача 14. На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и пара р и q, пересекающихся за пределами чертежа в точке В (недоступной точке). Воспользовавшись теоремой Дезарга, построить доступную часть прямой (АВ). Указание к решению. Построить треугольники МNР и М'N'Р', имеющие центр перспективы и такие, что М, N р, М', N' q, (МР) ∩ (М'Р') = А. Задача 15. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых: р, q, пересекающиеся в недоступной точке А, и и, v, пересекающиеся в недоступной точке В. Построить доступную часть прямой (АВ). Указание к решению. Приняв прямые р и q, и и v за соответствующие стороны дезарговых треугольников, свести задачу к задаче 14. Задача 16. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую, параллельную двум заданным параллельным прямым р и q (р ≠ q). Указание к решению. См. задачу 14. Задача 17. На чертеже ограниченных размеров заданы две пары прямых: р, q, пересекающиеся в недоступной точке А, и и, v, пересекающиеся в недоступной точке В; прямая (АВ) недоступна. Построить часть какой-либо прямой, проходящей через точку пересечения прямой (АВ) с прямой t, заданной доступной её частью (короче, найти точку пересечения доступной прямой с недоступной). Указание к решению. Недоступную прямую (АВ) принять за ось перспективы дезарговых треугольников со сторонами р, и, t одного треугольника и соответствующими им сторонами q, v, s другого треугольника, где s – искомая прямая. Задача 18. Даны параллелограмм, прямая т и точка А. С помощью одной линейки через данную точку А провести прямую, параллельную прямой т. Указание к решению. Свести к задаче 16. Задача 19. Трапеция АВСD пересечена прямыми р и q, параллельными основанию [АВ], р ∩ (АD) = М, р ∩ (АС) = Р, q ∩ (ВD) = N, q ∩ (ВС) = Q. Доказать, что точка (МN) ∩ (РQ) лежит на прямой (АВ). Указание к решению. Применить теорему Дезарга к трёхвершинникам DМN и СРQ. Задача 20. Треугольники АВС и DВС пересечены тремя параллельными прямыми р, q, r = (АD); р ∩ (АВ) = М, р ∩ (DВ) = Р, q ∩ (АС) = N, q ∩ (DС) = Q (см. рис.). Доказать, что прямая (МN), (РQ), (ВС) принадлежат одному пучку. C Указание к решению. Треугольники АМN и DРQ имеют центр перспективы. Задача 21. Найдите на проективной плоскости фигуры, двойственные следующим фигурам: а) трёхвершиннику; б) четырёхвершиннику.
прямой g. Решение. Проведём какую-нибудь прямую g1,отличную от прямой g, и возьмём точку Р, не лежащую на прямых g и g' (рис.27). построим образы точек А, В, С и М в перспективном отображении f1 : g → g1 с центром Р (на рис.27 образы этих точек обозначены через А1, В1, С1, М1). Затем построим образ М' точки М1 в проективном отображении f2 : g1 → g, которое репер (А1, В1, С1) переводит в репер (А', В', С'). Ясно, что f2f1- проективное преобразование прямой g, которое переводит репер R в репер R', поэтому f2f1 = f. Отсюда следует, что М' – искомая точка, так как f(М) = f2f1(М) = f2(М1) = М'. Задача 2. Проективное отображение f: d → d' прямой d на прямую d' задано соответствующими реперами: (А, В, С) d и (А', В', С') d'. Построить образ и прообраз точки D = d ∩ d' в отображении f. Задача 3. На расширенной плоскости даны две расширенной прямые d и d'. Проективное отображение f: d → d' определено реперами (А, В, С) d и (А', В', С') d'. Построить образ несобственной точки М∞ d. Задача 4. Проективное отображение f: Р (О) → Р (О') пучка прямых Р (О) на пучок прямых Р (О') задано соответствующими реперами: (а, b, с) Р (О) и (а', b', с') Р (О'). Построить образ и прообраз прямой (ОО') в отображении f. Задача 5. Проективное преобразование f прямой d задано реперами R = (А, В, С) и f (R) = (А', В', С'). Построить образ и прообраз данной точки М d в преобразовании f. Задача 6. Доказать, что если в проективном преобразовании f прямой d три точки инвариантны, то f – тождественное преобразование прямой d. Задача 7. Проективное отображение f: d → Р (О') прямой d на пучок прямых задано соответствующими реперами: (А, В, С) d и (а, b, с) Р (О). Построить прообраз данной прямой т Р (О). Рассмотреть частный случай, когда О = А, т = d. Указание к решению. Ввести вспомогательное перспективное отображение пучка Р (О) на прямую d', не проходящую через точку О. Задача 8. Проективное отображение f: Р (О) → Р (О) пучка прямых Р (О) на пучок прямых Р (О') задано реперами R = (а, b, с) и f (R) = (а', b', с'). Построить образ и прообраз данной прямой т Р (О) в преобразовании f. Указание к решению. Свести к задаче 6. Задача 9. Даны три точки А, В, С, лежащие на прямой d, и три точки А', В', С', лежащие на прямой d' (d' ≠ d). Доказать, что точки К = (ВС') ∩ (В'С), L = (АС') ∩ (А'С), М = (АВ') ∩ (А'В) лежат на одной прямой (теорема Паппа). Указание к решению.Отображение f: Р (А) → Р (С), определяемое реперами R = ((АС), (АА'), (АВ')) и R' = ((СА), (СА'), (СВ')), перспективное. Оно индуцирует перспективное отображение φ: (ВА') → (ВС') с центром L, в котором φ (М) = К. Значит L (МК). Задача 10. Доказать, что если в проективном преобразовании f плоскости π инвариантны четыре точки общего положения, то f – тождественное преобразование плоскости π. Задача 11. Проективное преобразование f плоскости задано тремя инвариантными точками А, В, С и парой соответствующих точек D и D' = f (D). (А, В, С, D – точки общего положения на плоскости.) Построить образ данной произвольной точки М в данном преобразовании. Указание к решению. Проективное преобразование f определено реперами R = (А, В, С, D) и R' = (А, В, С, D'). Построить образы проекций точки М на две стороны координатного треугольника АВС. Задача 12. Проективное преобразование f плоскости задано двумя инвариантными точками А, В и двумя парами соответствующих точек: С и С' = f (С), D и D' = f (D). (А, В, С, D – точки общего положения на плоскости.) Построить образ данной произвольной точки М в данном преобразовании. Задача 13. Написать формулы проективном преобразовании f прямой по трём парам соответствующих точек: А и f (А) = В, В и f (В) = С, С и f (С) = А, если: 1) А (2, 1), В (-2, 3), С (1, -1); 2) А (3, -1), В (-1, 1), С (-2, 3). Ответ. λ у0 = 2х0 + 6х1, λ х0 = х0 – 9х1. Задача 14. Написать формулы проективном преобразовании f плоскости по координатам точек М и N и двух пар соответствующих точек А и А' = f (А), В и В' = f (В), если М (0, 1, 0), N (1, 0, 0), А (0, 0, 1), А' (а, 0, 1), В (0, b,1), В' (0, 0, 1). § 2. Проективное отображение прямых. Инволюция. Задача 15. Инволюция f на прямой d задана точками А, А' = f (А), В = f (В) (А ≠ А'). Построить образ данной точки М d. Указание к решению. Проективное преобразование f прямой d определено парой реперов R = (А, А', В) и R' = (А', А, В). Задача 16. Пусть А и В – две различные точки проективной прямой Р1. Преобразование f: Р1 → Р1 определено условиями: f (А) = А, f (В) = В, и если М ≠ А, М ≠В, то f (М) = М'│(АВ, ММ') = -1. Доказать, что f – гиперболическая инволюция. Указание к решению. Доказать, что преобразование f сохраняет сложное отношение любой четвёрки точек. Задача 17. Выяснить тип инволюции: λу0 = х0 – 2х1, λу1 =3х0 – х1. Указание к решению. Эллиптическая инволюция. Задача 18. Вычислить координаты инвариантных точек инволюции: у0 = х0 + 2х1, у1 =4х0 – х1. Указание к решению. Х (1, 1), У (-1, 2). Задача 19 Вычислить координаты неподвижных точек проективного преобразования плоскости: λу0 = х0, λу1 =х1, λу2 = х1 + х2. Указание к решению. х1 = 0 – прямая инвариантных точек. §3. Проективные преобразования плоскости. Гомология. Задача 20.Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А). Построить 1) точку f (В), где В – данная точка прямой (АА'); 2) точку f -1 (С), где С – данная точка; 3) точку f 2 (D), где D – данная точка. Указание к решению. Построить образ М' некоторой точки М (АА') и гомологию f задать центром S, осью s и точками М и М'. Задача 21. Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А). Построить образ и прообраз данной прямой d. Указание к решению. Построить образы (прообразы) двух точек прямой d. В качестве одной из точек полезно взять точку d ∩ s. Задача 22. Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А). На данной прямой р найти точку Х, образ которой лежит на данной прямой q (q ≠ f (р)). Указание к решению. Х = р ∩ f -1 (q). Задача 23. Координатные треугольники АВС и А'В'С' реперов R = (А, В, С, S) и R' = (А', В', С', S) на проективной плоскости обладают центром перспективы S. Доказать, что проективное преобразование f плоскости, переводящее репер R в репер R', является гомологией с центром S, осью которой служит ось перспективы треугольников АВС и А'В'С'. Указание к решению. Доказать, что гомология g с центром S и осью s, переводящая А в А', совпадают с f. Задача 24. Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s – собственные. Построить прообразы двух данных параллельных прямых р и q. Указание к решению. Построить прообраз Х несобственной точки Х'∞ = р ∩ q. Прямые (ХР) и (ХQ), где Р = р ∩ s, Q= q ∩ s искомые. Задача 25. (1199) Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' = f (А) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s – собственные. Построить образ и прообраз несобственной прямой. Указание к решению. Построить образ и прообраз какой-нибудь несобственной точки, не лежащей на оси гомологии. Искомые прямые проходят через найденные точки и параллельны оси гомологии. Задача 26.Построить образ данного квадрата 1) в данной гомологии; 2) в заданном родственном преобразовании на расширенной евклидовой плоскости.
жүктеу/скачать 1.71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|