Кафедра геометрии

Глава 2. Кривые второго порядка

жүктеу/скачать 1.71 Mb.

бет	5/10
Дата	24.02.2016
өлшемі	1.71 Mb.
	#14654
түрі	Учебник

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Глава 2. Кривые второго порядка.

§1. Определение кривых второго порядка. Точки пересечения прямой и кривой второго порядка на проективной плоскости.

Определение. Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых некотором репере R удовлетворяют однородному уравнению второй степени, т. е. уравнению вида

а₁₁x₁І + 2a₁₂ x₁ x₂ + a₂₂x₂І + 2a₁₃ x₁ x₃ + 2a₂₃ x₂ x₃ + a₃₃ x₃І = 0, (1)

называется линией или кривой второго порядка.
Мы предполагаем ,что все коэффициенты а_ij в уравнении (1) – действительные числа, не обращающиеся одновременно в нуль, и а_ij=a_ji

при i, j = 1, 2, 3.

Уравнение (1) в сокращенном виде запишется так: Σа_ij х_i х_j = 0. (2)

Нетрудно доказать, что понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера R. В самом деле, пусть фигура γ в репере R = (А₁, А₂, А₃, Е) имеет уравнение (2). Если R' – новый проективный репер, то формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R' = (А₁', А₂', А₃', Е') можно записать в виде

ρх_i = с_i1 х'₁ + с_i2 х'₂ + с_i3 х'₃, i = 1, 2, 3.
Подставив эти выражения в уравнение (2), получим уравнение фигуры γ в новом репере: Σа'_ij х'_i х'_j = 0, (3)

где а_ĳ = ∑с_ki а_kl с_lj , k, l = 1, 2, 3. (4)

Рассмотрим векторное пространство V трех измерений, которое порождает проективную плоскость. Если - векторы, порождающие точки А₁ , А₂, А₃, а (с₁₁, с₂₁, с₃₁), (с₁₂, с₂₂, с₃₂), (с₃₁, с₃₂, с₃₃) – векторы, порождающие точки А₁^', А₂^', А₃^', то формулы (4) в точности совпадают с формулами q( ) = g_ĳxⁱx^j, по которым меняются коэффициенты квадратичной формы на пространстве V при переходе от базиса к базису , , . Поэтому левая часть уравнения (1) ( где по условию матрица А = ║а_ĳ║ ненулевая) определяет на пространстве V некоторую квадратичную форму

g() = Σа_ij х_i х_j. (5)

Следовательно, матрицы А = ║а_ĳ║ и А' = ║аĳ'║ имеют один и тотже ранг, равный рангу квадратичной формы g(). Отсюда, в частности, следует, что матрица А' ненулевая, т. е. в репере R' фигура γ определяется уравнением второй степени (3). Тем самым доказано, что понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера.

П.2.

Определение. Ранг квадратичной формы (5) называется рангом линии второго порядка, заданной уравнением (1). Линия называется невырожденной, если ранг r этой линии равен трем, и вырожденной, если r < 3.

Характерное свойство невырожденной линии второго порядка выражено в следующей лемме.

Лемма. Любая прямая пересекает невырожденную линию второго порядка не более чем в двух точках.
■ Утверждение леммы докажем методом от противного. Пусть какая-то прямая d имеет, по крайней мере, три общие точки М₁, М₂, М₃ с данной линией второго порядка γ. Проективный репер R = ( А₁, А₂, А₃, Е) выберем так, чтобы точки А₁ и А₂ совпадали с точками М₁ и М₂, а точка пересечения прямых А₁А₂ и А₃Е – с точкой М₃ ( рис., на этом рисунке линия γ не изображена). Запишем уравнение линии γ в виде (1). Точки М_1,М_2,М₃ имеют координаты (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (1, 1, 0), поэтому, подставив эти значения в уравнение (1), получаем

а₁₁=а₁₂ = а₂₁ = а₂₂ = 0. Мы пришли к противоречию, та как отсюда следует, что γ – вырожденная линия. ■
П.3.

Покажем, что понятия линии второго порядка и ее ранга являются проективными понятиями, т. е. не меняются при проективных преобразованиях плоскости. В самом деле, пусть в репере R линия второго порядка ранга r задана уравнением (1).

Рассмотрим произвольное проективное преобразование f плоскости и обозначим через γ' образ линии γ, а через R' образ репера R в этом преобразовании. В преобразовании f (по основной теореме) каждая точка М плоскости с координатами х₁, х₂, х₃ в репере R переходит в точку М' с координатами х₁, х₂, х₃ в репере R'. Поэтому множество γ' в репере R' задается тем же уравнением (1). Отсюда следует, что γ' – линия второго порядка ранга r. Итак, доказана теорема.

Теорема. При любом проективном преобразовании линия второго порядка ранга r переходит в линию второго порядка того же ранга r.
Следствие 1. Если прямая l пересекает линию

второго порядка γ в двух точках, то прямая l

называется секущей.
Следствие 2. Если прямая l пересекает линию второго порядка γ в двух совпадающих точках, то прямая l называется касательной к линии γ.
Следствие 3. Если прямая l и линия второго порядка γ не пересекаются, то говорят, что прямая l пересекаетлинию γ в двух мнимосопряженных точках.

§2. Классификация линии второго порядка.

П.1.

Пусть линия второго порядка γ в репере R имеет уравнение

Σа_ij х_i х_j = 0. (1)

Рассмотрим квадратичную форму g() = Σа_ij х_i х_j (2) в векторном пространстве V трех измерений, которое порождает проективную плоскость. В пространстве V всегда существует базис ,,, в котором квадратичная форма (2) имеет нормальный вид (т.е. представима в виде суммы квадратов с коэффициентами +1,-1) . Рассмотрим точки А₁', А₂', А₃', Е' , которые порождаются векторами ,,, , где = ++. В репере R' = ( А₁', А₂', А₃', Е') уравнение линии γ имеет вид:

ε₁х₁^'х₁^' + ε₂х₂^'х₂^' + ε₃х₃^'х₃^' = 0, (3)

где коэффициенты ε_1, ε_2, ε₃ равны -1, +1 или 0, но не все они одновременно равны нулю.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от ранга r линии γ.

А) r = 3. В этом случае можно считать, что в уравнении (3) ε₁= ε₂= 1, ε₃ = ±1. Мы получаем два типа невырожденных линий второго порядка:

(4)

(5)

Определение. Линия, заданная уравнением (4), не имеет ни одной вещественной точки; она называется нулевой линией второго порядка. Линия, заданная уравнением (5), называется овальной линией второго порядка.
Б) r = 2. Можно считать, что в уравнении (3) ε₁= ε₂= 1, ε₃ = 0 или ε₁= 1, ε₂= -1, ε₃ = 0. Получаем два типа линии второго порядка ранга 2:

(6)

. (7)

Уравнением (6) задается линия, распадающаяся на пару мнимых прямых: х₁+ iх₂ = 0 и х₁- iх₂ = 0, пересекающихся в вещественной точке (0, 0, 1). Уравнением (7) задается линия, которая распадается на пару вещественных прямых: х₁+ х₂ = 0 и х₁- х₂ = 0.

В) r = 1. Можно считать, что в уравнении (3) ε₁= 1, ε₂= ε₃ = 0. Получаем линию, заданную уравнением

. (8)

В этом случае говорят, что линия γ представляет собой пару совпадающих прямых: х₁=0 и х₁=0.

Уравнения (4) – (8) называются каноническими уравнениями соответствующих линий.
Итак, на проективной плоскости существует пять типов линий второго порядка, представленных в следующей таблице:
Название линииКаноническое уравнениеРанг линии1Овальная линия 32Нулевая линия33Пара прямых24Пара мнимых прямых25Пара совпадающих прямых1
П.2.

Эта классификация проведена по рангу линий второго порядка и по наличию вещественных точек. Эти характеристики линий второго порядка не меняются при любых проективных преобразованиях плоскости. Поэтому указанные типы линий проективно различны, т. е. не существует проективного преобразования, которое переводит линию одного типа в линию другого типа.

С другой стороны, любые две линии одного т того же типа проективно-эквивалентны. Пусть, например, γ и γ' – две овальные линии, которые в реперах R и R' заданы каноническими уравнениями:

(γ): ,

(γ'): х'+ х'+ х'= 0 (9)

Рассмотрим проективное преобразование f, которое репер R переводит в репер R'. В этом преобразовании каждая точка плоскости с координатами х₁, х₂, х₃ переходит в точку с координатами х'₁ = λх₁, х'₂ = λх₂, х'₃ = λх₃, поэтому образ линии γ в репере R' имеет уравнение (9). Это означает, что в преобразование f линия γ переходит в линию γ'.

В дальнейшем мы не будем рассматривать линии, которые распадаются на пару прямых.

§ 3. Полярное соответствие относительно линии второго порядка. Полюс и поляры.

П. 1.

Пусть на проективной плоскости Р₂ заданы репер R = (Е_i, Е) и невырожденная линия второго порядка γ. Пусть γ задаётся уравнением ∑а_ĳ хⁱ х^j = 0 и является овальной линией. Проективная плоскость Р₂ порождается трёхмерным векторным пространством V₃, репером которого является согласованная система векторов . В векторном пространстве V₃ зададим квадратичную форму q (х) = ∑а_ĳ хⁱ х^j (1). Нам известно, что каждой квадратичной форме q соответствует единственная билинейная форма g ().

Определение. Будем говорить, что векторы и сопряжены относительно симметрической билинейной формы g, если они ненулевые и удовлетворяют условию: g () = 0.

В векторном пространстве V₃ зафиксируем вектор , и найдём множество векторов , сопряженных данному вектору относительно билинейной формы. Таким образом, должно выполняться условие g () = 0, т. е. а_ĳ х у^j = 0. Приведём подобные в последнем выражении и получим: (а_ĳ х) уⁱ = 0 (2). Из этого следует, что b_i у ^j = 0, т. е.

b₁у¹ + b₂у² + b₃у³ = 0.

Таким образом, множество векторов, сопряженных данному вектору относительно данной билинейной формы, образует двумерное векторное пространство.

Определение. На проективной плоскости Р₂ возникает соответствие называемое полярным, которое каждой точке М₀ ставаит в соответствие единственную прямую l, порождаемую векторами сопряженными вектору, который порождает точку М₀. (если задана овальная линия второго порядка).
Определение. Точки М₀ (х) и М (х ^j) называются полярно-сопряженными относительно линии второго порядка: ∑а_ĳ хⁱ х^j = 0, если выполняется условие:

∑а_ĳ х х ^j = 0 (3). (т. е. они порождаются векторами сопряженными относительно соответствующей билинейной формы).

Определение. Полярой точки М₀ называется множество точек, лежащих на прямой, полярно-сопряженной с точкой М₀. Точка М₀ называется полюс.
Замечание 1. Если задана линия второго порядка на проективной плоскости, то возникает следующие соответствия:

а) каждой точке в соответствие ставится единственная поляра;

б) каждой прямой в соответствие ставится единственный полюс.
Замечание 2. Если линия второго порядка задана уравнением ∑а_ĳ хⁱ х^j = 0, то уравнение поляры точки М₀ (х) имеет вид: ∑(а_ĳ х) х ^j = 0 или

(а₁₁ х + а₂₁ х + а₃₁ х) х¹+ (а₁₂ х+ а₂₂ х+ а₃₂ х) х² + (а₁₃ х+ а₂₃ х+ а₃₃ х) х³ = 0.
Замечание 3. Поляра данной точки проходит через саму точку тогда и только тогда, когда координаты точки удовлетворяют уравнению линии второго порядка. (т. е. когда точка Р лежит на линии второго порядка)

П. 2.

Теорема 1. Если точка Р (р¹, р², р³) принадлежит линии второго порядка γ, то её полярой является касательная, проведённая к линии γ через точку Р.
 Запишем уравнение касательной l, проведённой через точку Р (р¹, р², р³).

На прямой возьмем точки А₁(а¹, а², а³)и А₂(а¹, а², а³),совпадающие с точкой Р, и составим уравнение прямой (А₁А₂): l = (А₁А₂): .

Линия второго порядка γ задается уравнением:
а₁₁x₁І + 2a₁₂ x₁ x₂ + a₂₂x₂І + 2a₁₃ x₁ x₃ + 2a₂₃ x₂ x₃ + a₃₃ x₃І = 0.
Так как точки А_1,А₂ и Р совпадают, то их координаты равны, т.е. аⁱ = bⁱ = рⁱ,а значит и уравнение линии перепишется в следующем виде:

а₁₁()І + 2a₁₂ ()() + a₂₂()І + 2a₁₃ ()() +

+2a₂₃ ()() + a₃₃ ()І = 0.

Разделим обе части уравнения на μ и получим квадратное уравнение относительно :

Таким образом, существует единственное значение , при котором дискриминант уравнения равен нулю.

Вывод: Если Р(рⁱ) принадлежит линии второго порядка, то уравнение касательной в этой точке к линии имеет вид: (а_ijрⁱ)х^j= 0. ■
Теорема 2. (о взаимности) Если точка Р (рⁱ) лежит на поляре точки Q (q ^j), то точка Q лежит на поляре точки Р.
 Пусть линия второго порядка задана уравнением ∑а_ĳ хⁱ х^j = 0. Точке Р (рⁱ) соответствует поляра р, определяемая уравнением ∑а_ĳ рⁱ х ^j = 0. Точке Q (q ^j) соответствует поляра q, определяемая уравнением ∑а_ĳ qⁱ х ^j = 0. Пусть Р (рⁱ) принадлежит прямой q, тогда выполняется равенство: ∑(а_ĳ qⁱ)р ^j = 0. Другими словами ∑(а_ĳ рⁱ)q ^j = 0, т. е. точка Q (q ^j) принадлежит прямой р. ■
П.2.

Геометрический смысл полярной сопряжённости.
Теорема 1.(геометический смысл полярной сопряжённости точек Р,Q относительно γ) Пусть задана линия второго порядка γ следующим уравнением:

∑а_ĳ хⁱ х^j = 0. (1) Точки Р (р ⁱ), Q (q ^j) – сопряжены относительно линии γ, прямая РQ пересекает линию γ в двух точках М₁, М₂ и Р, Q, М₁, М₂ – образуют гармоническую четвёрку точек (Р, Q, М₁, М₂)=-1.

 Пусть прямая l = (РQ) задаётся следующим образом:

х¹= λ р¹ + μq¹,

х²= λ р² + μq², (2)

х³= λ р³ + μq³.

Найдём прямую М₁М₂, где М₁М₂ = (РQ) ∩ γ:

а₁₁(λ р¹+ μq¹) ²+ а₂₂(λ р²+ μq²)²+ а₃₃ (λ р³+ μq³) ²+ 2а₁₂ (λ р¹+ μq¹)( λ р²+ μq²) +

+ 2а₁₃ (λ р¹+ μq¹)( λ р³+ μq³) + 2а₂₃ (λ р² + μq²)( λ р³ + μq³) = 0.

Пусть дан репер R = (Е₁, Е₂, Е₃, Е), линия второго

порядка γ, прямая l, которая пересекает линию γ в

точках М, К и содержит точки Р и Q, не принадлежащие

линии. Прямые (Е₁Е₂) и l не совпадают.

Спроектируем на прямую (Е₁Е₂) из точки Е₃ точки Р, Q, М, К, и на прямой (Е₁Е₂) получим точки Р', Q', М', К'. Так как при проектировании прямой на прямую сохраняется сложное отношение четырёх точек, то (Р, Q, М, К) = (Р', Q', М', К'). На проективной прямой точки Р', Q', М', К' имеют следующие координаты Р'(р₁, р₂), Q'(q₁, q₂), М'(λ₁р₁ + μ₁q₁, λ₁р₂ + μ₁q₂ ), К'(λ₂р₁ + μ₂q₁, λ₂р₂ + μ₂q₂). Найдём сложное отношение четырёх точек Р', Q', М', К'.

Геометрический смысл полярной сопряженности точек состоит в следующем:

1. Две точки А и В полярно сопряжены относительно кривой γ тогда и только тогда, когда эти точки и точки пересечения прямой (АВ) и кривой γ образуют гармоническую четверку точек;

2. Можно дать второе определение поляры.

Полярой точки Р относительно линии γ называется множество таких точек Q, которые образуют гармоническую четвёрку точек с точками пересечения линии γ с прямой РQ.

§ 4. Конструктивное определение поляры.

Теорема. Если полный четырёхвершинник вписан в овальную линию второго порядка, то каждая диагональ является полярой третьей диагональной точки полного четырёхвершинника.
 Пусть дан полный четырёхвершинник АВСD, который вписан в овальную линию второго порядка γ. Точки Р = (АD) ∩ (ВС), Q = (АВ) ∩ (СD), R = (АС) ∩ (ВD) являются диагональными точками. Найдём поляру точки R, принадлежащую прямой (АС). На прямой (АС ) лежит гармоническая четвёрка точек (А С Р N) = - 1, где N есть точка пересечения прямых (АС)и (РQ). Точка R также принадлежит прямой (ВD), на которой лежит гармоническая чевёрка точек (В D R М) = - 1, где М – точка пересечения прямых (ВD)и (РQ). Таким образом, прямая (МN) является полярой точки R относительно линии γ. Так как точки Р и Q принадлежат прямой (МN), то прямая (РQ), которая является диагональю полного четырёхвершинника, является полярой диагональной точки R. ■
Следствие. Если поляра не пересекает овальную линию второго порядка, то её полюс лежит внутри линии.

Если поляра пересекает овальную линию второго порядка, то её полюс не лежит внутри линии.

Рассмотрим один из способов построения поляры точки.

Пусть дана точка Р, не принадлежащая овальной линии второго порядка γ. Построим поляру точки Р.

Построение:

1. Построим точку Р и линию γ;

2. Построим прямую l₁, проходящую через точку Р и пересекающую линию γ в точках В, С;

3. Построим прямую l₂, проходящую через точку Р и пересекающую линию γ в точках А, D;

4.Построим диагональные точки получившегося четырёхвершинника АВСD:

R = (АС) ∩ (ВD), Q = (АВ) ∩ (СD),

Р = (АD) ∩ (ВС);

5. Так как в полном четырёхвершиннике АВСD точка Р – является диагональной точкой, а прямая (RQ) – диагональю, то (RQ) является полярой точки Р относительно линии γ.

§ 5. Теорема Штейнера.

Докажем две теоремы, первая из которых называется теоремой Штейнера.

Теорема 1. Даны два пучка с различными центрами О₁ и О₂ и установлено проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй. Тогда множество γ точек пересечения соответственных прямых этих пучков является овальной линией второго порядка, проходящей через точки О₁ и О₂.
 Обозначим через m прямую О₁О₂ и рассмотрим прообраз n этой прямой: m = f(n). Отображение f зададим с помощью трёх прямых n, m, l пучка О₁ и их образов m, m', l' в пучке О₂. Так как f не является перспективным отображением, то прямые n, m и m' попарно различны, поэтому точки О₁ = n ∩ m, О₂ = m ∩ m', О₃ = n ∩ m' не лежат на одной прямой (см. рис.26). Точка Е = l ∩ l' не лежит на прямых m, m', n, поэтому точки О₁, О₂, О₃, Е образуют репер, который обозначим через R.

Запишем уравнение множества γ в репере R. Пусть Х(х₁, х₂, х₃) – произвольная точка плоскости, не лежащая на сторонах

трёхвершинника О₁О₂О₃. По определению сложного отношения прямых

(mn, lО₁Х) = (О₂О₃, Е₁Х₁), а

(m'm, l'О₂Х) = (О₃О₁, Е₂Х₂)

(относительно обозначений точек и

прямых см. рис.№). На прямой m' точка Х₁ в репере R₁ = (О₂, О₃, Е₁) имеет координаты (х₂, х₃), поэтому (О₂О₃, Е₁Х₁) = .

Аналогично (О₃О₁, Е₂Х₂) = . Таким образом, (mn, lО₁Х) = ,

(m'm, l'О₂Х) = .

Если Хγ, то (mn, lО₁Х) = (m'm, l'О₂Х), поэтому = , или х₁х₂ - х= 0. (1)

Если хγ, то (mn, lО₁Х) ≠ (m'm, l'О₂Х), поэтому ≠ , т. е. координаты точки Х не удовлетворяют уравнению (1).

Если точка Х лежит на сторонах трёхвершинника О₁О₂О₃, то её координаты удовлетворяют уравнению (1) тогда и только тогда, когда она совпадает с одной из точек О₁ и О₂, которые принадлежат множеству γ. Таким образом, уравнение (1) является уравнением множества точек γ. Этим ураванением определяется невырожденная линия второго порядка, на которой имеются действительные точки, т. е. овальная линия. ■

Касательные к линии (1) в точках О₁ (1, 0, 0) и О₂(0, 1, 0) имеют уравнения х₂ = 0 и х₁ = 0, поэтому мы приходим к утверждению.
Следствие. Если f – отображение, указанное в теореме 1, то прямые f(О₁О₂) и f ^-1(О₁О₂) являются касательными к линии γ соответственно в точках О₂ и О₁.
Замечание. Если пучки с центрами О₁ и О₂перспективныи d – ось перспективы, то множество γ общих точексоответственных прямых этих пучков совпадает с множествомвсех точек прямых d и О₁О₂ (см. рис.27). Таким образом, и в этом случае γ – линия второго порядка, но она распадается на пару прямых.

Докажем обратную теорему.

Теорема 2. Дана овальная линия второго порядка γ и на ней две произвольные точки О₁ и О₂. каждой прямой О₁М пучка с центром О₁ поставим в соответствие прямую О₂М пучка с центром О₂, где М – произвольная точка линии γ, не совпадающая с точками О₁ и О₂. Касательной в точке О₁ поставим в соответствие прямую О₂О₁, а прямой О₁О₂ – касательную в точке О₂. Полученное отображение f является проективным, но не перспективным отображением пучка с центром О₁ на пучок с центром О₂.
 Возьмём на плоскости репер R = (О₁, О₂, О₃, Е), где О₃ – точка пересечения касательных к линии γ в точках О₁ и О₂, а Е – произвольная точка линии γ, отличная от точек О₁ и О₂(см. рис.28.). Пусть ∑а_ĳ х_i х_j = 0 – уравнение линии γ в этом репере. Так как О₁γ и О₂γ, то а₁₁ = а₂₂ = 0. Учитывая, что прямые х₂ = 0 и х₁ = 0 являются касательными к линии γ в точках О₁ и О₂, приходим к выводу, что а₁₃ = 0 и а₂₃ = 0. Таким образом, уравнение линии имеет вид 2а₁₂х₁х₂ + а₃₃х₃х₃ = 0. Точка Е (1, 1, 1) лежит на этой линии, следовательно

2а₁₂ + а₃₃ = 0. Итак, уравнение линии γ в репере R

можно записать в виде (1).

Рассмотрим проективное отображение f ' пучка с центром О₁ на пучок с центром О₂, при котором прямые О₁О₃, О₁О₂, О₁Е переходят соответственно

в прямые О₂О₁, О₂О₃, О₂Е. По теореме 1 соответственные прямые в отображении f ' уравнением (1), т. е. на линии γ. Таким образом, отображение f ' и есть отображение f. ■
Замечание. Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи проективного отображения одного пучка на другой: обратная теорема устанавливает, чо центры пучков на овальной линии можно выбрать произвольно.

§ 6. Теорема Паскаля и теорема Бриандшона.

Пусть А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ – шесть точек общего положения, заданных в определенном порядке. Фигура, образованная этими точками и шестью прямыми А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, А₄А₅, А₅А₆, А₆А₁, попарно соединяющие последовательно данные точки, называется шестивершинником и обозначается так А₁, А₂А₃А₄А₅А₆. данные точки называются вершинами, а прямые А₁А₂, …, А₆А₁ – сторонами. Стороны А₁А₂ и А₄А₅,

А₂А₃ и А₅А₆, А₁, А₃А₄ и А₆А₁ называются противоположными.

На рисунке № изображен шестивершинник А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

Теорема 1. (теорема Паскаля).

Точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, лежат на одной прямой.

 Пусть вершины шестивершинника О₁АВСО₂М лежат на овальной линии γ. Докажем, что точки О = О₁А ∩ СО₂, N' = АВ ∩ О₂М, N = ВС ∩ МО₁ лежат на одной прямой (см.рис.).

Пусть f – проективное отображение пучков с центрами О₁ и О₂, которое устанавливается согласно теореме 2 § 5 линией γ. Обозначим через d₁ и d₂ прямые ВС и ВА (см. рис.30.). Отображение f порождает проективное отображение

φ: d₁ → d₂, в котором каждой точке Х₁ прямой d₁ соответствует точка Х₂ прямой d₂, такая, что прямые О₁Х₁ и О₂Х₂пересекаются в точке Х, лежащей на линии γ, т. е. О₂Х₂ = f(О₁Х₁).

Так как φ(В) = В, то φ – перспективное отображение.

Центром его является точка О, так как точки, обозначенные на рисунке цифрами 1 и 2, переходят соответственно в точки 1' и 2'. Но N' = φ(N), поэтому

точки N, О и N' лежат на одной прямой. ■
Теорема 2 (обратная теорема Паскаля).

Если точки пересечения противоположных сторон шетивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.
 Пусть О₁АВСО₂М – данный шестивершинник, а О = О₁А ∩ СО₂, N' = АВ ∩ О₂М, N = ВС ∩ МО₁ – точки пересечения противоположных сторон, лежащие на одной прямой (см. рис. выше).

Рассмотрим проективное отображение f пучка с центром О₁ на пучок с центром О₂, которое прямые О₁А, О₁В, О₁С переводит соответственно в прямые О₂А, О₂В, О₂С. По теореме Штейнера точки пресечения соответственных прямых в отображении f образуют некоторую овальную линию γ , на которой лежат точки О₁, О₂, А, В и С. докажем, что точка М также лежит на этой линии.

Отображение f порождает проективное отображение φ: d₁ → d₂, где d₁ и d₂ – прямые ВС и ВА (см. рис.). Так как В = φ (В), то φ – перспективное отображение с центром О. Но точки О, N и N' лежат на одной прямой, поэтому N' = φ (N). Следовательно, О₂N' = f (О₁N), поэтому точка М = О₁N ∩ О₂N' лежит на линии γ. ■
Следствие 1. Если на плоскости даны пять точек общего положения, то существует единственная овальная линия, проходящая через эти точки.
 Пусть S₁, S₂, А, В, С – данные точки. Рассмотрим проективное отображение f пучка с центром S₁ на пучок с центром S₂, в котором прямые S₁А, S₁В, S₁С переходят соответственно в прямые S₂А, S₂В, S₂С. Так как точки А, В и С не лежат на одной прямой, то f не является перспективным отображением. По теореме Штейнера точки пересечения соответственных прямых пучков с центрами S₁ и S₂ образуют некоторую овальную линию γ, на которой лежат данные пять точек.

Докажем теперь, что γ – единственная овальная линия, проходящая через точки S₁, S₂, А, В, С. Пусть γ' – какая-то овальная линия, проходящая через эти точки. Линия γ' устанавливает проективное отображение f' пучка с центром S₁ на пучок с центром S₂. Так как А γ', В γ', С γ', то в этом отображении прямые S₁А, S₁В, S₁С переходят соответственно в прямые S₂А, S₂В, S₂С. Отображения f и f' совпадают, поэтому линии γ и γ' совпадают. ■

Следствие 2. Если на плоскости даны четыре точки общего положения и прямая, проходящая через одну из них и не проходящая через другие три точки, то существует единственная овальн6ая линия, проходящая через данные точки, для которой данная прямая является касательной.
Фигура двойственная шести вершиннику называется шестисторонником.

Сформулируем теорему Бриандшона, двойствнную теореме Паскаля.

Теорема Бриандшона.

Если шестисторониик описан около овальной линии второго порядка, то прямые, соединяющие противоположные точки касания проходят через одну точку (называемую очкой Бриандшона).
Теорема Бриандшона (обратная).

Если даны шесть точек А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ общего положения и прямые А₁А₄, А₂А₅, А₃А₆ пересекаются в одной точке, то существует овальная линия второго порядка, для которой прямые, являющимися касательными в этих точках, образуют шестисторонник, описанный около овальной линии.

жүктеу/скачать 1.71 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Кафедра геометрии

Глава 2. Кривые второго порядка

Глава 2. Кривые второго порядка.

§1. Определение кривых второго порядка. Точки пересечения прямой и кривой второго порядка на проективной плоскости.

§2. Классификация линии второго порядка.

§ 3. Полярное соответствие относительно линии второго порядка. Полюс и поляры.

§ 4. Конструктивное определение поляры.

§ 5. Теорема Штейнера.

§ 6. Теорема Паскаля и теорема Бриандшона.