Катречко С. Л. О (концепте) числе(А): его онтологии и генезисеa в начале было Ничто. Ничто устало быть Ничем и решило стать Нечто. Нечто захотело познать Всё, поэтому Нечто разделилось на Части и Части, опасаясь забыть то, как они превратились в

a В названии статьи есть некоторая двусмысленность, связанная с тем, что, как будет показано ниже, число является идеальной сущностью и мало чем отличается от концепта числа.

b «… Хотя геометрия и философия подают друг другу руку в естествознании, тем не менее они совершенно отличны друг от друга и потому не могут копировать методы друг и друга» [10, 430].

c Термин концепт употребляется здесь в том особом значении, которой придали ему Делез и Гваттари [1]: он обозначает особый класс предельных философских понятий, отличных от обычных понятий, в том числе и от функтивов науки. В частности, математиков вполне устраивает функциональное (рабочее) определение числа, путем задания перечня и свойств операций, которые применимы к тем или иным числам. Концепт же числа самого по себе остается вне поля зрения математики и составляет предмет философии математики.

d Тем более удивительно, что Фреге подпал под «гипноз» расселовского парадокса, т.к. все концептуальные «средства» для его разрешения у него уже были; см. также, основанный на фрегевском различении свойств разного уровня, наш подход к «разрешению» подобных парадоксов в статье «О парадоксе Рассела»: http://www.philosophy.ru/library/ksl/paradox1.html]

e Понятно также, что при такой интерпретации концепта «множества» расселовский парадокс невозможен, т.к. полученный слиток просто не сопоставим (по своему онтологическому статусу) с исходными элементами, из которых он образован и которые в нем «растворились».

f Как отмечается в [3] числа, в отличие от безличных пространственных объектов (все точки одинаковы!), являются (квази)индивидуальными именованными объектами, т.е. отличаются друг от друга: 1 отличается от 2, а 2 — от 3 и т.д. Поскольку математическая реальность отличается от физической, то говорить об индивидуальности чисел в точном смысле слова нельзя: например, «4» обозначает целый класс объектов (цифр).

g Термин числоподобный объект мы взяли из работы [3], который используется там для указания на любое средство измерения, к каковым относится, например, пара чисел — декартовы координаты или еще более сложный объект — матрица.

h Формат статьи ограничивает возможность подробного анализа этих понятий, поэтому здесь мы будем употреблять их (прежде всего термины число и количество) как синонимы. Если же привлечь близкий нам анализ А. Лосева [5, 53—55], то концепт числа имеет более фундаментальный статус в этой тройке понятий. Число является тезисом, количество — антитезисом, а величина — синтезом. Величина есть измеренная (исчисленная) вещь. Число является мерой, т.е. средством измерения, а количество представляет собой применение числа к вещи, т.е. измерением (заметим, что гегелевский анализ, вслед за Аристотелем, берет в качестве фундаментального концепт количества, выявляя в нем различные смысловые моменты).

i В свою очередь, математическая форма является разновидностью более широкой категории формы вообще, которая, с одной стороны, в концептуальном плане противостоит категории материи, а, с другой стороны, категории содержания.

j Обычно логику определяют как науку о законах мышления, что не совсем точно. Точнее определить логику как науку о законах мыслимого. По этому поводу см. [7].

k Среди логиков бытует мнение о том, что абсолютность логико-математических запретов должна быть отнесена только к логике, т.к. сфера применимости математики у́же, из-за наличия в ней специфических числовых законов типа «2+2=4», применимых к нескольким объектам. Например, для одноэлементных универсумов числовые законы подобного рода, в отличие от логических, уже не действуют [см., например, 8]. Однако даже одноэлементный универсум содержит числовую характеристику (единичность), поэтому общечисловые запреты применимы и к нему. По степени своей общности (аподиктичности) математические и логические запреты схожи, а различие между ними на наш взгляд связано с тем, что логика изучает скорее качественные структурные закономерности, в то время как математика — количественные. Т.е. логика — это качественная (квази)математика и формулировка логических законов, например закона тождества А = А, не принимает в расчет, хотя и подразумевает, их количественный аспект: например, в законе тождества (один)А = (одному)А. При этом, конечно, необходимо отличать общечисловые закономерности от частных типа «2+2=4». Здесь мы следуем подходу Н.А. Васильева [9], который среди логических законов предложил различать эмпирические законы «земной» логики и универсальные — металогические — закономерности.

l Это рассуждение несколько неточно, т.к. оно без специальных оговорок неприменимо к одной вещи (resp. числу один). В этом случае тем общим, под которым мыслится одна вещь, оказывается не тождество с другими вещами, подпадающими под это понятие, а категория различия: вещь является одной (уникальной), поскольку она отличается от других вещей этого же рода. Т.е. с каждой вещью связан ее понятийный аналог — единичное понятие вот этой вещи, которое содержит все ее признаки. Один же является объемной характеристикой этого понятия.

m Здесь у нас нет возможности подробно излагать кантовские взгляды на природу математики (отчасти мы сделали это в работе [11], а также в специально посвященной этой теме статье «Трансцендентальная философия математики» (в печати)). Суть кантовского подхода можно кратко выразить так: 1. познание вообще есть синтез многообразного; 2. специфика же математической деятельности состоит в том, что это «познание посредством конструирования понятий» [10, 423]. Понятно, что приведенное положение уточняет п.2: конструирование понятий происходит в гомогенной континуальной пространственно-временной среде.

n Мы попытаемся ответить на эти вопросы в разделе «Генезис числа» (см. ниже).

o Развиваемая нами здесь концепция третьих вещей восходит к М. Мамардашвили [13], для которого третьи вещи (например, театр) выступают как машины сознания. В нашей концепции третьим — природно-культурным — вещам приписывается более слабый статус, при этом объем этого понятия расширяется.

p Аристотель в этой связи приводит пример с деревянным ложем [14], которое, с одной стороны, является природным образованием — деревом, что (в принципе) может проявиться в его прорастании при создании подходящих условий, а, с другой стороны (для человека), является культурным предметом.

q Символическое мы понимаем как указание на иную, более глубинную, реальность. В случае культурных вещей такой инореальностью является социально-культурное пространство. Интересные варианты развития концепции иерархического символизма можно найти в работах Р. Барта [15] и Л. Блауштайна [16].

r В свою очередь, количественные формы также образуют иерархию (см. выше п. 2).

s Эта глава является дальнейшим развитием одной из тем, намеченных нами в работе [11]: см. мой ответ на комментарий П. Куслия. (см. выше: приложение к гл. 1)

t Здесь мы вступаем в определенный «конфликт» с кантовским пониманием математики как сферы гомогенного и (внутри)математической практикой, которая противится подобному расслоению, из-за чего усложняется техника математических рассуждений и, соответственно, уменьшается сфера доказуемого.

u Об этом говорит Аристотель в последних книгах «Метафизики» (Met. XIII, 6, 1080a21), относя это различение к «неписанному учению» Платона, развитое впоследствии Спевсиппом и Ксенократом. Позже о различии между числами–эйдосами и монадическими числами говорит Плотин в тр. 5 и 6 шестой «Эннеады».

v Эта сфера стандартным образом характеризуется как субъективная (ментальная) реальность (см., например, [20]). На наш взгляд такая характеристика является слишком узкой и может быть расширена. Мы определяем ее как область виртуальной реальности [21].

w Сходную попытку предпринимает и Г. Кантор, который определяет свое кардинальное число как результат двойной абстракции от качества и порядка задания элементов [22, 173]. По сути Кантор также вводит счетные (мета)числа, однако с концептуальной точки зрения он не преодолевает вещную трактовку чисел.

x Подробнее о различии между порядковыми и количественными числами см. пирложение к гл.1, в которой это различие фиксируется как различие между измерительными и счетными числами.

y Вопрос об онтологическом статусе пространственно-вневременной сферы оставим открытым. Хотя именно она является преимущественной сферой математики, поскольку любая математика создает для своей работы однородный квазипространственный универсум. Например, современная математическая физика (теория относительности) включила в этот универсум время как одно из его измерений. Говоря о квазипространственности мы расширяем область применения термина пространства на не-физические типы реальности: (квази)пространственность фиксирует структурированность (упорядоченность) соответствующей области исследования, что является непременным условием последующего применения математики.

z Т.е. здесь речь идет не о привлечении идеально-смыслового для возможной математизации реальности, а о возможности математизации самой области идеального.

aa Более подробно кантовскую схему познавательного акта мы излагаем в [24].

bb Познавательные способности мыслятся Кантом как способы образования различных представлений, поэтому между способностями и представлениями существует тесная связь: фундаментальные способности выделяются Кантом на основе классификации типов представлений [10, 229].

cc Тем самым здесь Кант развивает своеобразную концепцию эпистемологического гилеоморфизма (ср. с (онтологическим) гилеоморфизмом Аристотеля).

dd После этого осуществляется фигурный синтез продуктивного воображения [synthesis speciosa], при котором протообраз Это_x доформляется в полноценный образ схваченного в восприятии предмета с помощью априорных форм пространства и времени. Далее наступает черед рассудочных синтезов.

ee Заметим, что реальный познавательный процесс, конечно, начинается не с апперцепции, а с акта схватывания — восприятия, в котором внешнее многообразие «схватывается» и помещается во внутрь сознания. Однако это не означает первичности схватывания перед апперцепции (как и наоборот). Скорее апперцепция и схватывание выступают здесь не как два различных синтеза, а как две стороны единого синтеза: схватывание является деятельным актом синтеза, а апперцепция выступает как единящая форма этого акта.

ff Здесь задействуется также акт (оперативного) удержания результата первого синтеза, без которого нельзя было бы различить первое и последующие схватывание, причем он отличается от акта (долговременной) памяти, поскольку не вос-производит, а лишь удерживает от распада предшествующие синтезы (ср. с оперативной памятью компьютера). Акт удержания соответствует гуссерлевской ретенции.

gg Этими тремя актами вводятся категории бытия, качества и количества. В отличие от гегелевской триады они располагаются не друг за другом, а так: сначала бытие, а потом параллельно качество и количество. Причем количество можно расположить и перед качеством как более бедный в содержательном отношении этап познания.

hh Ср. с плотиновской эманацией Единого: монаду можно рассматривать как математический аналог Единого, эманация которой приводит к полаганию ее места как сферы ее влияния.

ii Это можно сравнить с различением пространственных и временных чисел у Августина, о котором мы упоминали выше. Однако эта аналогия не совсем точна. Дело в том, временность как направленность (по сравнению с изотропностью пространства) является лишь одним из более ранних модусов времени и возникает уже на уровне арифметизации (геометрического) пространства. Под временными числами здесь мы понимаем, в отличие от Августина, средства для фиксации иерархического (слоистого) строения универсума.