Дәріс сабақтарының мазмұны

6. Дәріс сабақтарының мазмұны

Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х-ті, белгісіз функция -ті және оның туындылары -ті байланыстыратын теңдеуді айтады. Ол жалпы түрде былай жазылады: .Дифференциалдық теңдеудің реті деп теңдеудің құрамына кіретін туындылардың ең жоғарғы ретін айтады. -ші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімі деп өзінің -ші ретті туындысына дейін аралығанда анықталған және осы теңдеуге қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын кез-келген функциясын айтады. Теңдеудің шешімінің графигі осы теңдеудің интегралдық қисығы деп аталады.

Туындысы арқылы шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеуін х пен у бойынша мынадай симметриялық түрде жазуға болады. , мұндағы жәнедифференциалданатын х пен у айнымалыларының функциялары.

Егер кез келген және үшін тепе-теңдігі орындалса, онда функциясы дәрежелі біртекті функция деп аталады. Егер (8) теңдеуіндегі және дәрежелі біртекті функциялар болса, онда (14) дифференциалдық теңдеуі біртекті деп аталады. Біртекті теңдеуді әрқашанда түріне келтіруге болады. Бұл теңдеу белгісіз функциясын еңгізу арқылы айнымалылары бөлінетін теңдеуге келтіріледі. Әдебиет:[2], 97-121 бет.

Жоспар:

5. 1.Скалярлық өріс. Бағыт бойынша алынған туынды. Градиент.

6. 2.Векторлық өріс. Векторлық сызықтар мен векторлық түтік. Беттен өтетін вектор өрісінің ағыны. Векторлық өрістің роторы. Екінші ретті дифференциалдық операторлар және олардың қасиеттері. Векторлық өрістердің классификациясы. Гаусс- Остроградский формуласы. Стокс формуласы. Әдебиет:[1], 380-399 бет.

Жоспар:

2. Функциялық қатарлар ұғымы. Бірқалыпты жинақталу. Функциялық қатарларды интегралдау және дифференциалдау. Дәрежелік қатарлар. Абель теоремасы. Элементар функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу. Дәрежелік қатарларды жуықтап есептеуде қолдану.

3. Фурье қатарлары. Фурье коэффициенттері. Дирихле теоремасы. Жұп және тақ функцияларды Фурье қатарына жіктеу. Периодты функцияның Фурье қатары.

4 тақырып. Комплекс айнымалы функциясының теориялық және амалдық есептеу элементтері

1.Комплекс сандар туралы ұғым. Комплекс сандарға орындалатын амалдар.Нақты сандарды қарастырғанда нақты сандар жиынында квадраты (-1)-ге тең санды табу мүмкін еместігі айтылған болатын. Осы тәрізді есептердің шешімін табу мақсатымен сандар ұғымы комплекс сандарды еңгізумен кеңейтіледі.

Комплекс сан ұғымы.

өрнегі комплекс сан деп аталады, мұндағы және - нақты сандар, - немесе теңдіктерімен анықталатын, жорамал бірлік;

Егер болса, онда таза жорамал сан, егер болса, онда нақты сан шығады: .

Екі негізгі келісім қабылданады:

1) және екі комплекс сан тең болады, егер , .

2) болады сонда және тек қана сонда, қашан болса.

Комплекс сандардың геометриялық интерпретациясы

Кез келген комплекс санды жазықтығында координаталары және болатын нүктесі түрінде кескіндеуге болады.

Және керісінше, жазықтығының кез келген нүктесін комплекс санның геометриялық бейнесі ретінде қарастыруға болады. осінде жатқан нүктелерге нақты сандар сәйкес келеді. осінде жатқан нүктелерге жорамал сандар сәйкес келеді. Сондықтан, жазықтықта комплекс сандарды кескіндегенде осін жорамал сандар осі, ал осін – нақты ось деп атайды. нүктесін координаттар басымен қосқанда векторын аламыз. Кейбір жағдайда комплекс санның геометриялық бейнесі ретінде векторын санайды.

Комплекс санның тригонометриялық формасы.

нүктенің полярлық координаталарын және арқылы белгілейік. Координаттар басын полюс деп санаймыз, ал осінің оң бағытын – полярлық ось дейміз. Онда келесі қатыстар орын алады: , олай болса комплекс санды төмендегі түрде келтіруге болады: . Оң жақтағы тұрған өрнек комплекс санның тригонометриялық формасы деп аталады. Мұндағы және шамалары формулаларымен өрнектеледі және - модуль, - аргумент деп аталады.

Комплекс сандарға қолданатын негізгі амалдар.

Комплекс сандардың қосындысы. және екі комплекс санның қосындысы деп келесі теңдікпен анықталатын комплекс санды айтады:

.

Комплекс сандардың қосындысы векторларды қосу ережесі бойынша орындалатынын байқаймыз.

Комплекс сандардың айырымы. және екі комплекс санның айырымы деп келесі теңдікпен анықталатын комплекс санды айтады:

Екі комплекс санның айырымының модулі екі нүктенің арасындағы қашықтыққа тең екенін көре аламыз.

Комплекс сандардың көбейтіндісі. және екі комплекс санның көбейтіндісі деп келесі теңдікпен анықталатын комплекс санды айтады:

.

Егер комплекс сандар тригонометриялық түрде берілсе, онда

Салдар: .

Комплекс сандардың бөліндісі. Осы амал көбейтуге кері амал болып табылады. Тәжірибе жүзінде комплекс сандардың бөлінуі келесі түрде анықталады: санын санына бөлу үшін бөлінгіш пен бөлгішті бөлгіштің түйіндесіне көбейтеміз, яғни . Сонда бөлгіш нақты сан болады. Сонымен бөлінді:

.

Тригонометриялық формадағы комплекс сандардың бөліндісі:

Егер - бүтін оң сан болса, онда . Бұл формула Муавр формуласы деп аталады. Ол дегеніміз, комплекс санды бүтін оң дәрежеге шығарғанда, модульды осы дәрежеге шығарады, ал аргумент дәреженің көрсеткішіне көбейтіледі. Муавр формуласының тағы бір қосымшасын қарастырайық. Осы формулада болсын, сонда . Сол жағын Ньютон биномы бойынша жіктеп, нақты және жорамал бөліктерін теңстіріп, және - ді және -дің дәрежелері арқылы өрнектей аламыз. Мысалы, болған жағдайда: ; екі комплекс санның теңдігінің шартын қолданғанда:

Комплекс саннан -ші дәреженің түбірі деп түбір астындағы санға тең болатын -ші дәрежелі комплекс санды айтады, яғни , егер де .

Өзара тең комплекс сандардың модульдері тең болғандықтан, ал аргументтері -ге еселі санға айырмашылығы бар, онда , . Осыдан: , , мұндағы - кез келген бүтін сан, - бүтін оң санынан алынған түбірдің арифметикалық мәні. Олай болса, .

-ға мәндерін беріп, түбірдің түрлі мәнін алуға болады.

Комплекс санның көрсеткіштік формасы

Эйлер формулаларымен қолданайық:

Мұнда келесіні көруге болады

Онда тригонометриялық формадан көрсеткіштік формаға ауысуға болады.

Комплекс санның көрсеткішті формасы. Барлық амалдар тригонометриялық формаға көшкеннен кейін орындалады

2. Комплекс айнымалыдан тәуелді функция. Комплекс айнымалыдан тәуелді фунцияның шегі мен үздіксіздігі. Комплекс айнымалыдан тәуелді функцияның туындысы.

Комплекс айнымалыдан тәуелді фунция

Егер z₀ нүктесі өзінің қандай да бір ε – маңайымен O_ε(z₀) D жиынына жататын болса, онда z₀ нүктесі D жиынының ішкі нүктесі деп аталады. Егер D жиынының әрбір нүктесі осы жиынның ішкі нүктесі болса, онда ол ашық жиын деп аталады. Комплекс жазықтығындағы нүктелердің D жиыны төмендегі екі шартты қанағаттандыратын болса:

1) D жиыны ашық,

2) D жиынының кез келген екі нүктесін нүктелерінің бәрі де осы жиында жататын бір үзілізсіз сызықпен қосуға болады, бұл жиын облыс деп аталады. Егер z₀ нүктесінің кез келген маңайында D жиынының z₀-ден өзге нүктелері де бар болса, онда z₀ нүктесі D жиынының шектік нүктесі деп аталады. D жиыны өзінің барлық шекті нүктелерін қамтитын болса, онда ол тұйық жиын деп аталады.

мұндағы D жиынын функцияның анықталу облысы, ал G жиынын D жиынының бейнесі деп атайды.

Егер z шаманың функцияның анықталу облысынан алынған әрбір мәніне w функцияның бір ғана мәні сәйкес қойылатын болса, онда w=f(z) бірмәнді функция деп аталады.

Жалпы алғанда w=f(z) мәні коплекс сан болады. F(z) функцияның мәнін табу үшін z-тің орнына х+уі қойғаннан кейін көрсетілген амалдарын орындап, функцияның нақты және жорымал бөліктерін айырып алып, оны f(z)=u(х,у)+iv(х,у) түрінде жазады. Бұл жерде

Комплекс айнымалы функцияның шегінің геометриялық марғынасы 5-суретте көрсетілген: z-жазықтығында айнымалы нүкте z тұрақты нүкте z₀-дің δ маңайында U_δ(z₀) болғанда f(z) функциясының мәндері w жазықтығындағы нүкте А-ның ε маңайында U_ε(А) болады.

5-сурет

Функцияның ақырлы z₀ нүктедегі шегі мен үздіксіздігі анықтамаларынан келесі теорема туындайды:

Егер f₁(z) және f₂(z) функциялары z₀ нүктесінде үздіксіз болса, онда олардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және бөліндісі де үздіксіз функция болады. Бөлінді жағдайында бөлгіштің нольге айналатын нүктелері кірмейді.

Егер w=φ(z) функция z ₀ нүктесі маңайында анықтылып және z ₀ нүктесінде үздіксіз болса, ал η=f(w) функция w₀=φ(z₀) нүктесі маңайында анықталып және w₀ нүктесінде үздіксіз болса, онда f(φ(z)) күрделі функция да z₀ нүктесінде үздіксіз болады.

Жоғарыда айтылған теоремалардың дәлелдеулері математикалық анализ

курсындағы сәйкес теоремалардың дәлелдеулеріне ұқсас, сондықтан дәлелдеулерін келтірген жоқпыз. Бұл теоремалардың дәлелдеуін оқырмандарға өз бетінше дәлелдеуге ұсынамыз.

Нақты аргументті үздіксіз функциялардың негізгі қасиеттері комплекс аргументті функциялар үшін де орындалады. Атап айтқанда:

Тұйық D облысында үздіксіз функция модулі бойынша шенелген болады, яғни, кез келген zєD үшін |f(z)|≤М мұндағы М нақты оң сан.

2. Тұйық облысында үздіксіз функция өзінің ең үлкен (ең кіші) мәндерін қабылдайды. Яғни, т≤f(z) ≤М ,мұндағы m=min{f(z)}, M=max{f(z)}.

Кейбір элементар функциялардың мысалдарын келтірейік.

Бүтін сызықты функция

.

Бөлшек сызықты функция

Бүтін рационал функция

Бөлшек- рационал функция

Көрсеткіштік және тригонометриялық функциялар дәрежелік қатардың көмегімен енгізіледі:

Мысал.

Шешімі. , деп алып , біртіндеп түрлендірейік, сонда

мұнан , .

Комплекс айнымалы функцияның туындысы, формальді түрде, нақты айнымалы функцияның туындысы тәрізді анықталады. Бірмәнді w=f(z)=u+iv функция z₀ нүктесінің U_δ(z₀): маңайында анықталсын. Тәуелсіз айнымалының көрсетілген U_δ(z₀) маңайдан шықпайтындай өсімшелерін қарастырайық.

∆z=z- z₀ =∆x+i∆y=(x-x₀)+i(y-y₀)≠0

Әрбір ∆z –ке функция өсімшесі ∆w сәйкес келеді.

∆w=∆f(z₀)=f(z)-f(z₀)= ∆u+i∆y

Анықтама. Функцияның ∆w өсімшесінің оған сәйкес аргумент өсімшесі ∆z-ке қатынасының ∆z→0 жағдайда ақырлы шегі бар болса, онда оны w=f(z) функцияның z₀ нүктедегі туындысы деп атап, , f′(z₀) арқылы белгілейді. Яғни

(1)

Нақты айнымалының функциясы сияқты, w=f(z) функция z₀ нүктесінде дифференциалданатын деп аталады, егер ол z₀ нүктесінің U_δ(z₀) маңайында анықталып және оның функция өсімшесі ∆w, аргумент өсімшесіне ∆z қатысты сызықты, ал екіншісі қосылғыш ∆z қарағанда жоғарғы ретте шексіз аз шама болатын, қосылғыштан тұратын болса, яғни

∆w= ∆f(z₀)=A∙ ∆z+O(∆z)= A∙ ∆z+α(∆z) ∙ ∆z (2)

мұндағы А шамасы ∆z–тен тәуелсіз, α(∆z) шексіз аз шама: , f(z) функция z₀ нүктесінде дифференциалданатын деп аталады.

Жоғарыдағы (2) теңдіктен ∆z нольге ұмтылса, онда функцияның өсімшесі де нольге ұмтылатынын көреміз. Демек, дифференциалданатын функциялар үздіксіз болады. Бұл тұжырымға кері тұжырым жалпы алғанда дұрыс бола бермейді.

Комплекс айнымалы функция берілген нүктеде қандай жағдайда дифференциалданатындығын анықтайық.