Стандартное нормальное распределение

при   < z <  .

Значения функции Ф(z) определяется по формуле

(27)

Значения функции Ф(z) и плотности ф(z) нормированного нормального распределения рассчитаны и сведены в таблицы (табулированы). Часто таблицы составлены только для положительных значений z. Так как распределение симметрично относительно 0, то

Ф(–z) = 1–Ф(z). (28)

Нормирование позволяет все возможные варианты нормального распределения свести к одному случаю:  = 0,  ² = 1. С помощью таблиц можно определить не только значения функции и плотности нормированного нормального распределения для заданного z, но и значения функции общего нормального распределения по следующим формулам

Оценка результатов наблюдений, результата измерения и случайных погрешностей осуществляется, исходя из предположения о нормальном законе их распределения. Этот закон проявляется тогда, когда на результат измерений действует масса факторов, среди которых нельзя выделить доминирующий.

Исходя из нормального закона, результаты наблюдений физической величины описываются формулой (3.33).

Погрешность равна разности измеренного значения и истинного, оценкой которого является математическое ожидание . Если считать, что результаты измерений не содержат грубых и систематических погрешностей, то, перенеся начало координат в центр распределения и откладывая по оси абсцисс погрешность, получим формулы нормального распределения погрешностей

Кривая плотности нормального распределения погрешностей (рис. 3.6) симметрична относительно оси ординат.

В метрологической практике часто необходимо определить вероятность того, что случайная величина (результаты наблюдений, погрешность) будет находиться в определенном интервале от х₁ до х_2. Вероятность нахождения случайной в интервал от х₁ до х₂ можно определить по формуле

Обычно и выбирают симметрично по обе стороны от максимума распределения, так что (рис. 5).

Так как , а математическое ожидание является оценкой истинного значения при исключении систематических погрешностей, то формула вероятности нахождения результата наблюдения в заданном интервале приобретает вид



(34)
где – аргумент (квантиль) функции нормированного нормального распределения, определенной на интервале от   до  : .

Поменяв местами и , получим вероятность того, что истинное значение будет находиться в определенном интервале

Для погрешности вероятность нахождения в определенном интервале соответственно равна

Это означает, что истинное значение измеряемой величины с вероятностью , называемой доверительной вероятностью (или уровнем доверия), находится между границами интервала . Интервал от до называется доверительным интервалом погрешности измерения, а половина интервала , называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдения, соответствующей доверительной вероятности . Доверительный интервал является интервальной оценкой случайной погрешности и наряду с точечными оценками используется для ее характеристики.

Стандартное отклонение среднего арифметического в раз меньше стандартного отклонения результатов наблюдений, поэтому доверительный интервал, устанавливающий отклонения среднего арифметического от истинного значения, обозначаемый определяется формулой

. (37)

Он указывает, что с доверительной вероятностью равной истинное значение находится в интервале . Истинное значение может находиться и за пределами указанного интервала, и такая вероятность равная (рис.3.7), называется уровнем значимости.

Если таблицы нормированного нормального распределения составлены для положительных значений аргумента от 0 до , то в силу симметричности распределения относительно начала координат вероятность нахождения истинного значения и случайной погрешности в заданном интервале можно определить по следующим формулам:

; (38)

. (39)

где – квантиль функции нормированного нормального распределения, определенной на интервале от до :

Можно найти вероятность того, что истинное значение окажется в интервале в пределах μ k.

При =1, 2, 3 эта вероятность равна

;

;

.

Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к единице ( ), случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, не выходит за границы интервала . Это утверждение носит название правило трех сигм.

Если какое-либо значение появляется за пределами трехсигмового участка, в котором находятся 99,73% всех возможных значений, а вероятность появления такого события очень мала (1:270), то следует считать, что рассматриваемое значение не принадлежит той генеральной совокупности, которой принадлежат все остальные результаты наблюдений.

Часто нужно решить обратную задачу, т. е определить доверительные границы, в пределах которых истинное значение находится с наперед заданной доверительной вероятностью . Для этого необходимо:

– задаться доверительной вероятностью , которую чаще всего выбирают из следующего ряда 0,9; 0,95 или 0,99. Для технических измерений обычно выбирают 0,95;

– вычислить значение функции нормированного нормального распределения. Из формул или находим или ;

– определить квантили или из таблиц нормированного нормального распределения, при которых функция примет значение или .

Например, необходимо определить доверительные границы истинного значения физической величины, распределенной по нормальному закону при доверительной вероятности Р = 0,95. Для их определения воспользуемся формулой нахождения истинного значения в доверительном интервале . Отсюда значение , т. е. . По таблицам значений функции нормированного нормального распределения находим значение аргумента , при котором функция примет значение равное : . Доверительные границы равны .