Классификация взаимодействий
Вольтерровские модели конкуренции
жүктеу/скачать 97.15 Kb.
|
Вольтерровские модели конкуренцииВ случае конкуренции система уравнений (1.2) примет следующий вид [19]: {𝑁̇1 = (𝑐1 − 𝑎11𝑁1 − 𝑎12𝑁2)𝑁1 . (1.3) 𝑁̇2 = (𝑐2 − 𝑎21𝑁1 − 𝑎22𝑁2)𝑁2 Приравняем правые части уравнений системы нулю, найдем её стационарные решения, те есть возможные стационарные численности этих видов. Их всего четыре. Первое решение: 𝑁̅11 = 0, 𝑁̅21 = 0. (1.4) Оно будет неустойчивым узлом при любых коэффициентах системы. Второе решение соответствует нулевой численности вида: 𝑁̅12 = 0, 𝑁̅22 = 𝑎𝑐222 . (1 .5) Определив местоположение особых точек, рассмотрим фазовый портрет системы (1.3). Для этого приравняем правые части системы уравнений (1.3) к нулю: (𝑐1 − 𝑎11𝑁1 − 𝑎12𝑁2)𝑁1 = 0, (𝑁̇1 = 0) (1.6) (𝑐2 − 𝑎21𝑁1 − 𝑎22𝑁2)𝑁2 = 0, (𝑁̇2 = 0) (1.7) Получим уравнения для главных изоклин системы: 𝑁2 = − 𝑎𝑎2122𝑁1 + 𝑎𝑐222 , 𝑁2 = 0 (1.8) уравнение изоклин вертикальных касательных и 𝑎11𝑁1 𝑐1 𝑁2 = − + , 𝑁1 = 0 (1.9) 𝑎12 𝑎12 уравнение изоклин вертикальных касательных. Точки попарного пересечения изоклин вертикальных и горизонтальных касательных систем представляют собой стационарное решение системы уравнений (1.3), а их координаты 𝑁̅1𝑖, 𝑁̅2𝑖(𝑖 = 1 ÷ 4) суть стационарных численностей видов рассматриваемого биоценоза. Если 𝑐1 > 𝑐2 , 𝑐1 > 𝑐2 , (1.10) 𝑎12 𝑎22 𝑎11 𝑎21 то выживает только вид 𝑥1. Если оба неравенства имеют противоположное значение, то выживает только вид 𝑥2 . Заменим неравенство (1.10) соотношениями 𝑐1 > 𝑐2 , 𝑐2 > 𝑐1 , (1.11) 𝑎12 𝑎22 𝑎21 𝑎11 из которых следует неравенство 𝑎12𝑎21 < 𝑎11𝑎22. (1.12) Неравенство (1.12) можно интерпретировать следующим образом. Условием устойчивого сосуществования двух видов будет меньшая величина произведения коэффициентов межпопуляционного взаимодействия 𝑎12𝑎21, по сравнению с произведением коэффициентов внутрипопуляционного, 𝑎11𝑎22. Другими словами, в этом случае чрезмерно разросшаяся популяция сама ограничивает свой рост, давая тем самым возможность существовать соседней с ней популяции, пользующейся тем же источником питания, местами обитания или вступающей в иные конкурентные взаимоотношения [1]. Пусть естественные скорости роста двух видов 𝑐1 и 𝑐2 одинаковы. Тогда необходимым для устойчивости условием будут неравенства 𝑎22> 𝑎12, 𝑎11 > 𝑎21. Эти неравенства показывают, что увеличение численности одного из конкурентов подавляет его собственный рост, чем рост другого конкурента. Если численность обоих видов ограничивается, полностью или частично, различными факторами и ресурсами, приведенные выше неравенства справедливы. Если же оба вида имеют совершенно одинаковые потребности, то один из них, оказавшись более жизнеспособным, вытеснит другого. На этом основан принцип Гаузе (закон конкурентного исключения). Одна из формулировок этого принципа состоит в том, что два вида с одинаковыми экологическими потребностями не могут сосуществовать в пределах одного места обитания. Математическое доказательство этого принципа дано в книге В. Вольтерра (1976). Этот принцип позволил описать некоторые природные феномены. Модель конкуренции (1.3) имеет недостатки, в частности из нее следует вывод, что сосуществование двух видов возможно лишь в том случае, если их численность ограничена различными факторами. Но эта модель не даёт никаких указаний на сколько величин должны быть эти различия для обеспечения длительного сосуществования. Модель подразумевает, что любого различия в соответствующих экологических потребностях достаточно, чтобы виды сосуществовали. Но для длительного сосуществования в изменчивой среде необходимо различие, достигающее определенной величины. жүктеу/скачать 97.15 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|