Абель и Галуа против Коши и Французской академии

Организационные формы, впервые испытанные Лейбницем, господствовали в европейской математике до начала XIX века. Лейбницианские идеи определяли также и интеллектуальное содержание европейской математики. Опасность системы национальных академий состояла в том, что контролировавшие их сравнительно небольшие группы могли с течением времени утратить свою интеллектуальную мощь. С наибольшей вероятностью это должно было случиться, когда рожденные новыми возможностями энтузиазм и амбиции с течением времени постепенно сходили на нет. Во главе академии могли оказаться интеллектуалы «средней руки» и даже не-ученые, как это произошло в нескольких европейских академиях в начале XVIII века. Существовала также опасность, которой подверглось в XVIII веке Английское королевское общество: академии могли стать националистическими и репрессировать исследователей-иностранцев и их творческий продукт.

На рубеже XVIII-XIX веков в мировой математике доминировала Французская академия. Она предоставляла несколько хорошо оплачиваемых постов для своих ведущих членов и продвигала их математические исследования в своих изданиях. Тем не менее, с начала XIX века в Академии наблюдается стагнация. Новаторская математика теперь ассоциируется с конкурирующей организационной формой: новым университетом, ориентированным на исследовательскую деятельность. Первым таким университетом становится в самом конце XVIII века Геттинген, а расцветом новой системы можно считать 1810 год, когда был основан Берлинский университет. Новая университетская форма сопровождалась подъемом государственного начального и среднего образования, а потому важной задачей новых университетов была подготовка школьных учителей. Франция, как и Англия, не реформировала свои университеты, а государственные школы были учреждены в этих странах лишь в конце XIX века. В результате новаторство в таких областях науки, как математика, шло из Германии и других периферийных стран, в которых в результате развития националистического движения произошла реформа образования. Крупнейший математический скандал начала XIX века отражает конфликт между старой академической системой и математическим сообществом, сложившимся на базе новых университетов.

В 1826 году молодой норвежец Нильс Хенрик Абель [Neils Henrik Abel], получив скромную стипендию от своего правительства, отправился в Париж, чтобы представить свое великое математическое открытие в мировом центре математики. Норвегия лишь недавно отделилась от Дании и создала независимую систему образования. Абель учился в первом норвежском национальном университете. Его отец был одним из ведущих национальных политиков, однако после его смерти Абель был вынужден существовать на весьма скудные средства.

Открытие Абеля состояло в том, что ему удалось разрешить величайшую математическую загадку своего времени: он доказал невозможность решения уравнения пятой степени через общие формулы, предназначенные для решения кубических и биквадратных уравнений. Кроме того, Абель создал теорию трансцендентных функций, став основателем нового направления в математике — общей теории интегралов алгебраических функций. Парижская математическая элита проигнорировала оба открытия. Доклад молодого ученого о трансцендентных функциях, представленный в Академию, был «утерян» одним из членов жюри, Коши [Cauchy]. У Абеля не было возможности добиться чего-то протестами и не хватало средств на то, чтобы задержаться в Париже. В 1829 году он умер от туберкулеза без копейки денег, так и не получив никакой академической должности. Скандал разразился, когда кто-то из германских математиков, знавший о других работах Абеля, опубликовал во Франции его исследование по трансцендентным функциям, а норвежское правительство формально опротестовало потерю доклада Абеля. Под этим давлением Коши нашел доклад Абеля, за который автор был посмертно награжден Гран-при Академии в 1830 году[8].

Похожий случай произошел несколькими годами позже. В 1829 году Эварист Галуа [Galois], молодой радикально настроенный студент парижской Высшей нормальной школы, представил в Академию доклад по общей теории решения уравнений посредством теории групп. Принявший этот доклад Коши заявил, что первенство в этом открытии принадлежит Абелю (хотя в действительности это не соответствовало истине), и отклонил работу Галуа, не сделав формального сообщения в Академии. Галуа подготовил второй доклад, который был официально подан на соискание академической премии в 1830 году. Рецензентом был назначен престарелый математик Фурье [Fourier]. Через несколько месяцев он умер, и доклад затерялся среди его бумаг. Академия не вела поисков, а протесты Галуа были проигнорированы. В 1832 году третья версия доклада получила отвод члена жюри Пуассона [Poisson], который назвал его непонятным. Вскоре после этого Галуа был убит на дуэли (ссора возникла на почве политики), и его научное наследие оказалось похоронено на 14 лет.

Случаи Абеля и Галуа отражают академическую структуру, которая наделяла научную элиту практически неограниченной властью. Единоличная воля одного человека, «похоронившего» научное открытие, могла закрыть молодому ученому путь к признанию. Коши скрывал от Лежандра даже само существование доклада Абеля 1826 года; никому не известно, что случилось со вторым докладом Галуа после смерти Фурье; третий доклад Галуа был отвергнут по рецензии единственного судьи Пуассона, посредственного математика, получившего верховную власть в парижской элите после смерти Коши. В централизованной до крайности Академии отсутствовал какой-либо внутренний контроль, и сама Академия не была застрахована от посредственностей или пристрастности в своих рядах.

Эти эпизоды не свидетельствуют о наличии консервативной старой гвардии, отвергающей новаторство молодой гвардии — разрушительницы прежних парадигм. Скорее это противостояние соперничающих между собой «новых гвардий». Хотя в приведенных выше примерах Коши и предстает негодяем, он, тем не менее, был отнюдь не консерватором, а одним из двух великих математиков (вместе с Гауссом [Gauss] в Геттингене), возглавивших движение математического сообщества XIX века к вершинам высшей математики. Коши уже был лидером в тех областях, в которых работали Абель и Галуа, и просто защищал свою «вотчину».

Поведение Коши было «пиратским», но не в смысле организационных установок, как в случае с Лейбницем. Он только использовал возможности, заложенные в созданной Лейбницем организации науки. Коши относился к изданиям Академии как к личной печатной продукции. Члены Академии могли публиковать свои работы без рецензирования. Коши трудился в бешеном темпе, заваливая работой типографии и став одним из двух наиболее плодовитых математиков всех времен (другим был Эйлер в Берлинской и Санкт-петербургской академиях, который также обладал привилегией публиковать все, что писал). Возможность немедленно публиковать свои сочинения предопределяла господство Коши в европейской математике. В спешке он часто представлял идеи конспективно (напоминая этим молодого Лейбница) и часто даже не давал себе труда оценить их научное значение. Коши специализировался на снятии сливок с каждой новой открытой им области научного знания. Он часто пользовался своим положением референта Академии для собственной выгоды: мог задерживать у себя поданные в Академию доклады, пока сам не писал что-нибудь на ту же тему, публиковал свое исследование первым, а затем требовал от автора признания своего первенства. Коши был участником многочисленных споров о первенстве, и его часто обвиняли в алчности и нечестной игре.

В отличие от сторонника политических свобод Лейбница, Коши был убежденным консерватором. Наука для него была источником элитарных привилегий, и он привык смешивать научные и политические приоритеты. Вполне естественно предположить, что Коши был настроен против Абеля и Галуа по политическим мотивам. Оба молодых человека являлись радикалами: Абель был норвежским националистом, а Галуа сочувствовал революционерам и впоследствии участвовал в революции 1830 года. Трудно поверить в политическую незаинтересованность Коши, когда он отклонил доклад Галуа незадолго до революционного взрыва.

Возможно, крайний консерватизм был вполне подобающей политической позицией для последней великой фигуры Французской Академии, каковой являлся Коши. Когда период господства Академии подходил к концу, она становилась интеллектуально реакционной силой. Поведение Коши соответствовало централизованной структуре французского научного мира с ее ставкой на научную элиту. Власть надо всей системой была сконцентрирована в руках нескольких парижских функционеров, контролирующих организации, которые считались наиболее престижными институциями во всем мире. Такая структура поощряла разнузданный эгоизм власть имущих.

Поведение Коши находит себе параллели и в других областях науки более раннего времени. Известно, например, что высшей степени честолюбивым человеком был Лавуазье [Lavoisier] — великий систематизатор, заложивший номенклатурные и теоретические основы современной химии. Он не испытывал никакого морального неудобства от публикации чужих открытий без ссылок на источник. Открытие им кислорода в 1775 году произошло после обеда с Пристли [Priestly], который впоследствии обвинил Лавуазье в присвоении своих идей. Возможно, поведение Лавуазье было связано с его убеждением, что химия как наука в его работах подошла к завершающему этапу своего развития. Лаплас [Laplace], другой честолюбивый систематизатор и политический оппортунист, также не отличался щепетильностью. Значительная часть написанного им по теории универсальной гравитации была дословно позаимствована из более ранних работ Лагранжа [Lagrange]. Лаплас, видимо, также полагал, что его роль состоит в приведении науки к окончательному совершенству. Подобное убеждение было широко распространено среди французской ученой элиты конца XVIII века. Даже скромнейший Лагранж написал в 1781 году, что, по его мнению, в математике больше нечего открывать.

Французская научная элита была избавлена от необходимости встречаться в открытом единоборстве с какой-либо соперничающей силой. Ученые зачастую считали, что если они чего-то не сумели достичь, значит, достичь этого не сумел бы и никто другой. Однако сами по себе научные скандалы указывают на возникновение сил, оппозиционных доминирующей структуре. Имена Абеля и Галуа в конце концов выдвинулись на первый план в центрах, соперничающих с теми, которые находились в епархии Коши. Конкурирующий центр в Берлине встал на защиту Абеля. В новом германском университете во множестве учреждались независимые журналы, открытые для самых разных ученых. В 1826 году Август Крелль [Crelle] основал первый в мире журнал, посвященный исключительно математике. В первом томе Крелль опубликовал некоторые работы Абеля, в том числе его великое исследование по уравнениям пятой степени. Благодаря протежированию работ Абеля германский математик Якоби [Jacobi] услышал об утраченном докладе по трансцендентным функциям и стал запрашивать Французскую академию об обстоятельствах его утраты. Доклад был, в конце концов, обнаружен и представлен вниманию математиков. Подобным же образом Галуа был заново открыт Жозефом Лиувиллем [Liouville], чьей целью было создание альтернативы публикациям Академии. Доклад Галуа был опубликован в первом номере нового журнала Лиувилля в 1846 году.

В отличие от времен Лагранжа, когда ведущие интеллектуалы считали науку «исчерпанной», в эру Коши организационная структура все более ориентировалась на отражение и поиск новых путей. Новые реформированные университеты стали конкурировать с французской системой централизованной элитарной науки. Острота научного соперничества резко возросла, обусловив в математике переход к гораздо более строгим и абстрактным методам. Это было началом конца пиратской эры. С этого момента институт соревнования между организационными центрами больше не допускал беззастенчивого научного эгоизма, характерного для математиков прошлого[9].

В математике XIX века росло влияние университетских профессоров, особенно в соперничающих между собой германских университетах. Тенденция к обобщению и систематизации знаний, являющаяся одним из принципов университетского образования, превратила математику в дисциплину, весьма удаленную от эмпирического мира и категорий здравого смысла. Конфликты стали разгораться вокруг вопроса об уровне абстрактности математики. Георг Кантор (1845-1918) был несомненным лидером среди ученых, выступавших за крайнюю отвлеченность математики и нисколько не смущавшихся парадоксальными выводами, к которым могла привести такая позиция. В 1870-1880-х годах Кантор развивал теорию трансфинитных последовательностей. В противоположность ему берлинский профессор Леопольд Кронекер (1823-1891) признавал существование лишь натуральных (положительных целых) чисел, полагая, что вся математика должна выводиться из них посредством конечной серии операций. Кантор и Кронекер стали жестокими соперниками, и каждый из них пытался помешать публикации работ другого. Кронекер был одним из редакторов «Журнала Крелля» [Crelle’s Journal] (он редактировал журнал в сотрудничестве с Борхардтом [Borchardt], к которому перешел пост Крелля [Crelle]) и в 1878 году пытался не пропустить публикацию главной работы Кантора об измерениях. Статья в конце концов была напечатана Борхардтом, но после этого Кантор отказался печатать свои работы в «Журнале». Кронекер пытался также не пропустить работу Гейне о тригонометрических функциях, поскольку она шла вразрез с его «натуральной» программой. Тактика Кронекера очень сильно напоминала тактику Коши: он задержал статью, не поставив об этом в известность Гейне. Однако в этот период академические структуры были уже не столь централизованы, чем во времена Коши, и, в конце концов, Гейне смог добиться от Борхардта публикации своей работы. Правда, для этого ему пришлось лично приехать в Берлин.

В начале противостояния Кронекер имел в своем арсенале больше средств, чем Кантор. Он был членом Берлинской fкадемии и многих иностранных академий, после смерти Борхардта в 1880 году Кронекер возглавил «Журнал Крелля». Кроме того, значительное личное состояние обеспечивало ему независимость. У Кронекера были влиятельные связи в правительстве, и его мнение имело большой вес при подборе ведущих математиков на университетские профессорские должности. Кантор учился в Берлине (где одним из его учителей был Кронекер), а также в Геттингене (другом крупном математическом центре Германии), но ему никак не удавалось получить должность ни в одном из этих университетов. Он с горечью замечал, что он зарабатывает половину того, что получают другие профессора, и относил свои карьерные неудачи за счет противодействия Кронекера.

И все же Кантор также располагал определенными возможностями: ему удалось публиковать свои исследования в конкурирующем с «Журналом Крелля» журналом «Acta Mathematica», который издавал Миттаг-Леффлер [Mittag-Leffler]. Когда в 1884 году Кронекер предложил прислать в «Acta Mathematica» статью, дезавуирующую результаты современных теорий функций и множеств, Кантор пригрозил лишить журнал своей поддержки, если в нем появится какая-то из полемических работ Кронекера. Примерно таким же образом Кантор пытался помешать деятельности итальянского математика Веронезе [Veronese], с которым полемизировал в споре о бесконечно малых величинах[10].

В ответ Кантор создал новую организационную базу для борьбы с влиянием Кронекера на германских математиков. Он стоял за учреждением отдельного математического общества, независимого от более старой ассоциации, объединявшей германских математиков и астрономов в одну из секций Gesellschaft Deutcher Naturforscher Und Arzte (Общество немецких естествоиспытателей и врачей). В 1891 году был основан Deutcher Mathematiker-Vereinigung (Союз германских математиков), и Кантор стал его первым президентом. Прилагая дальнейшие усилия по разрушению «берлинского заговора», Кантор организовал первый международный конгресс математиков, который состоялся в Цюрихе в 1897 году.

Усилия Кантора имели как интеллектуальный, так и организационный успех. Возрастающая численность математиков, а также углубление специализации в математической науке способствовали продвижению работ Кантора. На волне стремительного увеличения числа практикующих математиков быстро набирающие силу периферийные университеты выходили из-под контроля таких центров мировой математики, как Берлин и Геттинген. Борьба между Кронекером и Кантором, однако, представляла собой конфликт не между традиционными и новаторскими формами математики, но между соперничающими новыми парадигмами. Кронекер не был традиционалистом от математики: противопоставляя актуальную бесконечность иррациональным, трансцендентным и трансфинитным числам, он пришел к перестройке математики на радикально новой основе. Он предвосхитил интуитивистскую школу XX века и, так же как и Кантор, проложил путь к формалистской программе. Обе стороны боролись за большую строгость математики, но решительно расходились в том, как ее достичь.

К рубежу веков, в силу возрастания численности математического сообщества и наличия у него академической установки на строгость и систематизацию, прямые личные состязания между математиками в решении частных задач отошли в прошлое. Социальные условия, которые породили «пиратство», уступили место коллективным конфликтам между школами с конкурирующими программами. Даже Кронекер и Кантор не просто боролись за индивидуальное признание, как это было в более ранние периоды развития математики. А их последователи кардинально изменили стиль и «слились» с коллективом. Пираты уступили дорогу «праведным» ученым-политикам.

В XX веке математики впервые начали издавать работы в соавторстве. К 60-м годам 60 процентов математиков хотя бы несколько раз публиковались в соавторстве. Одним из первых математиков, опубликовавшим работу в соавторстве, был кембриджский профессор Г. Х. Харди [Hardy]. Харди опубликовал сотни совместных работ, многие из которых были написаны вместе с не имевшим математического образования индийцем Рамануджаном [Ramanujan]. Математик XVI-XVII веков мог бы ничтоже сумняшеся присвоить результаты, полученные никому не известным индусом, однако Харди открыл Рамануджану путь в Англию и признал независимую работу индийского математика. Соотечественник Харди Бертран Рассел [Russell] предпринял подобные же шаги для признания и публикации работ Фреге [Frege], невзирая ни на то, что Рассел завершил собственный труд до того, как прочитал Фреге, ни на то, что Фреге жил в другой стране и был совершенно не известен в это время. Издав свою самую знаменитую работу «Principia Mathematica» (Whitehead, Russell, 1910), Рассел стал в ней вторым автором, хотя эта работа содержала доктрину, которую он уже разработал самостоятельно и опубликовал в своих «Началах математики» (Russell, 1903).

Лидер геттингенской формальной школы Давид Гильберт [Hilbert] был «праведным политиком», заслуживающим всяческого уважения. В отличие от Коши, он брал под защиту побежденную в академическом споре сторону, боролся против притеснения женщин и политических радикалов (несмотря на то, что его собственные политические убеждения носили консервативный характер) и преследовал академический антисемитизм. В отличие от националистически окрашенного поведения ученых эры Ньютона — Лейбница, Гильберт в Германии (так же как и Рассел в Англии) противостоял шовинизму в математике и воздавал должное математикам из враждебных стран даже во время Первой мировой войны.

Математики XX века словом и делом подчеркивали, что наука — это коллективное предприятие. Крайний предел этой тенденции представляет история Никола Бурбаки [Bourbaki] — вымышленной фигуры, за которой скрывалась группа работавших коллективно французских математиков. «Бурбаки» являет собой попытку объединить современную математику в терминах теории множеств. Подобным же образом Рассел и Уайтхед [Whitehead] стремились вывести всю математику из простой логической основы, а формальная программа Гильберта развивала программу его геттингенского предшественника Феликса Клейна [Klein] по объединению геометрии вокруг единой для всей математики аксиоматической структуры. Эти «объединители» рассматривали историю математики как историю коллективного предприятия. Они не только со всей щепетильностью признавали заслуги всех предшествующих поколений, но также старались смирить собственные амбиции перед лицом грядущих достижений математической науки. Этим они отличались от Лавуазье, Лапласа и Лагранжа, убежденных, что в исследуемых ими областях скоро не будет новых открытий. Рассел подробно описывал, в каком направлении его работа должна быть продолжена, и отдавал должное методам, которые, как он полагал, превзойдут его собственный. Гильберт, горячо поддерживавший Международный конгресс математиков, произнес на его втором съезде в 1900 году знаменитую программную речь, в которой наметил ряд нерешенных проблем для будущих поколений математиков. «Наука полна жизни, когда она в изобилии предлагает нам нерешенные вопросы, — сказал он. — Отсутствие вопросов есть признак смерти». Пятью годами позже лидер группы «Бурбаки» Андре Вейль [Weil] высказал аналогичные мысли по поводу развития математической науки:



Антуан Лоран Лавуазье

«…Существует совсем немного проблем, тесным образом не соотнесенных с другими, которые, на первый взгляд, кажутся далекими от них. Когда какая-то область математики начинает интересовать только специалистов, она очень близка к смерти или, во всяком случае, находится в опасной близости к параличу, от которого ее может спасти только подключение к живительному источнику науки».

Взгляд на математику как на продолжающую развиваться систему, элементы которой тесно взаимосвязаны между собой, побуждал математиков подчинить себя коллективу.

Коллективистский подход в математике XX века предопределен структурно. Математикам, стремящимся удовлетворить свои научные амбиции, поневоле приходится становиться альтруистами. В силу роста математического сообщества и развития многочисленных специальных областей независимым математикам становится очень трудно (если вообще возможно) в одиночку добиться признания своих публикаций. Чтобы выжить в новых обстоятельствах, ученый уже не может полагаться только на себя самого при решении всего комплекса стоящих перед ним математических проблем, как это было во времена Кардано. Невозможно уже и, подобно Лейбницу, разработать интеллектуальную программу, способную доминировать в математическом мире. Невозможно также, подобно Коши, лично править математическим миром, опираясь на собственную фанатичную преданность работе и тотальный контроль над издательской системой. В XX веке честолюбивый математик должен давать результаты, применимые во многих разнообразных отраслях математики. Предмет его исследований должен быть системообразующим на высоком уровне абстракции.

Несмотря на произошедшие структурные изменения, стимулом математического новаторства продолжает оставаться и дух соревнования. Но только сегодня агрессивное, соревновательное поведение ученых скрыто за коллективными, организационными формами. Успешный строитель империи больше не может создавать личную империю. Он должен действовать политически и создавать организации. В нынешней ситуации к успеху ведут исключительная вежливость, признание чужих заслуг, вовлечение в работу коллег и коллективное, организационное сознание. Мы не хотим сказать, что коллективизм и альтруизм в современном мире не знают пределов. Адепты одной научной школы могут признавать и поощрять заслуги ученых, принадлежащих к этой же школе, и жестко критиковать представителей конкурирующих школ. Это особенно верно в отношении антагонистических школ, таких как интуитивизм Брауэра [Brouwer], выросший из противостояния систематизаторам[11]. Однако даже анти-системные движения становятся в современной ситуации конкурирующими системами.

Эра строителей систем поощряет идеалы альтруизма, само-отвержения, преданности коллективным целям, ориентацию на вечные ценности или, используя выражение Гильберта и Вейля, деятельность «во славу человеческого духа». Мертонианский образ науки основан на идеалах XX века. Под этими идеалами покоится структура коллективного соревнования, внутри которой честолюбивые индивидуумы могут преуспеть только в качестве бескорыстных представителей научной группы — коротко говоря, «святых» интеллектуалов-политиков.