Комплекс айнымалылы функцияны интегралдау. Комплекс облыстағы анықталмаған интеграл

_Дәріс 6. Комплекс айнымалылы функцияны интегралдау.
Комплекс облыстағы анықталмаған интеграл.

w=f(z) функциясы z айнымалысының жазықтығындағы кейбір G облысында анықталған, z комплекс айнымалысы кез келген үзіліссіз функция болсын жəне

осы облыста жататын басы

^z₀ нүктесінде жəне соңы Z нүктесінде болатын кез

келген тегіс сызық болсын (Cурет 1).

Сурет 1

С сызығының доғасын соңы сызықтың оң бағытында тізбек пен орналасқан
z_{0 ,}

z_{1 ,}

^z₂ , ... ,

^zn1

нүктелері арқылы кез келген ⁿ бөлікке бөлейік. Əрбір доғаға

сəйкестікке осы доғаның сол жақ соңындағы берілген функцияның мəнін осы доғаға сəйкес келетін

z :z_k z_k1 z_k

айнымалысының

z_k

өсімшесіне көбейткенде пайда болған

f(z_k ) z_k

санын

келтіреміз. Əрі қарай оны барлық дербес доғаларға бөліп мынадай көбейткіштердің қосындысын құрамыз:

kn  1



f

k 0

( z_k

) z _k
(1)

1. 
   өрнекті мына түрге келтіреміз:
   

kn1
kn1

_f(z_k)z_k_u_kv_kix_kiy_k

k0

kn1
_



k0

  
kn1



_

  

_. (2)

u_kx_k

k0

v_ky_k

i v_kx_k

k0

u_ky_k

Барлық дербес доғалардың максимум ұзындықтарын нөлге ұмтылдырып, соңғы (2) теңдіктің оң жағындағы екі қосындыныңда мына шектерге ұмтылатынын көреміз:

_udxvdy

C

жəне

i_vdxudy_;

C

демек, (2) теңдіктің сол жағы барлық дербес доғалардың ұзындықтары кез келген заң бойынша нөлге ұмтылғанда анықталған ақырлы шекке ұмтылады. Бұлшекті біз

^С сызығының бойындағы

fzdz

бойынша интегралы деп атаймыз жəне

_f( z ) dz

C

деп белгілейміз.Сонымен,

_f(z)dz_udxvdyi_vdxudy

(3)

C C C

теңдігін аламыз. Бұл формула екі нақты қисық сызықты интеграл арқылы комплекс айнымалысы бойынша интеграл өрнегін береді. Егер (3) формуланы мына түрде жазатын болсақ,

оны есте сақтау оңай болады.

_f(z)dz_uvidxidy

C C

(3’)

Комплекс айнымалысы бойынша интегралды есептеуге қатысты ^С сызығының теңдеуін z=z(t) (t) деп алып, мынаны аламыз:



_fzdz

С



_uztx^tvzty^tdt




(4)

немесе

i_vztx^tuzty^tdt



_fztz^tdt,



мұндағы

Rt
жəне

It

С  

сəйкесінше ^{fz(t)z(t)}өрнегінің нақты бөлігі жəне

жорамал бөлігіндегі коэффициенті. (4’) формуласының негізінде комплекс айнымалысы бойынша интегралды есептеу қарапайым анықталған интегралдарды есептеуге келтіріледі.
1. Вейерштрасстың бірінші теоремасы.

Барлық мүшелері кейбір G облыста аналитикалық функцияның мəні болатын шексіз қатарды алайық:

f₁ zf₂ z ... f_nz ... (44)

(44) қатарды G облыстың əрбір z нүктесінде жинақталады деп ұйғарып, оның

жиынтығын fzарқылы белгілейік. Қандай жағдайларда аналитикалық функцияның

жинақты қатарының қатарының қосындысы аналитикалық функцияның өзі болады? Бұндай жағдай болып G облыстағы (44) қатардың бір текті жинақталу жағдайы алынады

немесе кем дегенде толықтай тұйық G облыста жатқан барлық тұйық G' облыстағы

жағдай алынады. Бұл екі бөліктен тұратын Вейерштрасс теоремасымен анықталады.

Теорема.Түгелдей G облыста жатқан барлық G' тұйық облыста қатар (44) біртекті жинақталады. Онда:

Біріншіден, (44) қатар G облыста аналитикалық болатын функцияны

fzбейнелейді.

Екіншіден, (44) қатарды дифференциалдағаннан кейін G- ға ішкі болып саналатын кез

келген тұйық G' облысты біртекті жинақталатын жаңа қатар еркін санды мəрте пайда

болады жəне сəйкесті туынды fzфункцияны бейнелейді, немесе, қысқаша айтқанда,

44. 
    қатарды қанша рет болса да мүшелеп дифференциалдауға болады.
    

Ескерту: Нақты айнымалының біртекті жинақты қатарын мүшелеп дифференциалдауға болмайтындықтан, мұндай қарапайым теореманы нақты облыста қолдана аламыз.

Теореманың бірінші бөлігін дəлелдеу үшін қатардың (44) біртекті жинақтылығына

орай, оның қосындысы fzG облысқа ішкі болатын кез келген тұйық G'облыстағы

үзіліссіз функция болатынын атап өтуіміз керек, демек, ол G облыстың барлығындада

осылай болады. Бізге G облыстың кез келген z₀ нүктесінде fzфункциясының ақырғы

туындысының болатынын дəлелдеу жетіп жатыр.

z₀ нүктесін оның ішкі нүктелері

алыңғалы отырған контурдың өзінің нүктелерімен бірге G облысқа тиісті болатындай етіп тұйық, кесекті- тегіс С контурымен қоршаймыз. (3сурет)

C

f_

z

f₁_

z

^f2...

z

f_n_...

z

(45)

С - ға тиісті барлық нүктелер үшін біртекті жинақты болып табылады. Бұндай қатарды С сызығының маңайында мүшелеп интеграциялауға болады.

С - ның маңынан интеграция жүргізе отырып, нəтижесінде алынғанның барлық

мүшелерін 2i- ға бөле отырып, мынаны аламыз:

1_f d

_ 1_f₁ d_ 1_f₂ d_{ ... } 1_f_n d_{ ...}

(46)

2i _C

z

2i_C

z

2i_C

z

2i_C

z

Шарт бойынша,

f_nz

функциясы С контурдың өзінің нүктелерін қосқанда ^С- ның

барлық өз ішіндегі аналитикалық мəні болғандықтан, Коши формуласын пайдалана отырып, (46) қатарды мына түрде қайтып жазамыз:

12i_C



fd

z

f₁zf₂

z ... f_n

z ...
46'

46'
қатардың бірінші бөлігінде қосындысы

fz- ге тең (44) қатар тұр, демек, біз

мынаны аламыз:
_fz 1_fd
46''