Конспект лекций для студентов специальности "Автоматизированное управление технологическими процессами и производствами " заочной формы обучения

6.1. Закон регулирования

Любой регулятор должен устранять причину, нарушающую равновесный режим работы объекта.

Регулятор, работающий по принципу отклонения, должен воспринимать значения регулируемой величины и сопоставлять его с заданным значением.

Разность , называемая рассогласованием, является входом регулятора. В зависимости от рассогласования регулятор вырабатывает регулирующее воздействие , являющееся выходом регулятора.

Регулирующее воздействие поступает на вход объекта с целью устранения причины, приведшей к отклонению регулируемой величины от ее заданного значения.

В общем случае уравнение регулятора, замкнутого на объект регулирования, можно записать как:

где К(р) и С(р) – операторные многочлены.

Знак "-" в правой части означает реализацию управления по принципу отрицательной обратной связи.

Регулятор как самостоятельный элемент системы, отключенный от объекта регулирования, описывается уравнением.

Многочлен С(р) определяет закон регулирования, т.е. характер зависимости между выходным и входным сигналами регулятора.

Многочлен К(р) указывает на характер выполнения этого закона.

Если К(р)=1, то закон регулирования идеален. В соответствии с записанным уравнением закона регулирования имеем:

и

- для идеального закона регулирования.

6.2. Простейшие законы регулирования
Простейшими законами регулирования являются пропорциональный (П) и интегральный (И).

Пропорциональный закон регулирования записывается уравнением вида:

где К_р – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом передачи

регулятора.

В этом случае имеется однозначная пропорциональная зависимость между регулирующим воздействием и рассогласованием.

Передаточная функция регулятора имеет вид:

П - регулятор является безынерционным усилительным звеном.

Интегральный закон регулирования предопределяет интегральную зависимость между регулирующим воздействием и рассогласованием.

Это уравнение можно записать в виде:

Отсюда т.е. коэффициент передачи интегрального регулятора является отношением скорости изменения регулирующего воздействия к рассогласованию. Поэтому коэффициент передачи И- регулятора называют еще приведенной скоростью регулирования.

Из исходного уравнения имеем:

; .

И – регулятор является интегрирующим звеном. Следовательно динамические свойства И - регулятора определяются динамическими свойствами интегрирующего звена.

6.3. Законы регулирования с коррекцией по интегралу и производной
6.3.1. Корректирующая обратная связь
П и И – регуляторы не всегда обеспечивают надлежащее качество регулирования.

П – регулятор предопределяет статизм системы и в связи с этим могут возникать случаи, когда статическая ошибка превышает допустимое ее значение. В связи с этим появляется необходимость введения корректирующих устройств, устраняющих приведенные недостатки простейших регуляторов.

Если закон регулирования определяется передаточной функцией а желателен то и

В большинстве случаев при формировании законов регулирования, отличных от простейших, коррекции осуществляются с помощью обратной связи по двум типам структурных схем, когда обратная связь охватывает только усилитель (рис. 6.1) и когда обратная связь охватывает и усилитель и исполнительный механизм (рис. 6.2).

ЧЭ У ИМ

-
ОС
Рис.6.1.
y_з(t) + у_р(t)

ЧЭ У ИМ

-
ОС
Рис.6.2.
Контур с обратной связью является предельной системой.

В этом случае

Следовательно,

и

.

Чувствительный элемент относят к объекту управления, исключая из структурной схемы регулятора, в связи с тем, что динамические свойства ЧЭ отражены в характеристике объекта управления.

Тогда

для случая, когда обратная связь охватывает только усилитель,

и

для случая охвата обратной связью и усилителя и исполнительного механизма.

Таким образом, для получения желаемого закона регулирования при введении коррекции по типу обратной связи передаточные функции устройств обратной связи определяются как:

и

.

6.3.2. Пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования
В этом случае

Постоянную интегрирования Т_и называют временем изодрома.

Отсюда

Подставив р= , получим АФХ регулятора

где

График АФХ приведен на рисунке 6.3.

K_p

Рис.6.3.
Переходная функция регулятора:

График переходной функции приведен на рисунке 6.4.

h_рпн

K_p

Если обратная связь охватывает только усилитель, то передаточная функция обратной связи принимает вид:

Если исполнительный механизм является интегрирующим звеном с передаточной функцией

то

где

- степень обратной связи;

- коэффициент передачи звена обратной связи.

Следовательно, обратная связь должна быть выполнена в виде апериодического звена первого порядка. Такую обратную связь называют жесткой обратной связью с инерционностью первого порядка.

Если обратная связь охватывает и усилитель и исполнительный механизм,

то

Следовательно, обратная связь должна быть выполнена в виде реального дифференцирующего звена. Такую обратную связь называют упругой или гибкой обратной связью.

Вообще жесткой обратной связью называют такую, которая в установившемся режиме работы пропускает установившееся значение входного воздействия.

Гибкой обратной связью называют обратную связь, которая в установившемся режиме не пропускает установившегося значения входного сигнала.

Обязательным элементом гибкой обратной связи является дифференцирующее звено.

где

Т_и - время изодрома;

К_р - коэффициент передачи.

Преобразуем уравнение по Лапласу:

Отсюда

АФХ ПИД - регулятора

где

График АФХ приведен на рисунке 6.5.

∞

K_p

ω

∞

Переходная функция регулятора

График переходной функции приведен на рисунке 6.6.

t

⁰

Рис.6.6.
Если ПИД – регулятор реализуется с помощью обратной связи, охватывающей только усилитель, а исполнительный механизм является интегрирующим звеном,

то

или

,

Здесь ; .

Следовательно, обратная связь должна быть выполнена в виде апериодического звена второго порядка или в виде последовательного соединения двух апериодических звеньев первого порядка. Такую обратную связь называют жесткой с инерционностью второго порядка.

Если обратная связь охватывает и усилитель и исполнительный механизм,

то

или

Следовательно, обратная связь в этом случае должна быть выполнена в виде дифференцирующего звена второго порядка или в виде последовательного соединения апериодического звена первого порядка и реального дифференцирующего звена.

7. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ АСР
7.1. Одноконтурная АСР
В общем случае простейшая одноконтурная АСР может быть представлена структурной схемой, приведенной на рисунке 7.1.
f_втр(t) f_вн(t)

W_овн(p)

y_з(t) z(t) y_p(t) y(t)

+

W_p(p)

W_op(p)

Рис.7.1.

На рисунке обозначены:

- заданное значение регулируемой величины;

) - регулирующее воздействие;

- внутреннее возмущение;

- внешнее возмущение;

) - передаточная функция объекта регулирования по каналам регулирующего воздействия и внутреннего возмущения;

- передаточная функция объекта регулирования по каналу внешнего

возмущения;

- передаточная функция регулятора;

- сумматор;

+

-

где , , - изображения отклонений регулируемой величины за счет

регулирующего воздействия, внутреннего и внешнего

возмущений соответственно.

то

или

Отсюда

и

Следовательно, передаточная функция замкнутой одноконтурной АСР, связывающая любую выходную величину с любым входным воздействием , приложенным к произвольной точке системы, выражается в виде:

где

расположенных между точкой приложения возмущающего воздействия и точкой снятия выходного сигнала;

При анализах АСР может представлять интерес поведение рассогласования при приложении к системе соответствующих возмущений.

В соответствии с вышеизложенным передаточные функции в этом случае принимают вид:



.
7.2. Многоконтурная АСР
К схеме, изображенной на рисунке 7.1, может быть приведена любая многоконтурная АСР, содержащая произвольное число соединенных друг с другом контуров и имеющая перекрестные связи.

Так как всякая структурная схема представляет собой линейную систему в виде некоторых более простых систем, точек разветвления сигналов (узлов) и сумматоров, соединенных между собой различными способами, то любое преобразование в структурной схеме сводится к попарной перестановке ее соседних элементов. Основной принцип перестановки элементов структурной схемы – все входные и выходные сигналы преобразуемого участка системы должны оставаться неизменными.

Из общего принципа вытекают конкретные правила структурного преобразования, использовав которые, можно свести любую многоконтурную систему к типовым соединениям звеньев. Заменив затем эти типовые соединения эквивалентными звеньями, многоконтурную систему приводят к одноконтурной.

Некоторые примеры правил структурных преобразований приведены в

таблице 7.1.
Таблица.7.1.
ОперацияИсходная схемаЭквивалентная схема

x₁

x₂

x₁

x₂

Замена звеньев прямой и обратной цепей.

Переход к единичной обратной связи x₁ x₂

x₁ x₂

8. АСТАТИЗМ АСР

Здесь - множитель, указывающий на то, что поведение функции рассматривается только в правой полуплоскости, справа от оси ординат.

Так как

,

то

В частном случае к АСР может быть приложено воздействие, изменяющееся с постоянной к-ой производной, т.е. воздействие вида:

Воздействие, изменяющееся с постоянной к-ой производной, называют воздействием к-го порядка. Его изображение имеет вид:

Практический интерес представляют воздействия нулевого, первого и второго порядков, т.е. постоянное воздействие и воздействия, изменяющиеся с постоянной скоростью и постоянным ускорением:

Отсюда изображение переходного процесса, вызываемого воздействием, выражаемым степенным рядом, запишется в виде

Раскладывая на простейшие дроби по методу неопределенных коэффициентов и переходя от изображения к оригиналу, получим переходный процесс в виде суммы переходной и вынужденной составляющих:

Переходная составляющая при . Вынужденную составляющую переходного процесса можно записать в виде суммы:

где коэффициенты разложения передаточной функции на простейшие дроби.

Вынужденная составляющая переходного процесса является ошибкой системы. Ошибка системы определяет ее точность. Следовательно, точность АСР можно оценить коэффициентами разложения в степенной ряд ее передаточной функции относительно выходной величины по каналу воздействия - коэффициентами ошибки.

Это положено в основу классификации систем по характеру установившегося движения. Признаком классификации служит порядок астатизма.

1. 
   Системой с астатизмом нулевого порядка называют АСР, погрешность которой при
   

Это возможно только при С₀ . Такие системы называют статическими.

1. 
   Системой с астатизмом первого порядка называют АСР, погрешность которой при
   

1. 
   Системой с астатизмом второго порядка называют АСР, погрешности которой при отработке постоянного воздействия и воздействия, изменяющегося с постоянной скоростью, равны нулю, а ошибка при отработке воздействия, изменяющегося с постоянным ускорением, постоянна и пропорциональна величине ускорения.
   

1. 
   Системой с астатизмом го порядка называют систему, погрешность которой при
   

Это возможно при С₀= С₁=С₂ =…=С_v-1 =0 и С_v .

Здесь

- сумма произведений передаточных функций ых прямых путей передачи сигналов от рассматриваемого входа к рассматриваемому выходу на ;

-число таких прямых путей;

- это после исключения из него членов, содержащих передаточные функции контуров и ветвей, соприкасающихся с ым прямым путем.

Передаточные функции и берутся со знаком "+" или "-" в зависимости от четности или нечетности отрицательных сигналов в контуре или прямом пути передачи сигнала.

8.3. Структурные условия астатизма
В соответствии с теоремой о конечном значении функции вещественного переменного имеем:

Так как

то

Подставляя сюда значения

и ,

получим уравнение установившегося режима работы системы при воздействии возмущения к-го порядка

или

1. Если в общем случае во всю разомкнутую систему входит r интегрирующих звеньев, а в участок между входом и выходом - таких звеньев,

то

; ,

где , - передаточные функции статических элементов системы между точками входа и выхода и всей разомкнутой системы соответственно.

Подставляя эти значения в уравнение установившегося режима, получим:

,


где к – порядок воздействия.

Отсюда:

1. 
   При выходная величина не имеет конечного установившегося значения,
   

1. 
   При установившееся значение выходной величины является конечным,
   

воздействия:

Следовательно, характер отработки системой воздействия к-го порядка определяется числом интегрирующих звеньев вне участка приложения входного воздействия и снятия выходного сигнала, т.е. числом интегрирующих звеньев в цепи обратной связи по отношению к рассматриваемым входному и выходному сигналам.

В связи с этим число интегрирующих звеньев в цепи обратной связи между приложением входного воздействия и снятием выходного сигнала структурно определяет порядок астатизма системы по отношению к рассматриваемому входному воздействию.

Таким образом:

а) АСР отрабатывает воздействие к -го порядка астстично в том случае, когда порядок астатизма выше порядка воздействия [ ].

б) При равенстве порядков астатизма и воздействия [ ] система отрабатывает воздействие к-го порядка с погрешностью, пропорциональной установившемуся значению к-ой производной входного воздействия

в) Если порядок астатизма меньше порядка воздействия [ ], то выходная

величина не имеет конечного установившегося значения, а неограниченно

возрастает во времени, т.е. система неработоспособна.

1. 
   Если в приведенной к одноконтурной АСР не содержится интегрирующих звеньев в обратной связи, но имеется интегрирующих звеньев в прямой цепи по отношению к рассматриваемым входу и выходу системы т.е. ,
   

то

Как видим, в этом случае при воздействии, изменяющемся с постоянной к-ой производной, выходная величина не имеет конечного установившегося значения, а непрерывно возрастает во времени.

Следовательно, в этом случае АСР способна отрабатывать только воздействия нулевого порядка постоянное воздействие), причем АСР будет астатической с нулевым порядком астатизма, т.е. статической.

Статическая ошибка принимает значение:

3. Если в приведенной к одноконтурной АСР отсутствуют интегрирующие звенья и в прямой цепи и в обратной связи ,

то

Отсюда:

где

9. АСР С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ

Кроме того, из уравнения установившегося движения системы очевиден и иной путь устранения статизма по отношению к рассматриваемому возмущению.

Из уравнения установившегося режима видно, что ошибка равна нулю при равенстве бесконечности знаменателя передаточной функции и равенстве нулю ее числителя.

Первый случай соответствует астатической системе. Второй случай можно реализовать введением воздействий, компенсирующих возмущения.

Суть способа заключается в том, что на основе измерения величины возмущения управляющее устройство осуществляет такое воздействие на объект, которое компенсирует естественное влияние данного возмущения на выходную величину объекта.

Структурная схема такой АСР приведена на рисунке 9.1.

W_ор(р)

W_oвk(k)

W_рк(p)

Рис.9.1.
В соответствии с рисунком 9.1 изображение регулируемой величины

Отсюда условие независимости от запишется в виде:

или

Это условие абсолютной инвариантности не всегда может быть реализовано. Поэтому в большей части идут на частичную инвариантность – инвариантность в установившемся режиме (инвариантность в статике)

где

Так как в реальных системах невозможно измерить все возмущения, то система с компенсацией в разомкнутом виде (рис. 9.1) может быть реализована в редких случаях.

В практике автомвтизации технологических процессов принцип компенсации возмущений сочетают с принципом по отклонению (рис. 9.2).

W_рк(p)

f_k(t)
f(t) W_oвk(р)

W_р(p)

+

y_з(t)

-

-

Согласно рисунку 9.2

Отсюда условие абсолютной инвариантности регулируемой величины по отношению к возмущению запишется в виде:

или

Для устранения влияния возмущения на регулируемую величину в установившемся режиме коэффициент передачи корректирующего регулятора (устройства ввода возмущения) должен быть обратно пропорционален коэффициенту передачи основного регулятора по отклонению

10. УСТОЙЧИВОСТЬ АСР

где

- возмущающее воздействие.

Общее решение этого уравнения имеет вид:
,

где

- ая постоянная интегрирования.

АСР, переходные процессы в которых затухают с течением времени, называют устойчивыми. АСР с расходящимися переходными процессами относят к неустойчивым.

Все реальные работоспособные системы должны быть устойчивыми.

1. 
   Необходимое условие устойчивости
   

Для суждения об устойчивости системы нужно знать знаки действительной части корней характеристического уравнения системы, а для этого нужно решать эти уравнения. В радикалах решаются уравнения первой – четвертой степеней, уравнения пятой и выше степеней решаются только в численном виде по числовым коэффициентам уравнения.В связи с этим появляется необходимость уметь косвенным образом оценивать знаки корней характеристического уравнения.

Можно показать, что необходимым условием отрицательности корней характеристического уравнения системы, т.е. ее устойчивости, является положительность всех коэффициентов уравнения. Для АСР первого и второго порядков это необходимое условие является и достаточным.

Необходимое и достаточное условия устойчивости для АСР третьего и выше порядков определяются критериями устойчивости.

10.3. Критерии устойчивости

1. 
   Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
   

Для устойчивости замкнутой системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы были положительными все n определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы, причем определители берутся как главные миноры квадратной матрицы. Квадратная матрица записывается:

1. 
   в первую строку выписываются коэффициенты уравнения через один, начиная со второго по старшинству;
   
2. 
   во вторую строку выписываются коэффициенты уравнения через один, начиная
   

1. 
   в третью и четвертую строки выписываются первая и вторая строки со сдвигом
   

На освободившиеся места в строках проставляются нули. Каждая последующая пара строк получается сдвигом на один элемент вправо двух предыдущих. Всего должно быть записано n строк и n столбцов, где n - порядок характеристического уравнения.

Например,

Квадратная матрица:

Условие устойчивости:

Так как все коэффициенты должны быть положительными и , то условие устойчивости записывается в виде:

Если свободный член равен нулю , то в уравнении имеется нулевой корень.

Если предпоследний определитель равен нулю , то в уравнении имеется чисто мнимый корень.

Следовательно, условиями границы устойчивости системы будут

10.3.2. Частотный критерий устойчивости Найквиста для статических систем

-1 ω=∞
ω=0 u(ω)

Рис.10.1.
2. Если разомкнутая система неустойчива, т.е. если передаточная функция разомкнутой системы имеет m полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при движении вдоль нее против часовой стрелки охватывала точку (-1;j0) раз, например рисунок 10.2.
jV(ω)

m=2 ω=0

u(ω)

Рис.10.2.

В этом случае характеристика

уходит в бесконечность при подходе к нулевой частоте как со стороны положительных, так и со стороны отрицательных значений , например рисунок 10.3.

jV(ω)
0

ω +∞

ω -∞

Рис.10.3.

Для возможности применения критерия Найквиста и в этом случае нужно кривую замкнуть, устранив тем самым неопределенность при

Для этого следует обойти нулевые корни характеристического уравнения, (нулевые полюсы передаточной функции), деформируя мнимую ось плоскости корней полуокружностью малого радиуса ρ (рис.10.4 а,б).

ρ ρ

1. 
   б)
   

Если обход осуществлять справа (против часовой стрелки), то нулевой корень следует отнести к левой полуплоскости. Если обход осуществлять слева (по часовой стрелке),

то нулевой корень относится к правой полуплоскости.

Если нулевой полюс обходить полуокружностью радиуса (рис. 10.4), то годограф АФХ разомкнутой системы дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса R и кривая АФХ замыкается.

Обходу нулевого полюса против часовой стрелки соответствует дополнение АФХ разомкнутой системы полуокружностью бесконечно большого радиуса R также против часовой стрелки.

Обходу нулевого полюса по часовой стрелке соответствует дополнение АФХ разомкнутой системы полуокружностью бесконечно большого радиуса R по часовой стрелке.

Если ограничиться только рассмотрением положительного диапазона частот (0 ), не учитывая зеркального отображения для отрицательных частот, то каждому нулевому полюсу при обходе его четвертью окружности радиусом будет соответствовать дополнение четвертью окружности радиуса , т.е. дугой бесконечно большого радиуса.

Исходя из вышеизложенного, можно сформулировать следующие критерии устойчивости Найквиста для астатических систем:

2. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет полюсов на мнимой оси или в начале координат и m полюсов в правой полуплоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы с ее дополнением дугой бесконечно большого радиуса по часовой стрелке охватывала точку (-1;j0) раз при движении вдоль нее против часовой стрелки.

Существенное влияние на качество АСР оказывает ее коэффициент передачи. В статических АСР коэффициент передачи определяет величину статической ошибки. Чем больше коэффициент передачи, тем меньше статическая ошибка.

Следовательно, с точки зрения статической точности регулирования нужно увеличивать коэффициент передачи.

Однако, по мере роста его при прочих равных условиях ухудшается устойчивость системы. Если АФХ разомкнутой системы при единичном коэффициенте передачи (рис. 10.5) , то при АФХ разомкнутой системы .

jV(ω)

A_kp(ω_kp)

W_pc1(jω)

По мере увеличения коэффициента передачи модули АФХ увеличиваются, АФХ разомкнутой системы располагается все ближе и ближе к критической точке (-1;j0).

При некотором значении коэффициента передачи АФХ разомкнутой системы пройдет через точку (-1;j0) и АСР выйдет на границу устойчивости. Значение коэффициента передачи разомкнутой АСР, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, при прочих равных условиях, называют критическим или предельным.

Из рисунка 10.5. имеем:

где значение модуля АФХ разомкнутой системы при критической частоте, причем под критической частотой понимают частоту, при которой АФХ разомкнутой системы при единичном коэффициенте передачи пересекает отрицательную вещественную полуось.

АСР, состоящую из устойчивых звеньев, в замкнутом состоянии всегда можно сделать устойчивой надлежащим подбором параметров системы, например, ее коэффициента передачи.

При этом в достаточной мере могут быть удовлетворены и другие требования к качеству системы. Системы регулирования, которые можно сделать устойчивыми только подбором ее параметров без изменения структуры, называют структурно-устойчивыми системами.

АСР, которые не могут быть сделаны устойчивыми путем только изменения значений параметров системы, называют структурно-неустойчивыми. Для придания устойчивости структурно-неустойчивым АСР необходимо изменять их структуру путем введения корректирующих устройств. Корректирующие устройства могут быть последовательными, параллельными и в виде обратных связей. Последовательные и параллельные корректирующие устройства реализуют дифференцирующими звеньями.

В качестве корректирующих устройств в виде обратной связи применяют жесткие и упругие обратные связи.

1. Идеальная жесткая обратная связь

2. 
   Жесткая обратная связь с инерционностью первого порядка
   

3. Жесткая обратная связь с инерционностью второго порядка

4. Упругая обратная связь с инерционностью первого порядка

где Т_и - постоянная времени звена обратной связи, называемая временем изодрома.

11. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА АСР
11.1. Прямые показатели качества переходных процессов в замкнутой АСР
Работоспособность любой замкнутой АСР определяется ее устойчивостью, что в свою очередь предопределяется структурой системы.

Переходные же процессы зависят не только от структуры системы и ее параметров, но и от характера воздействий, приложенных к ней. В связи с этим для оценки качества регулирования и динамических свойств АСР вводят типовые воздействия, к которым относят единичные скачкообразную и импульсную функции; воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью или постоянным ускорением; гармоническое воздействие.

Из приведенных типовых воздействий чаще применяют единичную скачкообразную функции . При этом используют прямые показатели качества

(рис. 11.1):

y y

y₁ y₃ H

y₂

y_yct=y(∞) H ₀ t

y₂

t_p t_p

а) статическая АСР б) астатическая АСР

Рис.11.1.

1. 
   максимальное отклонение регулируемой величины (динамическая ошибка
   

1. 
   статическая ошибка в установившемся режиме для статических АСР
   

- перерегулирование

для статических (рис.11.1 а)

и

для астатических АСР (рис.11.1 б).

- зона нечувствительности (рис.11.1 а,б)

- время регулирования (рис.11.1 а,б)

- степень затухания

для колебательных процессов (рис.11.1 а,б)

Степенью затухания называют отношение разности двух соседних одинаково направленных амплитуд колебаний к первой из них.

Следовательно, качество процессов регулирования можно оценить путем решения дифференциального уравнения системы и построения графика переходного процесса.

Однако, решение в аналитическом виде возможно только в случае линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и сопряжено с трудностями определения корней характеристического уравнения.

Вследствие этого широко применяют косвенные оценки качества АСР, к числу которых относят корневые, интегральные и частотные показатели.

1. 
   Корневые показатели качества АСР
   

Корневые показатели определяются расположением корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости, при этом ориентируются на корень, наиболее близкий к мнимой оси.

В соответствии с этим различают: степень апериодической и степень колебательной устойчивости. Степенью апериодической устойчивости называют абсолютную величину действительного корня, расположенного наиболее близко к мнимой оси (, рис. 11.2 а). Степенью колебательной устойчивости называют отношение вещественной части наиболее близкого к мнимой оси комплексного корня к коэффициенту при его мнимой части (m, рис. 11.2 б),

jω jω

а) б)

где

(рис. 11.3 а)

и

- отклонение текущего значения регулируемой величины от ее

нового установившегося значения для статических систем

(рис. 11.3 б)

y y

y(t)

y(t),y(t) y(t)

Рис.11.3.

где - отклонение текущего значения регулируемой величины от ее нового установившегося значения в конце процесса регулирования (рис. 11.4 а,б) – динамическая ошибка. (Для астатических АСР ).

y y

y y

y(t)

y(t)

Квадратичный интегральный критерий не зависит от знаков отклонения регулируемой величины и тем самым однозначно определяет как величины отклонений, так и длительность процесса регулирования.

Для обеспечения надлежащего качества переходных процессов, т.е. качества АСР, необходимо стремиться к минимизации интегральных оценок.

Их вычисление можно осуществить различными математическими приемами. Так, линейная интегральная оценка легко определяется с помощью преобразований Лапласа, квадратичная - с помощью формулы Релея - Парсеваля на основе частотных спектров входной и выходной функций.

При использовании ЭВМ удобно применить один из численных методов интегрирования функций.
11.4. Типовые процессы регулирования

11.4.1. Апериодический процесс с минимальным временем регулирования

y y
y₁(t)=y₁ y₁(t)=y₁(=y_уст=y(∞))

t_p t_p

а) астатическая АСР б) статическая АСР

Рис.11.5.

За время регулирования отклонение регулируемой величины достигает установившегося значения, а затем превышает его на 20% (рис. 11.6 а)

0.2y₁

y₁(t)=y_уст=y(∞) y₁(t)=у₁
t t

^{0 0} 0.2y₁

t_{p МИН} t_рМИН

Рис.11.6.

За время регулирования отклонение регулируемой величины достигает прежнего (нулевого) значения, а затем достигает отрицательного максимума и опять возвращается к исходному значению. Вторая амплитуда отклонения составляет 20% динамической ошибки (рис. 11.6 б).

y

y₁

y₃ y₅

t_р

Рис.11.7.

11.5.1. Запас устойчивости по модулю и фазе

jV(ω)
c

-1

⁰ ω=∞ u(ω)

W_pc(jω) ω

0

Рис.11.8.

модуль которого равен единице.

11.5.2. Частотный показатель колебательности
Степень удаления АФХ разомкнутой системы от критической точки (-1; ) может быть оценена также величиной максимума АЧХ замкнутой системы.

Допустим, что АФХ разомкнутой системы имеет вид, показанный на рисунке 11.9.

jV(ω)

-1

B ω_{i 0} ω=∞ u(ω)

W_pc(jω) 0

В соответствии с рисунком 11.9 для -ой частоты можно записать:

Если в АСР имеется интегрирующее звено, то модуль АФХРС уходит в бесконечность при , например, рисунок 11.9. В этом случае отношение длин отрезков ОА_i и ВА_i при равно единице. Если система статическая, то это отношение при близко к единице

При повышении частоты точка перемещается вверх по характеристике. При этом, если АФХРС располагается достаточно далеко от точки (-1; ), то длина отрезка ВА_i будет все время больше длины отрезка ОА_i и при стремится к единице. Одновременно длина отрезка ОА_i, уменьшаясь, стремится к нулю. Поэтому при изменении частоты АЧХЗС монотонно убывает от единицы до нуля

(рис. 11 10, кривая 1).

Если АФХРС расположена близко к точке (-1; ), то длина отрезка ВА_i при некоторых значениях частот меньше длины отрезка ОА_i. Поэтому в некотором диапазоне частот . АЧХЗС возрастает от единицы до некоторого максимума, затем (вследствие того, что ОА_i при , а ВА_i ) стремится к нулю (рис. 11.10, кривая 2 ).

Чем ближе АФХРС к точке (-1; ), тем больше максимум АЧХЗС, и, если АФХРС проходит через точку (-1; ), то , т.е. в точке, соответствующей АЧХЗС терпит разрыв (рис. 11.10, кривая 3).

A₃

3

2

1 1

ω_рез

Величину максимума АЧХЗС называют частотным показателем колебательности (М). Между показателем колебательности М, запасом устойчивости по модулю С и запасом устойчивости по фазе  имеются однозначные зависимости:

12. 
    РАСЧЕТ НАСТРОЕК ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОДНОКОНТУРНЫХ АСР
    

12.1 Определение оптимальных настроек линейных одноконтурных АСР

по АФХ объекта регулирования.

12.1.1. Условие оптимальности

Идеальной системой регулирования называют систему, которая обладает абсолютными фильтрующими свойствами, т.е. систему, АЧХ которой по каналу возмущающего воздействия равна нулю во всем диапазоне частот . С точки зрения наилучшего реагирования на управляющее воздействие АЧХ системы по каналу этого воздействия должна быть равна единице.

В соответствии с этим можно записать:

В реальных АСР эти условия выполнены быть не могут. Задача выбора параметров настройки и заключается в том, чтобы в наибольшей степени приблизить АЧХ системы к приведенным характеристикам. Эта задача является типичной задачей теории приближения функций. Так как в большинстве АСР возмущающие воздействия имеют наибольшую интенсивность в области низких частот, а реальные элементы, из которых состоят системы регулирования, обладают некоторой инерционностью, то в целом АСР являются низкочастотными фильтрами.

Поэтому в качестве приближения целесообразно выбрать такой метод, который гарантировал бы наилучшее приближение в окрестности точки с нулевой частотой. Поставленному требованию достаточно хорошо удовлетворяет метод приближения путем разложения функции в ряд Тейлора.

Отклонение частотной характеристики от нуля тем меньше, чем больше членов ряда обращаются в нули.

Отсюда, условия оптимальности запишутся в виде:

Исходя из этих условий, для различных законов регулирования получены условия оптимальности, приведенные в таблице 12.1.

Таблица12.1.

Закон

РегулированияПараметры

П

И

ПИД

1. 
   Условие обеспечения заданного значения показателя колебательности
   

В качестве меры устойчивости системы используют максимум амплитудно - частотной характеристики системы по каналу управляющего воздействия, т.е. показатель колебательности (М). Чем больше максимум АЧХЗС, тем ближе АФХРС к критической точке (-1; ) комплексной плоскости и, следовательно, тем меньше запас устойчивости имеет система.

Чтобы система имела некоторый заданный запас устойчивости, т.е. чтобы максимум АЧХЗС не превышал некоторого значения М_зад, необходимо, чтобы АФХРС не заходила во внутрь области, ограниченной окружностью радиуса

с центром на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии

от начала координат (рис. 12.1 а)

jV(ω) jV(ω)

r_зад r_зад

M_зад Mзад M_зад M=M_зад
⁰ u(ω) ⁰ u(ω)

R₀ R₀

а) б)

Проведем прямую ОА, касающуюся окружности заданного индекса М_зад

(рис. 12.2).

Из рисунка 12.2 имеет:

Подставляя сюда значения и , получим:

jV(ω)

M_зад r_з

A

Рис.12.2.

Введя АФХРС при единичном коэффициенте передачи регулятора, несложными геометрическими построениями можно показать, что:

где - радиус окружности, касающейся одновременно АФХРС и прямой, проведенной под углом

к отрицательной вещественной полуоси из начала координат комплексной плоскости.

Отсюда вытекает следующий порядок расчета оптимальных настроек регуляторов.

12.1.2.2. АСР с П - регулятором

1. 
   Вычерчивают АФХРС при К_р=1 (единичном коэффициенте передачи), т.е. (рис.12.3)
   

jV(ω)

A

W_pc(jω)

2. 
   Из начала координат проводят прямую под углом
   

к отрицательной вещественной полуоси.

2. 
   Чертят окружность с центром на вещественной отрицательной полуоси, касающуюся одновременно АФХ объекта регулирования и этой прямой.
   
3. 
   По замеренному значению радиуса окружности находят значение оптимального коэффициента передачи
   

12.1.2.3. АСР с И - регулятором

1. Для удобства графических построений АФХ И - регулятора представляют в виде:

где

2. По АФХ объекта (статического) строят АФХРС при =1 и некотором значении постоянной , величину которой можно выбирать любой, удобной для построения характеристики.

jV(ω)

А_об(ω_i) ₀ φ_об(ω_i) u(ω)

T_pω_i 90⁰

A_об(ω_i)

ω_i

ω_i
Рис.12.4.

1. 
   Проводят прямую под углом
   

к отрицательной вещественной полуоси и чертят окружность с центром на этой полуоси, касающуюся одновременно этой прямой и характеристики . Величина , обеспечивающая необходимую величину М_зад, определяется как:

Следовательно,

12.1.2.4. АСР с ПИ - регулятором

При К_р=1

Отсюда

Это означает, что включение ПИ - регулятора приводит к добавлению к векторам этих же векторов, повернутых на 90º по часовой стрелке и измененных по модулю в раз (рис. 12.5.a.).

jV(ω) jV(ω)

k_p=1

90⁰ A_об(ω_i)

A_pc(ω_i) T_и=а

A(ω_i) T_и=с T_и=b

α

ω_i

Рис.12.5.

Из рисунка 12.5 а имеем:

откуда

1. 
   Тем или иным способом строят семейство АФХРС при К_р=1 и некотором
   

задаются).

1. 
   Проводят прямую из начала координат под углом к отрицательной вещественной полуоси и строят окружности, касающиеся одновременно этой прямой и характеристик для различных значений Т_и (рис.12.5 б).
   
2. 
   Вычисляют оптимальные значения коэффициента передачи регулятора по
   

1. 
   По результатам расчета в плоскости параметров К_р-Т_и строят границу заданного
   

k_p

Мзад М=M_зад

к_{р опт}

Рис.12.6.

Передаточная функция разомкнутой системы с ПИД - регулятором имеет вид:

При К_р=1

Подставив , получим:

Следовательно, включение ПИД - регулятора приводит к добавлению к векторам этих же векторов, повернутых на 90º по часовой стрелке и измененных по модулю в раз (рис. 12.7)

φ_об(ω_i)

ω_i 90⁰ A_об(ω_i)

A_pc1(ω_i)

ω_i

α

ω_i

Подставив значение ,находим:

Далее расчет настроек ПИД регулятора аналогичен расчету настроек ПИ - регулятора.

12.1.2.6. Расчет приближенных настроек П и ПИ - регуляторов с помощью АФХОР
Из рассмотренной методики расчета оптимальных настроек АСР вытекает, что основное значение для расчета имеет участок АФХОР, расположенный вблизи ее пересечения с отрицательной вещественной полуосью комплексной плоскости.

Это обстоятельство позволяет осуществить приближенную настройку регулятора, предполагая, что в окрестности частоты, соответствующей точке пересечения характеристики с отрицательной вещественной полуосью, АФХОР мало отличается от характеристики интегрирующего звена с запаздыванием.

На этом основании для случая М=1,62 (что соответствует =0,75 ) получены упрощенные расчетные соотношения для П и ПИ - регуляторов, приведенные в таблице 12.2.

Таблица 12.2

Приближенная настройкаП – регулятораПИ – регулятораК_роптК_роптТ_иоптДля астатических объектов Для астатических и статических объектов

В таблице 12.2 обозначены:

1. 
   Графо - аналитический расчет настроек АСР по запасу устойчивости, по модулю и фазе.
   

jV(ω) jV(ω)

С С

-1 А₂ -1

А₁ 90⁰

Д₂ Д₃ Д₂ Д₃ ω₂ А₁

W_об(jω) A₂ W_об(jω)

а) П – регулятор б) И - регулятор

Рис.12.8.

Для И - регулятора (рис. 12.8 б)

где

(табл. 12.3)

Таблица 12.3
регуляторПараметры настройки П и И - регуляторов, при которых АСР выходит на границу заданного запаса устойчивостипо модулю Спо фазе  по модулю С и фазе  П

И

Из рисунка 12.9 а следует, что модуль АФХРС является гипотенузой . Гипотенуза любого прямоугольного треугольника является диаметром окружности, в которую вписан этот треугольник. Это дает возможность найти интересующие нас параметры настройки К_р и Т_и с помощью следующих построений.

k_pA_об(ω_к)

A_k

A_pc(ω_k)

90⁰

B_k

Д_к

Рис.12.9.

1. 
   Запас устойчивости по модулю С (рис. 12.10).
   

jV(ω)

-1 ₀

Д₄ Д₁ u(ω)

B_k А_k

W_об(jω)

2. Запас устойчивости по фазе (рис. 12.11)

jV(ω)

-1

Д₂ A_k

C_k W_об(jω)

В соответствии с рисунком 12.11

Отсюда

С

-1

A_k

Д₂ Д₃

E_k W_об(jω)

Рис.12.12.
Из рисунка 12.12 имеем

,

Следовательно

Расчетные соотношения сведены в таблицу 12.4.

Параметры настройки ПИ – регулятора, при которых АСР выходит на границу заданного запаса устойчивостипо модулю Спо фазе по модулю С и фазе 

К_р

К_рс

К_р

К_рс

k_pA_об(ω_к)

A_k

A_pc(ω_k)

90⁰

B_k

Д_к

Рис.12.14.

Таблица 12.5

С

-1

Д₁ А_к

В_к

W_об(jω)

-1

A_k

Д₂

С_к W_об(jω)

-1 С

А_к

Д₃

Е_к W_об(jω)

Построив по данным таблицы 12.5 границы заданного запаса устойчивости в плоскости параметров К_р-Т_и (рис. 12.13),находят оптимальные значения настроек ПИД - регулятора.

1. 
   Определение оптимальных настроек АСР с помощью расширенных АФХОР
   

1. 
   Расширенная АФХ
   

При анализе устойчивости с помощью критерия Найквиста на к омплексную переменную передаточной функции накладывалось ограничение .

Введем расширенное ограничение

где - степень колебательной устойчивости. Этим поставлено условие, чтобы корни характеристического уравнения АСР располагались внутри контура АОВ

(рис. 12.15) комплексной плоскости или чтобы комплексная переменная Р передаточной функции изменялась по закону

jV(ω)

ω_k

α_k

Рис.12.15.

называют расширенной частотной функцией. Она может быть получена как отношение вынужденного движения на выходе из системы ко входному затухающему синусоидальному воздействию

При изменении получим расширенную АФХ.

В случаях ограничения с использованием критерия Найквиста находилась область устойчивого регулирования в плоскости параметров регулятора.

При ограничении совокупность настроечных параметров регулятора, соответствующая контуру АОВ (рис.12.15) в комплексной плоскости корней, образует внутри области устойчивости в плоскости параметров К_р-Т_и линию равного затухания (т.е. линию заданной степени колебательной устойчивости).

Таким образом, расчет АСР на заданную степень затухания можно произвести, используя расширенную АФХ.

Расширенную АФХ записывают в виде:

где - расширенные вещественная, мнимая, амплитудная и фазовая частотные характеристики.

12.1.4.2. Расчетные соотношения
По аналогии с условием границы устойчивости можно записать условие границы запаса устойчивости в виде:

,

где - расширенная АФХ разомкнутой АСР.

Это равенство означает наличие затухающих колебаний с определенной степенью затухания .

Расширенная АФХРС может быть представлена в виде произведений соответствующих характеристик регулятора и объекта

Отсюда

или

и

где

- расширенные АЧХ регулятора и объекта;

- расширенные ФЧХ регулятора и объекта;

- обратная расширенная АЧХ объекта;

берется здесь по абсолютному значению.

Решением системы уравнений относительно настроечных параметров

получены расчетные уравнения для определения настроек различных регуляторов.

Например, для ПИ - регуляторов

или

Здесь и - обратные расширенные вещественная и мнимая частотные характеристики объекта регулирования.

Расчетные соотношения можно выразить и через обычные расширенные АФХ.

Подставив

и

)

в уравнение границы заданного запаса устойчивости (через m)

,

получим расчетное уравнение в виде

подстановкой получим

Отсюда

где

1. 
   Из передаточной функции подстановкой получают расширенные частотные характеристики объекта: , , ,
   

1. 
   Подставляя в эти уравнения численные значения параметров объекта и выбранную величину m, получают
   

1. 
   В последние уравнения подставляют численные значения частоты от нуля до значения, при которым С₀ становится отрицательной величиной.
   
2. 
   Строят в координатах С₀-С₁ линию равной степени затухания в виде совмещенного графика зависимостей и .Все значения пар С₀,С₁, соответствующие отдельным точкам линии равной степени затухания (рис. 12.16), обеспечивают заданную степень затухания (заданную величину m)
   

ω₁

ω₂ Ψ_зад=const

ω₀

ω₃ Ψ<Ψ_зад

ω₅

ω<sub>4

0</sub> С₁
Рис.12.16.

1. 
   Выбор оптимальных значений С₀ и С₁.
   

Для более определенного выбора точки на кривой , соответствующей оптимальной настройке регулятора, следует на этом же графике линии построить кривую квадратичной интегральной оценки

Для этого значение интеграла следует представить в виде конечной суммы через амплитудно-частотный спектр переходного процесса

где

При этом значения интегрального критерия достаточно рассчитать для тех нескольких пар параметров, которые расположены на максимуме и справа от максимума кривой . Минимум этого интеграла и определит точку на кривой , соответствующую оптимальной паре настроек С₀ и С₁ (рис. 12.17).

I

C_опт

C₁

Рис.12.17.
12.2. Переходные процессы (процессы регулирования) в замкнутой АСР
12.2.1. Введение
Последним этапом определения оптимальных настроек регуляторов является расчет переходных процессов в замкнутой АСР. По показателям качества переходного процесса и судят о оптимальности найденных настроечных параметров регуляторов.

Для расчета переходных процессов можно применять различные методы: решение дифференциального уравнения замкнутой системы; обратное преобразование Лапласа с использованием теорем разложения Хевисайда; метод z-форм, основанный на дискретном преобразовании Лапласа; метод переменных состояния; метод, основанный на использовании частотных характеристик.

В последнем случае наиболее употребительным является метод Акульшина, основанный на использовании вещественных и мнимых или амплитудных и фазовых частотных характеристик.
12.2.2. Расчет переходного процесса по вещественной и мнимой или амплитудной и фазовой частотным характеристикам
Расчет основан на представлении процесса регулирования как реакции системы на периодическую последовательность прямоугольных импульсов, причем колебания мыслятся такими, что переходный процесс заканчивается в течение полупериода. В этом случае в течение каждого полупериода переходный процесс будет совпадать с реакцией системы на ступенчатое воздействие.

Входное воздействие в виде последовательности прямоугольных импульсов (в виде последовательности скачкообразной функции) и соответствующую ей реакцию системы можно представить суммами нечетных гармоник разложения функций воздействия и реакции в соответствующие ряды Фурье. В связи с этим выражение для определения изменения регулируемой величины при скачкообразном входном воздействии высотою принимает вид:

или

где

m -номер старшей гармоники разложения;

А_зс

А_зс(0)

Частоту можно также принимать равной рабочей частоты, при этом под рабочей частотой понимают частоту, которая соответствует выбранным оптимальным настройкам регулирующего устройства.

Продолжительность переходного процесса можно оценить по резонансной частоте, как

Расчет следует выполнять с таким шагом , чтобы за время регулирования получилось (2030) ординат кривой переходного процесса.

13. Расчет настроек линейных непрерывных двухконтурных АСР
13.1 Введение
Определение оптимальных настроек двухконтурных АСР сложнее по сравнению с одноконтурной. Надежное решение задачи возможно только при использовании моделирующих устройств. При этом область приближенных параметров настройки, в которой следует искать точное значение их, находят предварительным расчетом.

Методика таких расчетов базируется на предположении о возможном расчете какого либо контура независимо от другого. Могут быть и случаи, когда расчет двухконтурных систем путем выделения одного контура и расчета его настройки независимо от другого практически определяет параметры, близкие к оптимальным.

Часто встречаются два таких случая:

1. 
   В процессе работы АСР один из регуляторов может быть отключен и в работе участвует только один регулятор.
   

1. 
   Инерционность одного контура значительно меньше инерционности другого. В этом случае переходные процессы в малоинерционных контурах успевают практически стабилизироваться до того, как они возникнут во втором контуре.
   

13.2. Двухконтурная АСР с корректирующим и стабилизирующим регуляторами.

пар
(y(t))

Q
(y₁(t))

у_р(t)
топливо

Рис.13.1.

На рисунке 13.1:

РД – регулятор давления, воспринимающий сигнал по давлению пара _пара за котлом,

РТ – регулятор тепловыделения (регулятор топлива), воспринимающий сигналы от регулятора давления и по тепловыделению в топке котла.

Регулятор давления является корректирующим регулятором, воспринимающим сигнал по давлению пара и восстанавливающим его до прежнего номинального (рабочего) значения при новой нагрузке котла. Эта схема является простейшей разновидностью каскадных систем регулирования.

Для такой АСР можно рекомендовать следующую методику расчета настроечных параметров.
Случай 1.

1. 
   По передаточной функции , которая связывает промежуточную регулируемую величину с регулирующим воздействием (рис. 13.2), находится оптимальная настройка стабилизирующего регулятора в предположении, что корректирующий регулятор отключен.
   

P_k Р_ст

W_рк

y_з(t) y_зк(t) у_рст y(t)

W_рcт

(p_зад) (Q_зад) (p)

- - W_об1

y(t) y₁(t)

(p) (Q)
Рис.13.2.

1. 
   Определяется оптимальная настройка корректирующего регулятора. Для него регулируемым объектом является система, состоящая из объекта и контура стабилизирующего регулятора. Поэтому при расчете настроек корректирующего регулятора нужно исходить из передаточной функции эквивалентного объекта.
   

1. 
   Если инерционность объекта относительно промежуточной регулируемой величины значительно меньше инерционности относительно основной регулируемой величины , то быстродействие регулятора может быть сделано значительно большим быстродействия регулятора . В связи с этим, изменение заданного значения регулятору происходит настолько медленно, что практически этот регулятор успевает поддержать величину почти точно на заданном значении, т.е. в процессе работы = .
   

1. 
   После определения настройки корректирующего регулятора находится оптимальная настройка стабилизирующего регулятора по передаточной функции
   

вытекающей из рисунка 13.3.

y_з(t)

W_об

W_рк

W_об

y(t) y_зк(t)

W_рст

y_рст(t)

y_зк(t)+y₁(t)

Рис.13.3.
13.3. Двухконтурная АСР с дополнительным сигналом из промежуточной точки объекта регулирования
Примером такой АСР является система регулирования температуры пара первичного перегрева (рис. 13.4).

ПП

РТ

КВ (t_пп,⁰C)

y(t)

y₁(t) (t_пп,⁰C)

Рис.13.4.

КВ – коллектор впрыска;

ПП);

РТ – регулятор температуры пара за ПП;

Д – дифференциатор;

КлВ – клапан впрыска.

В качестве впрыскиваемой воды может применяться общестанционный конденсат, питательная вода, собственный конденсат.

Дифференциатор в системе применен не для реализации ПИД – закона регулирования, а для формирования исчезающего в статике дополнительного сигнала.

Схеме на рисунке 13.4 соответствует структурная схема, приведенная на рисунке 13.5.

f(t)

Р_т

W_p(p)

y_з(t) y(t)

t_ппз (t_пп)

- - y_д(t)

Д

W_д(p)

y(t) (t_пп)

(t_пп)
Рис.13.5.
Для такой АСР можно рекомендовать следующую последовательность расчета настроек.
1. Расчет настроек дифференциатора

Заменяя внутренний контур с обратной связью, в которой имеется дифференциатор, контуром с единичной обратной связью, рабочую структурную схему (рис. 13.5) можно представить в виде структурной схемы, приведенной на рисунке 13.6.

Эта схема принципиально не отличается от структурной схемы системы со стабилизирующим и корректирующим регуляторами. Однако, особенностью ее является то, что корректирующий регулятор в обязательном порядке должен быть

ПИ – регулятором, в котором роль коэффициента передачи играет , а роль времени изодрома – постоянная времени дифференциатора Т_д.