Конспект лекций по курсу "кристаллография и минералогия" для студентов специальностей 090401, 090404, 090406

Однако, известны случаи образования кристаллов непосредственно из газо- или парообразного вещества. Например, иней возникает из паров воды, из газообразных выделений вулканов осаждаются кристаллы серы, хлористого натрия и др.

Наконец, возможны и такие случаи, когда кристаллические образования возникают из твёрдых веществ. В качестве примера можно привести выделение кристаллов стекла (помутнение). В технике используют способность металлов к перекристаллизации, получая крупно- или монокристаллические образования.

Итак, при образовании кристаллов вначале возникают мельчайшие кристаллики, а затем они вырастают в более крупные кристаллы.

Установленно, что грани растущих кристаллов передвигаются параллельно самим себе от центра кристаллизации.

Вследствие этого углы между двумя любыми гранями остаются постоянными. При этом разные грани перемещаются с разной скоростью. Скоростью роста данной грани называется расстояние по нормали к ней, на которое она передвигается в единицу времени при росте кристалла (рис.1.6).

Различие в скоростях роста различных граней кристалла обуславливает его внешний облик: некоторые грани в процессе роста кристалла увеличиваются и становятся доминирующими, а другие грани постепенно уменьшаются в размерах и в конце концов могут совсем исчезнуть с поверхности кристалла. Из рис. 1.7 видно, что зарастают и исчезают те грани, которые имеют наибольшую скорость роста (грань ВС). В результате кристалл, как правило, покрывается гранями с малыми скоростями роста (при условии, что двухгранный угол между смежными гранями превышает 90⁰).

Рис. 1.6. Передвижение граней при росте кристалла:

pq - скорость нарастания грани АВ, mn- скорость нарастания грани ВС

Впервые это предположение высказал французский кристаллограф Бравэ. В настоящее время эта гипотеза подтверждается с помощью рентгеноструктурного анализа. Поэтому предположение Бравэ можно отнести к числу статистических законов.

Закон Бравэ формулируется следующим образом: “Чем больше ретикулярная плотность плоской сетки, тем чаще она встречается в качестве реальной грани на кристаллах”.

Рис. 1.7. Зарастание грани ВС, имеющей наибольшую скорость роста

Действие этих факторов приводит к появлению граней с малыми плотностями при одновременном уменьшении граней больших плотностей. Вследствие этого кристаллы одного и того же вещества могут иметь различное число граней, а так же отличаться величиной и формой одинаково расположенных граней. Но внутреннее строение всех этих кристаллов остаётся неизменным. Поэтому рёбра разных кристаллов данного вещества должны отвечать одинаковым плоским сеткам и рядам его кристаллической решётки. Углы между соответственными гранями и рёбрами у всех кристаллов сохраняются постоянными (закон постоянства углов кристаллов). Поэтому можно установить состав исследуемого кристалла, измеряя углы между его гранями и рёбрами.

Рис. 1.8. Кристаллы горного хрусталя

На рис. 1.8 изображено несколько кристаллов горного хрусталя, иллюстрирующих закон постоянства углов.

Всякая симметричная фигура состоит из закономерно повторяющихся равных частей (рис. 2.1).

Вспомогательные геометрические образы, с помощью которых обнаруживается закономерная повторяемость равных частей фигуры, называются элементами симметрии.

Каждому элементу отвечает своё симметрическое преобразование, посредством которого фигура совмещается сама с собой.

В кристаллических многогранниках возможны элементы симметрии: плоскости симметрии, центр инверсии, оси симметрии и инверсионные оси.
2.2. Плоскости симметрии
Плоскостью симметрии называется плоскость, которая делит фигуру на две равные части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение.

Плоскость симметрии обозначается буквой Р.

Симметрическое преобразование, отвечающее плоскости симметрии, есть отражение в плоскости.

Рис. 2.2. Фигура несимметричная

Следует помнить, что плоскости симметрии или перпендикулярны к рёбрам и граням многогранника и проходят через их середины, или проходят вдоль рёбер.

Чтобы произвести отражение какой-либо точки фигуры в центре инверсии (рис. 2.6), нужно соединить эту точку и точку С прямой линией.

Как видно из рис. 2.6 плоскости треугольников параллельны, но стороны имеют противоположные

направления.

Центр инверсии называют центром обратного равенства, потому что каждая грань при наличие центра инверсии должна иметь равную себе и обратно параллельную грань (рис. 2.7).

Наименьший угол поворота, приводящий фигуру к самосовмещению, называется элементарным углом поворота оси. Элементарный угол поворота оси  содержится целое число раз в 360^:

360/ = n

где n – целое число.

Число n, показывающее сколько раз элементарный угол поворота оси содержится в 360⁰, называется порядком оси.

В геометрических фигурах могут присутствовать оси любых порядков, начиная от оси первого порядка и кончая осью бесконечного порядка.

Элементарный угол поворота оси первого порядка (n = 1) равен 360⁰. Так как каждая фигура, будучи повернута вокруг любого направления на 360⁰, совмещается сама с собой, то всякая фигура обладает бесконечным количеством осей первого порядка. Такие оси не являются характерными, поэтому они обычно не упоминаются.

Ось бесконечного порядка отвечает бесконечно малому элементарному углу поворота. Эта ось присутствует во всех фигурах вращения в качестве оси вращения.

Примерами осей третьего, четвертого, пятого, шестого и т. д. порядков являются перпендикуляры к плоскости рисунка, проходящие через центры правильных многоугольников, треугольников, квадратов, пятиугольников и т.п.

Таким образом, в геометрии существует бесконечный ряд осей различных порядков.

В кристаллических же многогранниках возможны не любые оси симметрии, а только оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка.

Оси симметрии пятого и выше шестого порядка в кристаллах невозможны. Это положение является одним из основных законов кристаллографии и называется законом симметрии кристаллов.

Как и др. геометрические законы кристаллографии, закон симметрии кристаллов объясняется решетчатым строением кристаллического вещества. Действительно, раз симметрия кристалла есть проявление симметрии его внутреннего строения, то в кристаллах возможны только такие элементы симметрии, которые не противоречат свойствам пространственной решетки.

Докажем, что ось пятого порядка не удовлетворяет законам пространственной решетки и тем самым докажем ее невозможность в кристаллических многогранниках.

Предположим, что ось пятого порядка в пространственной решетке возможна. Пусть эта ось будет перпендикулярна плоскости чертежа, пересекая ее в точке О (рис.2.9). В частном случае точка О может совпадать с одним из узлов решетки.




Рис. 2.9. Ось симметрии пятого порядка невозможна в пространственных решетках

Возьмем ближайший от оси узел решетки А₁, лежащий в плоскости чертежа. Так как вокруг оси пятого порядка все повторяется пять раз, то ближайших к ней узлов в плоскости чертежа должно быть всего пять А₁,А₂,А₃,А₄,А₅. Располагаясь на одинаковых расстояниях от точки О в вершинах правильного пятиугольника, они совмещаются друг с другом при повороте вокруг О на 360/5=72°.

Следовательно, на расстоянии А₃А_x = А₁А₂ от узла А₃ должен находиться еще один узел А_x. Однако дополнительный узел А_x оказывается лежащим ближе к точке О, чем узел А₁, взятый по условию ближайшим к оси пятого порядка.

Таким образом, сделанное нами допущение о возможности оси пятого порядка в пространственных решетках привело нас к явному абсурду и поэтому является ошибочным.

Поскольку существование оси пятого порядка несовместимо с основными свойствами пространственной решетки, то такая ось невозможна и в кристаллах.

Аналогичным образом доказывается невозможность существования в кристаллах осей симметрии выше шестого порядка и, наоборот, возможность в кристаллах осей второго, третьего, четвертого и шестого порядка, присутствие которых не противоречит свойствам пространственных решеток.

Для обозначения осей симметрии употребляется буква L, а порядок оси указывается маленькой цифрой, располагаемой справа от буквы (например, L₄ - ось четвертого порядка).

В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить через центры противоположных граней перпендикулярно к ним, через середины противоположных ребер перпендикулярно к ним (только L₂) и через вершины многогранника. В последнем случае симметричные грани и ребра одинаково наклонены к данной оси.

Кристалл может иметь несколько осей симметрии одного порядка, количества которых указывается коэффициентом перед буквой. Например, в прямоугольном параллелепипеде присутствует 3L₂, т. е. три оси симметрии второго порядка; в кубе имеются 3L₄, 4L₃ и 6L₂, т. е. три оси симметрии четвертого порядка, четыре оси третьего порядка и шесть осей второго порядка и т. д.

Инверсионной осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с последующим отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.

Симметричное преобразование, отвечающее инверсионной оси, состоит из поворота вокруг прямой линии и последующей инверсии в точке, лежащей на этой линии.

Рассмотрим пример инверсионной оси в правильной треугольной призме на рис. 2.10. В этой фигуре прямая gg является осью симметрии третьего порядка L₃ и одновременно инверсионной осью шестого порядка. Действительно после поворота вокруг этой оси на 60° всех частей многогранника и последующего их отражения в центральной точке фигура самосовмещается.

Например, ребро АВ в результате поворота вокруг gg на 60° займет положение А₁В₁, а после отражения в центральной точке фигуры совместится с ребром А₁В₁. При полном повороте на 360° будет всего шесть таких совмещений. Следовательно, прямая gg представляет собой инверсионную ось шестого порядка L_i6.

В кристаллических многогранниках возможны инверсионные оси первого, второго, третьего, четвертого и шестого порядка, т.е. L_i1, L_i2, L_i3, L_i4, L_i6.

Рис. 2.10. Многогранник с инверсионной осью шестого порядка

Инверсионная ось второго порядка по своему действию равнозначна перпендикулярной к ней плоскости симметрии, т. е. L_i2=Р.

Инверсионная ось третьего порядка L_i3 равносильна одновременно действующим оси симметрии третьего порядка L₃, совпадающей с L_i3 и центру инверсии С, т. е. , L_i3=L₃С. Так, например, в кубе, где присутствует совместно С и L₃, каждая из четырех осей симметрии третьего порядка является в то же время тройной инверсионной осью. Наличие L_i3, всегда совпадающей с простой осью симметрии третьего порядка, обычно не указывается.

Инверсионная ось четвертого порядка L_i4 является самостоятельным элементом симметрии и не может быть ничем заменена. В многогранниках, обладающих L_i4, центр инверсии отсутствует. Четвертая инверсионная ось всегда является одновременно осью симметрии второго порядка (L_i4=L₂), однако не любая двойная ось при отсутствии С отвечает L_i4.

Инверсионная ось шестого порядка L_i6 может быть заменена осью симметрии третьего порядка, совпадающей с L_i6 и перпендикулярной к ней плоскостью симметрии:

L_i6=L₃P(P  L₃)

Кристаллические многогранники, обладающие L_i6, самостоятельного центра инверсии не имеют.

Хотя L_i6 можно заменить другими элементами симметрии, ею приходится пользоваться при классификации кристаллов, поэтому она упоминается наряду с L_i4.

Равнодействующим называют элемент симметрии, действие которого приводит фигуру в то же положение, что и последовательное действие двух других элементов симметрии. Например, в правильной четырёхугольной призме (рис. 2.11) плоскость симметрии Р₂ является равнодействующей другой плоскости симметрии Р₁ и оси симметрии L₄.

С другой стороны, L₄ - является равнодействующей плоскостей симметрии Р₁ и Р₂.

Так как два элемента симметрии всегда дают третий, им равнодействующий, то в кристаллических многогранниках возможны либо только один элемент, либо больше двух.

Познакомимся с основными теоремами сложения элементов симметрии.

m=180/(/ 2)=360 /=n,

где n - порядок данной оси симметрии.

Теорема 3. При наличие оси симметрии чётного порядка (L_2n) и центра инверсии (С), перпендикулярно к оси через центр инверсии проходит плоскость симметрии (Р), равнодействующая данной оси и центра инверсии.

Теорема 4. При наличии плоскости симметрии и центра инверсии на ней фигура всегда обладает осью симметрии чётного порядка, проходящей через центр инверсии перпендикулярно к плоскости симметрии.

Теорема 5. При наличии оси симметрии чётного порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии всегда присутствует центр инверсии, равнодействующей оси и плоскости симметрии.

Все три последние теоремы являются взаимообратными.

Например, в кубе имеется С, 3L₄, 4L₃ и 6L₂. Так как сумма чётных осей симметрии равна 9, то всего куб должен иметь 9Р.

Математически доказано, что для конечных кристаллических многогранников возможны всего 32 вида симметрии.

Все они подразделяются на три группы, или категории: низшую, среднюю и высшую.

Для видов симметрии низшей категории характерным является отсутствие осей выше второго порядка. В неё входят 8 видов симметрии.

Виды симметрии средней категории характеризуются присутствием только одной оси выше второго порядка. Её называют главной осью симметрии. Средняя категория объединяет 19 видов симметрии.

К высшей категории принадлежат остальные пять видов симметрии, каждый из которых имеет несколько осей симметрии выше второго порядка.

Виды симметрии, принадлежащие каждой категории делят на так называемые сингонии.

Сингонией называется совокупность видов симметрии одной категории, обладающих одинаковым числом осей одного и того же порядка.

2.7.1 Сингонии низшей категории.

В триклинную сингонию входят два вида симметрии, для которых характерно отсутствие осей выше первого порядка.

В моноклинную сингонию входят виды симметрии, имеющие не более одной оси второго порядка.

В ромбическую сингонию входят три вида симметрии, каждый из которых характеризуется присутствием трёх осей второго порядка.

2.7.2 Сингонии средней категории.

В тригональную сингонию входят пять видов симметрии главной осью которых является ось симметрии третьего порядка.

В тетрагональную сингонию входят семь видов симметрии, главной осью которых является ось симметрии четвёртого порядка.

В гексагональную сингонию входят семь видов симметрии, главной осью которых является ось симметрии шестого порядка.

2.7.3 Сингонии высшей категории.

В кубическую сингонию входят пять видов симметрии, которые характеризуются обязательным присутствием четырёх осей симметрии третьего порядка.

Проведенную классификацию видов симметрии для большей наглядности можно представить в виде следующей таблицы, весьма удобной для практического пользования.

Принадлежность кристаллического многогранника к тому или иному виду симметрии устанавливается путем нахождения всех его элементов симметрии. При определении полной совокупности элементов симметрии многогранника полезно учитывать следующие положения:

а) L₆ и L_i6 могут присутствовать в кристаллах в единственном числе;

б) L₄ и L_i4 могут встретиться или в единственном числе или в количестве трёх;

в) L₃ могут встретиться или в единственном числе или в количестве четырёх;

г) L₂ могут встретиться или в единственном числе или в количестве 2-х, 3-х, 4-х, или 6;

Таблица 1 – Классификация видов симметрии кристаллов

д) Р могут встретиться или в единственном числе или в количестве 2-х, 3-х, 4-х, 5, 6, 7, 9.

На практике приходится предварительно определять сингонию многогранника без нахождения всех его элементов симметрии. В таком случае необходимо пользоваться приведенными выше характеристиками сингоний.
3. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Одной из характерных особенностей кристалла является постоянство углов между его гранями, а количество и размеры их могут меняться. Поэтому для изображения кристаллов применяют такие методы проектирования, которые дают точное представление о величине и расположении гранных углов. В этом отношении удобны стереографические проекции.

Примем некоторую точку О за центр проекции (рис.3.1). Произвольным радиусом опишем вокруг него шаровую поверхность, называемую шаром проекций. Через ту же точку проведём горизонтальную плоскость Q, которая принимается за плоскость проекций.

Рис. 3.1. Построение стереографической проекции направления ОА

Рассмотрим получение стереографической проекции некоторого направления. Для этого перенесем его параллельно самому себе так, чтобы оно прошло через центр проекции.

Пусть после такого переноса направление заняло направление ОА. Точку пересечения направления ОА с шаровой поверхностью обозначим а₁. Соединим эту точку с нижней точкой зрения S лучом зрения Sa₁. Точка а, т. е. точка пересечения луча зрения с плоскостью проекции Q, является стереографической проекцией направления ОА.

Стереографические проекции направлений изображаются точками, лежащими в пределах круга проекций.

Линия пересечения проектирующего конуса с плоскостью проекций представляет собой дугу окружности. Эта дуга является стереографической проекцией плоскости R.

Проектируя оси симметрии, необходимо продолжить их до пересечения со сферой, описанной произвольным радиусом вокруг кристалла из его центральной точки.

L₂

L₃

L₄

L_i4

L₆

L_i6

Рис.3.3. Обозначение осей симметрии на проекции

Горизонтальные оси, совпадающие с плоскостью проекций, дают два выхода на круге проекций. Косо расположенные оси проектируются внутри круга проекций.

На стереографических проекциях оси симметрии обозначают значками, как показано на рис. 3.3. При проектировании плоскостей симметрии их продолжают до пересечения со сферой, на верхней половине которой получают дуги больших кругов.

Проекция вертикальной оси совпадает с центром круга проекций.

Если плоскость симметрии занимает вертикальное положение, то её стереографическая проекция изображается прямой линией, отвечающей одному из диаметров круга проекций (рис. 3.4).

Горизонтальная плоскость симметрии, совпадающая с плоскостью проекций, представляется кругом проекций, а проекция косо расположенная в плоскости симметрии отвечает круговой дуге (рис. 3.4).

Проекции плоскостей симметрии на чертежах принято изображать двойными линиями.

Перейдем далее к проектированию граней кристаллов.

Пусть нам задан некоторый кристаллический многогранник в виде прямой призмы. На рис. 3.5 основания этой призмы расположены перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций Q, проходящей через центральную точку призмы О, из которой описана вокруг многогранника сферическая поверхность.

Чтобы спроектировать грань А, опускаем на неё перпендикуляр из центра проекций и продолжаем его до пересечения с поверхностью сферы. Точку а₁ этого пересечения соединяем лучом с нижним полюсом шара проекций. В результате пересечения луча зрения с плоскостью проекций получим точку а, которая является гномостереографической проекцией грани А.

Таким образом, проекцию грани кристалла получают как стереографическую проекцию нормали к ней и изображают точкой.

Описанным выше способом проектируем и остальные грани призмы. При этом перпендикуляры к вертикальным граням В и Е оказываются лежащими в плоскости проекций Q и поэтому они проектируются на сам круг проекций (точки b и e). Нормали к горизонтальным граням C и F совпадают с осью проекций NS, вследствие чего они проектируются в центре круга проекций (точки f и c).

Нормаль к нижней наклонной грани D пересекает шар проекций в нижней полусфере. При использовании нижней точки зрения проекция этой нормали выходит за пределы круга проекций. Неудобство такого построения вынуждает в подобных случаях переносить точку зрения в верхний полюс шара проекций N. Благодаря этому проекция нормали к грани D тоже попадает внутрь круга проекций (точка ).

Чтобы отличить на чертеже проекции нормалей к верхним и нижним граням, первые обозначают чистыми кружками, а вторые - крестиками.

Таким образом, из вышеприведённых построений следует, что горизонтальные грани проектируются всегда в центре круга проекций, вертикальные грани, на самом круге проекций, а косые грани внутри круга проекций.

Если кристалл имеет центр инверсии, то около центра круга проекций ставится буква С.

Закон рациональности двойных отношений является важнейшим законом кристаллографии, из которого вытекает всё учение о кристаллографических символах, применяемых для определения относительного расположения граней и рёбер кристаллов. Закон этот был впервые сформулирован французским кристаллографом Аюи (1723-1826) и поэтому его часто называют “законом Аюи”. Сущность закона Аюи состоит в следующем.

Выберем в кристалле три непараллельных ребра, пересекающихся в одной точке (рис. 4.1). Пусть две непараллельные грани пересекают все три ребра первая грань в точках А₁,В₁,С₁, а вторая в точках А₂,В₂,С₂.

Таким образом грань А₁В₁С₁ отсекает на ребрах О₁,О₂,О₃ отрезки ОА₁, ОВ₁ и ОС₁, а грань А₂В₂С₂ - отрезки ОА₂, ОВ₂ и ОС₂.

Разделим отрезки отсекаемые на рёбрах одной гранью, на соответственные отрезки другой грани, а затем возьмём отношение трёх полученных дробей. В результате получим двойные отношения отрезков, которые можно заменить отношениями:

ОА₂/ ОА₁: ОB₂/ ОB₁: ОC₂/ ОC₁=m:n:p

где m,n,p- целые взаимно простые числа.

Это математическое выражение закона рациональности: “Двойные отношения отрезков, отсекаемых двумя любыми гранями кристалла на трёх пересекающихся рёбрах его, равны отношениям целых и сравнительно небольших взаимно простых чисел”.

Закон Аюи объясняется решётчатым строением кристаллов. Грани на рис. 4.1 соответствуют плоским сеткам, а рёбра рядам решётки.

Если а₀ – промежуток ряда О1, b₀-промежуток ряда О2, с₀-промежуток ряда О3 (рис. 4.2), то отрезки сетки A₁B₁C₁ равны:

ОА₁=rа₀, ОB₁=sb₀, ОC₁=t c₀,

где r,s,t- целые числа.

Отрезки сетки A₂B₂C₂ равны:

ОА₂=uа₀, ОB₂=vb₀, ОC₂=wc₀,

где u,v,w- целые числа.

Если плоские сетки проходят через узлы, которые располагаются вне рядов, то в этом случае отрезки, отсекаемые плоскими сетками, состоят из дробного, но обязательно рационального числа промежутков.

Рис. 4.1. Грани А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ отсекают на ребрах О1, О2, О3 отрезки, отношения которых равны отношениям простых чисел



Рис. 4.2. Ребра О1, О2, О3 - ряды решетки. Грани А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ - плоские сетки.


Рис. 4.3. Для действительных граней кристалла двойные отношения отрезков равны отношениям небольших целых чисел
В

формулировке закона Аюи указывается, что двойные отношения отрезков равны отношениям сравнительно небольших целых чисел. Этот момент объясняется законом Бравэ.

Предположим, что два непараллельных ребра пересекаются различными гранями. Пусть все они отсекают на ребре отрезок, равный одному промежутку ряда. Прямые А₁В₁, А₁В₂ и т. д. отвечают следам всех этих граней на плоскости (рис. 4.3).

Пользуясь законом Аюи, можно теоретически вывести все возможные грани кристалла.
4.2. Символы граней
Положение граней кристаллов определяется относительно некоторой системы координат, выбираемой так, чтобы координатные оси были параллельны рядам пространственной решётки.

Направления в кристалле, параллельные рядам его пространственной решётки принятые за оси координат, называют кристаллографическими осями.

Отрезки, отсекаемые гранью кристалла на кристаллографических осях, называют параметрами этой грани.

В общем случае каждая грань имеет свой масштаб.

На рис. 4.4 грань А₀В₀С₀ принята в качестве единичной грани. Найдём число единичных отрезков

ОА_x/ ОА₀=р; ОB_x/ ОB₀=q; ОC_x/ ОC₀=r, где

числа p,q,r – числовые параметры грани.

Если взять обратное отношение имеем:

где h,k,l-целые взаимно простые числа.

Эти числа называются индексами грани и служат характеристикой её положения в кристаллографической системе координат.

Индексами грани кристалла называются целые взаимно простые числа, обратно пропорциональные числовым параметрам этой грани.

Совокупность индексов данной грани, взятых в круглые скобки образует символ грани.

Как всякие координатные оси кристаллографические оси имеют положительные и отрицательные концы. В общем случае положительный конец направляется в сторону наблюдателя, вторая ось располагается горизонтально и её положительный конец направляют слева направо, а третью ось ориентируют вертикально вверх.

Частные случаи символов граней (рис. 4.4):

1. Символ (111) всегда отвечает единичной грани.

Рис. 4.4. Частные случаи символов граней

2. В символе грани, параллельной какой-либо кристаллографической оси, индекс, соответствующий этой оси равен нулю.

3. Грань, пересекающая одну кристаллографическую ось и параллельная двум другим, имеет символ, один индекс которого равен единице, а два других - нулю.
4.3. Установка кристаллов
Выбор кристаллографических осей и единичной грани называется установкой кристалла.

От установки кристалла целиком зависят символы всех его граней. Поэтому выбор координатных осей и единичной грани должен быть подчинён определённым правилам с тем, чтобы установка кристалла была однозначной для каждого вещества.

Каждая сингония характеризуется своей формой элементарной ячейки.

Элементарные ячейки разных веществ, кристаллизующихся в одной сингонии, отличаются линейными размерами своих рёбер. Кристаллографические оси должны обязательно совпадать с направлениями рёбер элементарной ячейки, а единичная грань должна отсекать отрезки, пропорциональные длинам соответственных рёбер ячейки.

Таким образом, если установка кристалла сделана правильно, то углы между кристаллографическими осями будут равны углам между рёбрами.

Три параметра (р, q и r) данной плоской сетки, измеренные промежутками координатных рядов, вполне определяют положение сетки в кристалле.

Отношение индексов плоских сеток одной и той же серии постоянно и, как отношение рациональных чисел, всегда может быть представлено в виде отношения взаимно простых целых чисел. Эти числа называются индексами серии. Совокупность индексов серии, взятых без каких-либо знаков между ними в круглые скобки, называется символом серии или сериальным символом.

Так как индексы плоской сетки обратны её параметрам, то чем больше численные значения индексов символа сетки данной серии, тем ближе к началу координат расположена эта сетка. Плоская сетка, символ которой тождественен с сериальным символом, является среди всех плоских сеток данной серии или ближайшей к началу координат, или второй от него.
5. СИМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЁТОК

В кристаллах возможны только такие элементы симметрии, которые не противоречат свойствам пространственной решётки. Однако симметрия кристалла не тождественна симметрии его решётки, т.к. кристаллический многогранник конечная фигура, а пространственная решётка геометрический образ бесконечного протяжения.

Наименьшее растояние при перемещении на которое вдоль оси трансляции фигура самосовмещается, называется периодом трансляции.

Элементарными трансляциями в пространственной решётке являются промежутки рядов решётки.

Благодаря трансляции в пространственной решётке появляются новые элементы симметрии плоскость скользящего отражения и винтовые оси.

Плоскостью скользящего отражения называется плоскость, при отражении в которой и последующей трансляции вдоль неё на определённое расстояние фигура совмещается сама с собой.

Винтовой осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокруг которой и последующей трансляции вдоль неё фигура совмещается со своим исходным положением в пространстве. Винтовые оси бывают 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка.

Отметим следующие особенности симметрии пространственных решёток.

1. Ряд решётки, параллельный оси симметрии, является осью симметрии.

2. Плоская сетка решётки, параллельная плоскости симметрии есть плоскость симметрии той же решётки.

3. Пространственная решётка всегда имеет бесконечно большое число центров инверсии, совпадающих с центрами элементарных ячеек.

4. В пространственных решётках всегда есть трансляции, параллельные и перпендикулярные осям и плоскостям симметрии.

5. Если в решётке есть ось симметрии n-го порядка, то в той же решётке имеются и n осей второго порядка, перпендикулярных к оси L_n.

Различают четыре типа трансляционных решёток.

1. Решётки, элементарная ячейка которых является примитивным параллелепипедом и имеет узлы только в своих вершинах, называются примитивными.

2. Решётки, элементарная ячейка которых кроме узлов в вершинах имеет ещё один узел в центре объёма, называются объёмно-центрированными.

3. Решётки, элементарная ячейка которых имеет узлы в вершинах и центрах всех граней, называются гранецентрированными.


Рис. 5.1. Двумя трансляциями можно вывести все узлы плоской сетки
4. Решётки, элементарная ячейка которых имеет узлы не только в вершинах, но и в центрах двух параллельных граней называются базоцентрированными.

Распределение трансляционных решеток по сингониям показано в таблице 2 на рис. 5.1. Всего во всех семи сингониях получаем 14 различных трансляционных решеток. Впервые все виды трансляционных решеток были выведены Бравэ, поэтому их часто называют также решетками Бравэ.

Е. С. Федоров, разрабатывая свою теорию кристаллического строения, пришел к выводу, что любая из решеток Бравэ может быть получена с помощью однородных деформаций (растяжения, сжатия или сдвига) из четырех идеальных решеток, из которых три являются решетками кубической сингонии. В зависимости от того, из какой исходной предельной решетки путем минимальных деформаций получена решетка Бравэ, она относится к кубическому или к гексагональному типу. Таким образом, по Федорову весь мир кристаллов подразделяется на два типа - кубический и гексагональный. В этом заключается сущность одного из основных законов кристаллографии - закона кристаллографических пределов Федорова. В соответствии с этим законом кристаллы кубической и гексагональной сингонии являются ”идеальными” или “предельными”, а кристаллы остальных сингоний есть производные от идеальных.

Поскольку на кристаллических кристаллах преобладают грани, отвечающие плоским сеткам с наибольшей ретикулярной плотностью, четырем основным типам решеток должны быть свойственны различные преобладающие грани. Так, например, самые плотные плоские сетки в простой решетке имеют символ (100), в объемноцентрированной - (110), а в гранецентрированной - (111). На кристаллах с этими типами решеток указанными символами обладают, как правило, и наиболее часто встречающиеся грани.

Отсюда вытекает возможность по внешним признакам и форме кристалла определять их тип решетки. Зная тип решетки и углы между гранями можно определить состав вещества. Такой метод определения вещества, разработанный Федоровым и известный под названием кристаллохимического анализа, имеет следующие преимущества:

1) Ничтожность количества вещества при диагнозе,

2) Неуничтожаемость вещества при диагнозе, чего нельзя избежать при химическом анализе,

3) Сравнительная быстрота определения.

Кристаллохимический анализ Федорова оказал большое влияние на развитие нового отдела кристаллографии - кристаллохимии.

Как указывалось выше, на элементарную ячейку примитивной решетки всегда приходится только один узел, т. к. каждый узел примитивной решетки принадлежит восьми соседним параллелепипедам повторяемости. На долю объемноцентрированной решетки приходится уже два узла, ибо узел, находящийся в центре решетки (ячейки), целиком принадлежит ей. Элементарной ячейке базоцентрированной решетки принадлежат также два узла (по 1/8 узла от каждой вершины и по 1/2 узла от двух граней ячейки). Наконец, в гранецентрированной решетке каждой ячейке принадлежат 4 узла (один узел - от всех вершин ячейки и три узла - от всех шести её граней).

Объемно-, гране- и базоцентрированные решетки можно рассматривать как совокупность нескольких простых решеток с одинаковыми элементарными ячейками, выдвинутых одна в другую. Число этих простых решеток равно количеству узлов, приходящихся на ячейку непримитивной решетки. Например, гранецентрированную решетку можно представить себе состоящей из четырех одинаковых параллельно расположенных примитивных решеток.

Не примитивную, т. е. сложную, элементарную ячейку характеризуют координатами принадлежащих ей узлов. Совокупность координат узлов, входящих в элементарную ячейку, называют базисом ячейки.

Координаты узла, измеренные промежутками рядов, принятых за кристаллографические оси, называют индексами узла. Совокупность индексов узла, взятая в двойные квадратные скобки, образует символ узла.

Если x, y и z - координаты некоторого узла, то индексами узла будут u=x/a₀, v=y/b₀ и w=z/c₀, где a₀, b₀ и c₀ - промежутки координатных рядов. Символ данного узла, следовательно, [[uvw]].

Таким образом, базис решетки должен состоять из символов тех узлов, которые принадлежат элементарной ячейке. В соответствии с этим, например, в базис объемноцентрированной ячейки должны войти символы двух узлов, а в базис гранецентрированной ячейки - символы четырех узлов.

На рис. 5.2 приведены элементарные ячейки всех четырех типов трансляционных решеток и базисы этих ячеек. Узлы, символы которых входят в базис ячейки, обозначены на чертеже более крупными точками.

Таблица 5.1 – Ячейки трансляционных решёток

Сингония	Трансляционная решётка
	Примитивная	Базецентрированная	Объёмноцентрированная	Гранецентрированная
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая