Статистическая обработка результатов педагогических измерений

Статистическая обработка результатов педагогических измерений

Одной из возможностей минимизировать неточности, следовательно, повысить объективность измерений - это правильная математическая обработка результатов таких измерений [139]. Измерить какую - либо величину - значит сравнить ее с другой однородной величиной, принятой за единицу измерений [132].

Одной из важнейших задач контроля и оценки являются измерения. Измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. В задачу измерений входит еще установление надежности измерений, которая характеризует вероятность того, что истинное значение находится в заданных пределах. Однако определение надежности требует ознакомления с методами математической статистики. Поэтому здесь мы уделим основное внимание нахождению числовой оценки и ее точности и лишь кратко обсудим способы оценки надежности.

Известно, что даже при измерениях одной и той же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга. Классическая теория измерений исходит из основного предположения о том, что получаемый результат измерения содержит в себе ряд ошибок. В зависимости от вызывающих их причин, различают три основных типа ошибок измерения: систематические, случайные и грубые (промахи).

1. 
   Промахи - грубые ошибки, очевидные ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности при произведении замеров. Они возникают, например, при плохом освещении вместо «3» записывают «8», вместо цифры «5» видится «6» и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить (если это возможно). Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений.
   
2. 
   Систематические ошибки. Систематические ошибки являются следствием неисправности прибора, неточности самого метода измерений и т.п. Систематическая ошибка имеет один и тот же знак при каждом повторном измерении данным методом, и не уменьшается при увеличении числа измерений.
   

1. 
   Ошибки, природа которых нам известна, а ее величина может быть точно определена. Такие ошибки компенсируются введением поправок в результат замеров.
   
2. 
   Ошибки известного происхождения, но неизвестной величины.
   
3. 
   Ошибки, о существовании которых мы не знаем, но ее присутствие – очевидно. Например, когда слабый студент удачно списывает у того, кто лучше знает, в результате чего оба получают одинаковую оценку, одна из которых является ошибочной.
   
4. 
   Ошибки, обусловленные свойствами измеряемого объекта. Например, если один и тот же тест давать в той же группе студентов на следующий день, то результаты обычно улучшаются по понятным причинам - обмена информацией. Последующее предъявление этого задания приводит к дальнейшему улучшению среднегрупповых и индивидуальных результатов; стойкое изменение и тех и других от измерения к измерению называется трендом.
   

3. 
   Случайные ошибки. Случайные погрешности - являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых учесть заранее невозможно. Случайные ошибки происходят по разным, трудно контролируемым причинам, предугадать которые заранее невозможно. Например, на ответы при тестировании могут влиять помещение, температура, обстановка, поведение экзаменаторов, уровень мотивации у студентов, прочность их знаний и многое другое. Это приводит к тому, что, даже если процедура измерения будет стандартизована в высшей степени, то почти всегда повторная проверка знаний даст несколько различающиеся между собой результаты. Случайные ошибки отличаются от систематических ошибок, прежде всего, тем, что они имеют различное значение в отдельных измерениях, проводимых даже при одинаковых условиях.
   

Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты, действия которых нельзя выделить и учесть в отдельности (при данном уровне техники и точности измерений). Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия таких факторов. Случайные ошибки являются неустранимыми, их нельзя исключить в каждом из результатов измерений. Но с помощью методов теории вероятностей можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины, что позволяет определить значение измеряемой величины со значительно меньшей ошибкой, чем ошибки отдельных измерений. Вероятностный характер случайных погрешностей позволяет если не исключить их полностью, то заметно ослабить их воздействие на результат измерений.

Одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам. Для решения этой задачи (при данном уровне точности измерений) надо знать основные свойства ошибок измерений и уметь ими воспользоваться. Учет влияния случайных ошибок на точность измерения основан на знании законов их распределения.

Распределение случайных ошибок измерения. В качестве закона распределения случайных ошибок измерения, чаще всего, принимается нормальный закон распределения Гаусса (рис.4). Нормальный закон отражает известное свойство симметрии случайных ошибок:

Рис График нормального распределения случайных величин при различных значениях

• 
  случайные ошибки разных знаков встречаются примерно одинаково часто;
  
• 
  свойство концентрации: малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.
  

Распределение Гаусса принимает нормальный вид, представленный на рис. , при очень большом количестве измерений, в пределе равной бесконечности. В 1908 г. Боссет (псевдоним «Стьюдент») доказал, что статистический подход справедлив и при малом числе измерений, так как эти измерения ложатся на ту же «массовую» кривую. Распределение Стьюдента при числе измерений n →∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе измерений мало отличается от него. Функцию распределения Стьюдента можно табулировать введением соответствующего коэффициента t(n)_α, называемого коэффициентом Стьюдента: задав или вычислив n – количество измерений и α – надежность (приложение ). Если число измерений настолько велико, что практически не может быть сделано, приходится или увеличивать пределы" допускаемой ошибки или уменьшать надежность результатов. Обычно в педагогических исследованиях выбирается как достаточная надежность α=0,95, при которой число измерений, как правило, не слишком велико.

Зная параметр распределения t, легко найти абсолютную ошибку по формуле:
∆а = t(n)_α,√( <а> - а_i)² /n(n - 1) (19)
Абсолютная погрешность имеет размерность той же величины, что и оцениваемая на точность, величина. Например, если обрабатываются данное о количестве студентов, то абсолютная погрешность показывается в количестве студентов, если оценке подлежат баллы за тест или контрольную – абсолютная погрешность выражается в соответствующих баллах и т.д.

Сведения о точности измерений дополняется расчетом относительной ошибки произведенных измерений - отношение средней абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой величины: ε = ∆а/<а>. Относительная погрешность – безразмерная величина или же умноженная на 100%, выражается в процентах:

1. 
   Произвести неоднократное измерение величины а: а₁,а₂,а₃ а_n и занести в табл. 4.2
   
2. 
   Вычислить <а> - среднее арифметическое по формуле:
   

3. 
   Найти отклонение результата каждого отдельного измерения от среднеарифметического: <а> - а_i , где i меняется от 1 до n.
   
4. 
   Возвести в квадрат эти разности (<а> - а_i ,)² , найти их сумму
   ∑(<а> - а_i ,)².
   
5. 
   Разделить полученную сумму на n(n - 1), взять √ (корень квадратный).
   
6. 
   Полученное число умножить с соответствие с формулой на
   t(n)_α, - коэффициент Стьюдента и вычислить ∆а - абсолютная погрешность:
   

∆а = t(n)_α,√( <а> - а_i)² /n(n - 1) (22)

7. 
   Вычислить - ε = ∆а/<а> - относительную погрешность. Все данные оформит в табл.4.2
   
8. 
   Записать результаты измерений и вычислений в виде:
   

9. 
   Вывод: с достоверностью 0,95 можно утверждать, что истинное значение а_ист находится в числовом интервале:
   

С развитием идей и методов теории измерений улучшились ход и результаты процесса измерения в различных научных областях знания, в том числе и в педагогике.

Преимущество количественных шкал - их простота и определённость. Плата за это - заметная потеря внутренней информативности. Порядковые шкалы, особенно дескриптивные, очень информативны и содержательны. Но за это мы тоже расплачиваемся: высокой мерой неопределённости, необходимостью иметь сложные и дорогие измерительные инструменты - экспертов, компьютерные экспертные системы или толстые инструкции, а также сомнением в их объективности. Развитие ряда областей математики (математика нечётких множеств, теория некорректно поставленных задач, математическая статистика и др.), возможно, продвинет очерченные проблемы к решению.

5. 
   
   жүктеу/скачать 1.15 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: