Көп айнымалы функцияларды дифференциалдық есептеу
Мысал 7 болса, неге тең болады? Шешуі
жүктеу/скачать 0.64 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Көп айнымалы функциялар үшін Тейлор формуласы Теорема 5
- Көп айнымалы функцияны дифференциалдық қисаптаудың кейбір қолданулары Фунцияның берілген бағыт бойынша туындысы.
- Функцияның градиенті.
- Мысал 2
- Бетке жүргізілген жанама жазықтық және нормаль.
- Мысал 3
- Мысал 4
| Мысал 7 болса, неге тең болады?
Шешуі Алдымен берілген функцияның екінші ретті дербес туындыларын табамыз, олар: Енді (7.11) формула бойынша . Көп айнымалы функциялар үшін Тейлор формуласы Теорема 5 Егер және оның -ге дейінгі барлық үзіліссіз туындылары нүктесінің маңайында бар және үзіліссіз болса, онда бұл функцияның осы нүктенің маңайындағы Тейлор қатары былай жазылады: (7.13) Мұндағы Тейлор қатарының қалдық мүшесі және , деп алынған. Бұл формуланы функциясының Тейлор көпмүшелігі деп атайды. Көп айнымалы функцияны дифференциалдық қисаптаудың кейбір қолданулары Фунцияның берілген бағыт бойынша туындысы. функциясының Р нүктесінде берілген бағыты бойынша туындысы деп (7.14) өрнегі арқылы анықталған туындыны айтады. Мұндағы – векторы мен Ох өсінің оң бағыты арасындағы бұрыш. Сол сияқты үш айнымалыдан тәуелді функцияның берілген бағыт бойынша туындысы формуласымен анықталады. Мұнда бұрыштары бағытының сәйкес координат өстерінің оң бағытымен жасайтын бұрыштары. Бұл бұрыштар векторының бағыттаушы бұрыштары деп аталады, ал бағыттаушы косинустар делінеді. Функцияның берілген бағыттағы туындысы осы функцияның сол бағыттағы өзгеру жылдамдығын көрсетеді (бағыттаушы бұрыштар координат өстерінің оң бағытынан бастап есептеледі). Мысал 1 функцияның Р(1;2) нүктесінде Ох өсімен 1200 бұрыш жасайтын бағыттағы туындысын табыңдар. , . (7.14) формуланы қолданып, аталған туындыны табамыз: . Функцияның градиенті. функцияның нүктесіндегі градиенті деп координат өстеріне проекциялары функцияның сәйкес дербес туындылары болатын векторды айтады: Функцияның берілген бағыттағы туындысы мен оның градиентінің арасындағы байланыс келесі формуламен жазылады: , яғни, берілген бағыттағы туынды функция градиентінің дифференциалдау бағытындағы проекциясына тең. Функцияның нүктедегі градиенті осы функцияның деңгей сызығына тұрғызылған нормальмен бағыттас болады. Берілген нүктедегі функция градиентінің бағыты осы нүктедегі функцияның ең үлкен өсу жылдамдығының бағыты болады, яғни, болса, онда функцияның осы бағыттағы туындысы -ның модуліне, демек - ке тең ең үлкен мәнін қабылдайды. Үш айнымалды функцияның градиенті осыған ұқсас анықталады: Мысал 2 функцияның Р(1;1) нүктесіндегі градиентін табу керек. Шешуі Функцияның дербес туындыларын және Р(1;1) нүктесіндегі мәндерін есептейміз: . Сонда, . Бетке жүргізілген жанама жазықтық және нормаль. Бетке М (жанасу нүктесі) нүктесінде жүргізілген жанама жазықтық деп осы нүкте арқылы өтетін бет бойындағы барлық қисықтарға М нүктесіне жүргізілген жанамалар жататын жазықтықты айтады. Бетке жүргізілген нормаль деп жанама жазықтыққа жанасу нүктесінде жүргізілген перпендикуляр түзуді айтады. Декарт координат жүйесінде беттің теңдеуі түрінде берілсін. – дифференциалданатын функция болса, онда бетке нүктесінде жүргізілген жанама жазықтық теңдеуі: . (7.15) Мұндағы, , ал – жазықтық нүктесінің ағындағы координаттары. Нормальдың теңдеуі: . (7.16) Мысал 3 М(2;-1;10) нүктесінде бетіне жүргізілген жанама жазықтық пен нормальдің теңдеулерін табу керек. Шешуі Функцияның дербес туындыларын және М(2;-1;10) нүктесіндегі мәндерін есептейміз: . (7.15) және (7.16) формулаларды қолдансақ, жанама жазықтық теңдеуі немесе болады, ал нормаль түзудің теңдеуі болады. Бет айқындалмаған теңдеуі арқылы берілген жағдайда, яғни түрінде анықталса, онда беттің нүктесіне жүргізілген жанама жазықтық пен нормалдің теңдеулері мына түрде жазылады: (7.17) . (7.18) Мысал 4 бетіне болатын нүктеде жанама жазықтық пен нормальдің теңдеулерін табу керек. Шешуі мәндерін беттің теңдеуіне қойып, жанасу нүктесінің апликатасын анықтаймыз. Жанасу нүктесі . Теңдеудің сол жағын деп белгілеп, функцияның дербес туындыларын және нүктесіндегі мәндерін есептейміз: (7.17) және (7.18) формулалар бойынша немесе
жанама жазықтық теңдеуі, ал нормальдің теңдеуі болады. Бұл теңдеуден ізделініп отырған нормаль және жазықтықтарының қиылысу сызығы екенін көреміз. жүктеу/скачать 0.64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|