Курсовая работа Направление подготовки
Прием потенцирования при решении показательных и логарифмических неравенств
жүктеу/скачать 0.74 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Пример [27].
- Пример 2 [12].
Прием потенцирования при решении показательных и логарифмических неравенствПод потенцированием понимается переход от неравенства, содержащего логарифмы, к неравенству, не содержащему их. log ( ) ∨ log ( ) ⇒ ( ) ∨ ( ), ∨ −любой из знаков неравенства: <, >, ≤ и ≥, где > 0, ≠ 1, ( ) и ( ) > 0 [4] Пример [27]. Решить неравенство: log (4 + 8 − 3) ≤ −1. Решение: Поскольку основание логарифма 0,5 < 1, следовательно, log,(4 + 8 − 3) ≥ −1 ⇔ log,(4 + 8 − 3) ≥ log, 0,5 . Воспользовавшись приемом потенцирования данное неравенство равносильно следующему: 4 + 8 − 3 ≥ (0,5) ⇔ 4 + 8 − 3 ≥ 2 ⇔ ⇔ 4 + 8 − 5 ≥ 0. Получившееся квадратное неравенство 4 + 8 − 5 ≥ 0 решим графическим методом, воспользовавшись алгоритмом решения квадратных неравенств. Поскольку = 4 > 0, ветви параболы направлены вверх. = 144 > 0, = −2,5 и = 0,5. Обозначим корни квадратного трехчлена на оси (рис. 15): Рис. 15 Решением неравенства являются промежутки, на которых функция ( ) = 4 + 8 − 5 положительна: (−∞; −2,5] ∪ [0,5; +∞). Ответ: (−∞; −2,5] ∪ [0,5; +∞). Метод интервалов и различные приемы, основанные на его применении, также можно использовать и при решении алгебраических неравенств, содержащих параметры. К примеру, рассмотрим неравенство ≤ 0. Определить при каких значениях параметра , неравенство имеет решение. Решение: ⇔ Функция непрерывна в каждой точке своей области определения ( ) (это дробно–рациональная функция). ( ) = (−∞; + 1) ∪ ( + 1; +∞). Найдем точки, в которых наша функция ( ) = 0. Получили точки = , и = + 1 (рис. 16). Рис. 16 Ответ: при , [ ; + 1) ∪ (2; +∞). Пример 2 [12]. Решить неравенство log ( + 3) > 1. Определить при каких значениях параметра , неравенство имеет решение. Решение: Для решения исходного неравенства воспользуемся приемом рационализации, учитывая основание логарифма > 0 и ≠ 1, запишем систему: ⎧0, ⎪ + 2 < −2 > −1, 1, ⇒ ⎨ + 2+< 0 (1) ⎪ + 1 + 1 + 2 + 2 ⎩+ 3 − + 2 > 0; Поскольку a < −2 и a > −1, рассмотрим два случая: Если < −2, то < 0 и для того, чтобы неравенство (1) было верно при любых значениях , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие > 0. Тогда запишем систему: + 2 < 0, 5 2 + 5 ⇒ < − > 0; 2 значениях не удовлетворяет условию неравенства (1). Ответ: при < −2 , −∞; −2,5 . жүктеу/скачать 0.74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|