Курсовая работа Направление подготовки
Виды алгебраических неравенств и способы их решения
жүктеу/скачать 0.74 Mb.
|
Виды алгебраических неравенств и способы их решенияВ данном параграфе рассмотрим простейшую классификацию типов алгебраических неравенств, изучаемых в школьном курсе алгебры и начала анализа, и обобщенные алгоритмы их решения. К числу изучаемых алгебраических неравенств относят: Линейные неравенства; Квадратные неравенства; Рациональные и дробно-рациональные неравенства; Иррациональные неравенства; Показательные и логарифмические, сводящиеся к алгебраическим. Существует три основных метода решения таких неравенств: аналитический, алгебраический (метод интервалов) и графический. Итак, перейдем к их изучению вышеперечисленных неравенств: 1) Линейные неравенства вида + > 0 (1) или + < 0, где и – данные числа, причем ≠ 0, называют неравенством первой степени с одним неизвестным . Число называют коэффициентом при неизвестном, а число − свободным членом неравенства [19]. Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих перейти при ≠ 0 к элементарным неравенствам вида < (>, ≤, ≥). Рассмотрим в общем виде решение линейного неравенства (1), используя равносильные преобразования [25]: Если > 0, то решением неравенства будет промежуток > − . Если < 0, то решением неравенства будет промежуток неравенствам вида < − . Если = 0 и < 0, то неравенство имеет бесконечно много решений; если = 0 и ≥ 0, то неравенство не имеет решений. Неравенства вида + < 0, + ≤ 0 и + ≥ 0 решаются аналогичным образом [25]. Рассмотрим пример. Решить неравенство 3 − 5 ≥ 7 − 15. Решение: Данное неравенство решим, посредством равносильных преобразований, используя свойства числовых неравенств. Перенесем член 7 в левую часть неравенства, а −5 перенесем в правую часть с противоположным знаком. Получим: 3 − 7 ≥ −15 + 5, т.е. −4 ≥ −10. Используя свойства числовых неравенств, разделим обе части неравенства на −4, поменяв при этом знак неравенства. Запишем ≤ 2,5. Для записи решения неравенства можно использовать обозначение промежутка числовой прямой (−∞; 2,5) [15]. Ответ: ≤ 2,5 или (−∞; 2,5). 2) Квадратным неравенством называется неравенство вида: + + > 0, где , , − действительные числа, причем ≠ 0. Вместо знака " > " может быть любой другой знак [8]. Поскольку при решении квадратных неравенств целесообразно пользоваться наглядным изображением, поэтому графический метод во многих учебниках представлен как основной. Таким образом, перейдем к рассмотрению общего алгоритма решения квадратных неравенств, применив данный метод. Алгоритм решения квадратных неравенств + + > 0 (1) Вначале определим коэффициент, стоящий при , если а > 0 (1) − ветви параболы направлены вверх, при < 0 (2) − ветви параболы направлены вниз. Начертим эскиз графика квадратичной функции + + , для этого необходимо вычислить дискриминант квадратного трехчлена, чтобы определить имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки. Если > 0 квадратный трехчлен (1) имеет 2 разных корня, парабола пересекает ось в двух точках. Если < 0 у данного квадратного трехчлена (1) нет корней. Если = 0 квадратное неравенство имеет два одинаковых корня, вершина параболы находиться на оси . В случае, когда > 0 и = 0 найдем корни квадратного трехчлена + + . Отметим найденные корни на оси абсцисс. С помощью полученной геометрической модели определим, на каких промежутках оси ординаты графика положительны/отрицательны (таблица 1). жүктеу/скачать 0.74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|