Курсовая работа Направление подготовки


Виды алгебраических неравенств и способы их решения



бет5/17
Дата28.04.2023
өлшемі0.74 Mb.
#472932
түріКурсовая
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17

Виды алгебраических неравенств и способы их решения


В данном параграфе рассмотрим простейшую классификацию типов алгебраических неравенств, изучаемых в школьном курсе алгебры и начала анализа, и обобщенные алгоритмы их решения.
К числу изучаемых алгебраических неравенств относят:

  1. Линейные неравенства;

  2. Квадратные неравенства;

  3. Рациональные и дробно-рациональные неравенства;

  4. Иррациональные неравенства;

  5. Показательные и логарифмические, сводящиеся к алгебраическим.

Существует три основных метода решения таких неравенств:
аналитический, алгебраический (метод интервалов) и графический. Итак, перейдем к их изучению вышеперечисленных неравенств:
1) Линейные неравенства вида + > 0 (1) или + < 0, где и
данные числа, причем ≠ 0, называют неравенством первой степени с
одним неизвестным .
Число называют коэффициентом при неизвестном, а число − свободным членом неравенства [19]. Основной способ их решения заключается в использовании равносильных преобразований, позволяющих перейти при ≠ 0 к элементарным неравенствам вида < (>, ≤, ≥).
Рассмотрим в общем виде решение линейного неравенства (1), используя равносильные преобразования [25]:

  1. Если > 0, то решением неравенства будет промежуток > − .

  2. Если < 0, то решением неравенства будет промежуток неравенствам вида < − .

  3. Если = 0 и < 0, то неравенство имеет бесконечно много решений; если = 0 и ≥ 0, то неравенство не имеет решений.

Неравенства вида + < 0, + ≤ 0 и + ≥ 0 решаются
аналогичным образом [25].
Рассмотрим пример. Решить неравенство 3 − 5 ≥ 7 − 15.
Решение: Данное неравенство решим, посредством равносильных преобразований, используя свойства числовых неравенств. Перенесем член 7 в левую часть неравенства, а −5 перенесем в правую часть с противоположным знаком. Получим: 3 − 7 ≥ −15 + 5, т.е. −4 ≥ −10.
Используя свойства числовых неравенств, разделим обе части неравенства на −4, поменяв при этом знак неравенства. Запишем ≤ 2,5. Для записи решения неравенства можно использовать обозначение промежутка числовой прямой (−∞; 2,5) [15].
Ответ: ≤ 2,5 или (−∞; 2,5).
2) Квадратным неравенством называется неравенство вида:
+ + > 0,
где , , − действительные числа, причем ≠ 0. Вместо знака " > " может быть любой другой знак [8]. Поскольку при решении квадратных неравенств целесообразно пользоваться наглядным изображением, поэтому графический метод во многих учебниках представлен как основной. Таким образом, перейдем к рассмотрению общего алгоритма решения квадратных неравенств, применив данный метод.
Алгоритм решения квадратных неравенств
+ + > 0 (1)

  1. Вначале определим коэффициент, стоящий при , если а > 0 (1) − ветви параболы направлены вверх, при < 0 (2) − ветви параболы

направлены вниз.

  1. Начертим эскиз графика квадратичной функции + + , для этого необходимо вычислить дискриминант квадратного трехчлена, чтобы определить имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки.

  • Если > 0 квадратный трехчлен (1) имеет 2 разных корня, парабола

пересекает ось в двух точках.

вершина параболы находиться на оси .

  1. В случае, когда > 0 и = 0 найдем корни квадратного трехчлена

+ + .

  1. Отметим найденные корни на оси абсцисс.

  2. С помощью полученной геометрической модели определим, на каких промежутках оси ординаты графика положительны/отрицательны

(таблица 1).


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   17




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет