Курсовая работа Направление подготовки
Таблица 1 Таблица для решения квадратичных неравенств
жүктеу/скачать 0.74 Mb.
|
Таблица 1 Таблица для решения квадратичных неравенствПример. Решить неравенство 2 − + 4 > 0. Решение: Поскольку a = 2 > 0, то ветви параболы направлены вверх. Начертим эскиз графика, для этого найдем дискриминант квадратного трехчлена: = −31 < 0 и нарисуем геометрическую модель параболы (рис.2). Рис. 2 Поскольку = −31 < 0 данное неравенство выполняется при всех значениях (см.рис.1). Ответ: (−∞; +∞). Таким образом, при решении любого квадратного неравенства основным действием является верное нахождение дискриминанта, который определяет наличие корней или его отсутствие. 3) Неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями, называются рациональными неравенствами [17]. Рассмотрим выражение вида: ( − ) ( − ) … ( − ) ∨ 0 (1), где знак " ∨ " содержит любой из знаков неравенства <, >, ≤, ≥. Решение рациональных неравенств основано на применении свойств числовых неравенств. Перейдем к рассмотрению дробно – рациональных неравенств. Итак, рассмотрим рациональное неравенство ( ) > ( ), где ( ) и ( ) – рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенеся обе части рационального неравенства в левую часть, представим ее в виде отношения двух многочленов: > 0. Заметим, что, если умножить данное неравенство на ( ),по свойствам неравенств получим равносильное неравенство вида ( ) · ( ) > 0. > 0 ⇔ ( ) · ( ) > 0, < 0 ⇔ ( ) · ( ) < 0. Для нестрогих дробно − рациональных неравенств имеем по определению: ( ) ( ) · ( ) ≥ 0, ⟺ ( ) ≠ 0. ( ) ( ) · ( ) ≤ 0, ⟺ ( ) ≠ 0. Если же решаемое неравенство имеет вид , то его следует ( ) привести к стандартному виду ⇔ 0 и уже, затем решать методом интервалов [16]. Пример. Решить неравенство . Решение: Преобразуем данное неравенство и получим неравенство вида . Для решения данного неравенства воспользуемся методом интервалов. Умножим обе части неравенства на знаменатель в квадрате, получим равносильное неравенство: ( + 3)( − 3) ≤ 0 (2). Вычислим критические точки числителя и знаменателя: = 0, = 3 и = −3. Отметим данные точки на координатной прямой (рис. 3). Рис. 3 Расставим знаки на полученных промежутках, начиная справа сверху, вся координатная прямая разбилась на 4 промежутка. Самый правый из них будет положительный, далее знаки чередуются [15]. Рис. 4 Выбираем промежутки, на которых функция 0. Ответ: (−∞; −3) ∪ [0; 3). Таким образом, один из общих способов решения дробно − рациональных неравенств состоит в сведении неравенства к равносильному, и применении метода интервалов. Перейдем к изучению иррациональных неравенств. 4) Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным [16]. В элементарной математике иррациональные неравенства решают на множестве действительных чисел. Решение таких неравенств состоит в том, что с помощью некоторых преобразований их заменяют равносильными им рациональными неравенствами или системами неравенств. Этими преобразованиями чаще всего являются простейшие приемы: замена переменных (введение новых переменных), разложение на множители и возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Однако простое возведение при обеих частей неравенства в одну и ту же степень может привести к потере корней или же, наоборот, к приобретению посторонних. Поэтому необходимо учесть, что в основе данных преобразований лежит утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень. Следовательно, при решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений. Существует два основных вида неравенств [1]: ( ) < ( ) и ( ) > ( ); ( ) > ( ) и ( ) < ( ). Иррациональное неравенство с корнями четной степени вида . Решения данного неравенства должны удовлетворять условию ( ) ≥ 0 и условию ( ) > 0. При одновременном выполнении этих условий обе части заданного неравенства неотрицательны. Следовательно, их возведение в степень 2 представляет собой равносильное преобразование неравенства. Таким образом, сформулируем теорему [14]. жүктеу/скачать 0.74 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|