Курстық ЖҰмыс тақырыбы: «Квадрат теңдеулер» Мамандығы: 0111000 «Негізгі орта білім беру» Біліктілігі: 0111063 «Математика мұғалімі»
II.КВАДРАТ ТЕҢДЕУ ТҮБІРЛЕРІНІҢ ФОРМУЛАСЫ
жүктеу/скачать 59.62 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.1.Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару
| II.КВАДРАТ ТЕҢДЕУ ТҮБІРЛЕРІНІҢ ФОРМУЛАСЫ
+ bx + c = 0 (a≠0) теңдеуін шешу үшін алдында айтылған теңдеуіндегі -ны d деп белгілеп алайық Егер d < 0 болса, онда теңдік орындалмайды. Сонда, болады, бұдан 2ax+b = - не 2ax+b = бұл арадан х-ті тапсақ, мұндағы d=b²-4ac Екінші дәрежелі теңдеудің дискриминанты деп атаймыз. d > 0 болған жағдайда формула + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлерін табатын формула болып табылады. Егер d=0 болса, онда (2ax+b)² = 0, бұдан теңдеуінің өзара екі түбірі бар. Сонымен, +bx+c = теңдеуінің түбірлері a,b,c коэффиценттеріне тәуелді екенін байқауға болады. Егер екінші дәрежелі теңдеудің бірінші дәрежелі қосылғышының коэффиценттері жұп сан яғни b=k болса, онда теңдеудің дискриминанты d=4k² - 4ac=(k² - ac), мұны теңдіктерге қойсақ, Cонымен, түрінде жазуға болады. Квадрат бірінші дәрежелі қосылғышының коэффициенттері жұп сан болғанда теңдеудің түбірі формуламен табуға тиімді болады. 2.1.Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару №1-есеп. Қосындысы 22-ге, ал квадраттарының қосындысы 250-ге тең екі санның кішісін тап. Ш: x+y=22 y=22-x х²+(22-х)²=250 х²+484-44х+х²-250=0 2х²-44х+234=0 х²-22х+117=0 D=484-468=16 1)x=(22-4)/2=9 x=(22+4)/2=13 2)22-9=13 22-13=9 Ж: кішісі 9-ға тең. №2-есеп. Айырымы 4-ке, ал квадраттарының айырымы 104-ке тең екі санның үлкенін тап. Ш: x-y=4 x=4+y x²-y²=104 (x-y)(x+y)=104 4(x+y)=104 x+y=26 x=4+y 4+y+y=26 2y=22 y=11 x=4+11=15 Ж: санның үлкені 15 болады. №3-есеп. Тіктөртбұрыштың ұзындығы енінен 5 см артық. Ауданы 150 см² болса, төртбұрыштың қабырғаларын табамыз. Ш: Тіктөртбұрыштың ені – х см, ұзындығы – (x+5) см S= x(x+5) =150 x²+5x – 150=0 D= 25+600=625 есептің шартын қанағаттандырмады Ж: 10 см және 15 см. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, с.с. мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Жоғарғы сыныптарда теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу; функцияның нөлдерін; экстремум нүктелерін; өсу және кему аралықтарын табу, ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және т.б. жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттілігі туындайды. Сондай-ақ тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі. Зерттеу барысында «квадрат теңдеулерді» шешу жолдарының бірнеше түрлі әдісімен таныстым. Ол тәсілдерге кейбіреуіне жеке – жеке тоқтала кетсек: 1-тәсіл. Теңдеудің сол жағын көбейткіштерге жіктеу. x² + 10x - 24 = 0 теңдеуін жіктейміз. Теңдеудің сол жағын факторларға жіктейміз: x² + 10x - 24 = x² + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x-2). Сондықтан теңдеуді былай жазуға болады: (x + 12) (x - 2) = 0 Өнім нөлге тең болғандықтан, факторлардың кем дегенде біреуі нөлге тең болуы керек. Демек, теңдеулердің сол жағындағы х = 2 және х = - 12 сандары x² + 10x - 24 = 0 теңдеуінің түбірлері болып табылады. 2- тәсіл. Толық квадратқа келтіру әдісі. Мысалы: x² + 6x - 7 = 0 = 0 теңдеуін шешейік. Сол жағын мінсіз шаршыға келтірейік. Ол үшін x² + 6x өрнегін келесідей жазыңыз: х² + 6x = x² + 2 • x • 3. Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тің квадраты, ал екінші қосындысы екі еселенген х және 3. Толық квадратты алу үшін 3²-ні қосу керек. Содан кейін x² + 2 • x • 3 + 3² = (x + 3)². Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 3²-ні қосып, азайт. Сонда былай шығады: x² + 6x-7 = x² + 2 • x • 3 + 3² - 3² - 7 = (x + 3) ² - 9 - 7 = (x + 3)² - 16. Сонымен, бұл теңдеуді былай жазамыз: (x + 3)² - 16 = 0, (x + 3)² = 16. Демек, x + 3-4 = 0, = 1 немесе x + 3 = -4, = -7. 3-тәсіл. Виет теоремасын пайдаланып теңдеулерді шешу, берілген түбірлер Виет теоремасын қанағаттандырады. Ол былай беріледі: x² + px + c = 0. (1) a = 1 болғанда, = q, = -p, Бұдан мынадай қорытынды шығаруға болады: а) q (1) теңдеуінің бос мүшесі оң (q0) болса, онда теңдеудің екі эквивалентті түбірі болады. Егер p> 0 болса, онда екі түбір де теріс, егер p <0 болса, онда түбірлер оң болады. Мысалы, x²-3x + 2 = 0; = 2 және = 1, мұнда q = 2> 0, p = - 3 <0; x² + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 және = - 1, мұндағы q = 7> 0, p = 8> 0. б) егер q (1) теңдеуінің бос мүшесі теріс (q <0) болса, онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы түбірі болады, түбірдің абсолютті мәні үлкен, егер p <0 болса оң, р> 0 болса теріс. . Мысалы:
x² + 4x - 5 = 0; x1 = - 5, x2 = 1, мұндағы q = - 5 <0, p = 4> 0;
x²-8x-9 = 0; = 9 және = - 1, мұндағы q = - 9 <0, p = - 8 <0. 4-тәсіл. Теңдеуді «санау» немесе «асыра лақтыру» әдісімен шешу ax² + bx + c = 0, және ≠ 0. квадрат теңдеуді қарастырыңыз. Теңдеудің екі жағын а-ға көбейтсек, мынаны аламыз: a²x² + abx + ac = 0. ax = y, x = деп белгілейміз Олай болса y² + by + ac = 0 теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеулерге тең. , теңдеуінің түбірлерін Виет теоремасы бойынша табайық. Соңында = , = аламыз. Бұл жағдайда а коэффициенті кесіндіге көбейтіледі. Сондықтан бұл әдіс «лақтыру» әдісі деп аталады. Бұл әдіс түбірді оңай табу үшін және дискриминант дәл квадрат болғанда жиі Виет теоремасымен қолданылады. мысалы, 2x² - 11x + 15 = 0 теңдеуін шешейік. Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне ауыстырылады, нәтижесінде: y² - 11y + 30 = 0. Виеттың теоремасы бойынша = 5 = = 2,5 = 6 = = 3. Жауабы: 2,5; 3. Көне заманда алгебраға қарағанда геометрия көбірек жетілген кезде, квадрат теңдеулерді алгебралық жолмен емес геометриялық жолмен шеше білген. Әйгілі әл-Хорезмидің «Әл-жебр» кітабынан мысал келтірейін. х² + 10x = 39 теңдеуін шешеміз. Мысал-2: Шешуі: қабырғасы х болатын квадратты қарастырайық. Оның қабырғаларының бойында тікбұрыштар әрбір қабырғасы тең болатындай етіп тұрғызылады. Олардың әрқайсысының аудандары 2 х-ке тең. Алынған фигураның төрт бұрышына қабырғаларының әрқайсысы 2 болатын, ал ауданы 6 болатын төрт бірдей квадратпен ABCD жаңа квадраты толғанша толтырамыз. D x C ABCD квадраттарының ауданы S-ті мына ауданның қосындысы түрінде сипаттауға болады: алғашқы х 2-квадратынан, төрт тіктөртбұрыштан 4 2 = 10x және тұрғызылған 4 квадраттан 4 6 = 25, яғни S = x² + 10x + 25. x² + 10x өрнегін 39 санымен ауыстыра отырып, S = 39 + 25 = 64–ті аламыз, бұл жерден ABCD қабырғасы, яғни AB=8 екендігі шығады. Алғашқы квадраттың ізделінді х-қабырғасы үшін : A x B x =8 – 2 – 2 = 4 екенін айта аламыз. жүктеу/скачать 59.62 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|