Курстық ЖҰмыс тақырыбы: «Квадрат теңдеулер» Мамандығы: 0111000 «Негізгі орта білім беру» Біліктілігі: 0111063 «Математика мұғалімі»
жүктеу/скачать 59.62 Kb.
|
| 2.2.Виет теоремасы
Виет теоремасын а=1 болатын келтірілген квадрат теңдеулер түбірін табуда қолданамыз. Келтірілген квадрат теңдеулер түбірінің қосындысы қарсы таңбасымен алынған екінші коэффициентке, ал көбейтіндісі бос мүшеге тең болады. + bx + c = 0 теңдеуі үшін. Квадрат теңдеудің түбірлері мен коэффициенттері арасындағы тағы бір қатынастарды қорыта келе, түбірлердің квадраттарының қосындысын табамыз: формуласын пайдаланып, (2) теңдігін аламыз. Түбірлерінің кубтарын қарастырайық: . (1) мен (2) формулаларын пайдаланып, теңдігін аламыз. Виет теоремасына кері теоремада орынды. Егер сандары шарттарын қанағаттандыратын болса, онда – келтірілген x²+px+q=0 квадраттық теңдеуінің түбірлері болады. Бұл теорема бірқатар жағдайларда квадрат теңдеуінің түбірлерін формуланы пайдаланбай да табуға көмектеседі. 1-мысал. х² - 9х + 14 = 0 теңдеуін шешеміз. Шешуі: болатындай сандарын тауып көрейік. Бұндай сандар 2 мен 7 болады. Виет теоремасына кері теорема бойынша дәл осы сандар берілген квадрат теңдеуінің түбірлері бола алады. 2-мысал. теңдіктері орындалатындай сандарын табайық. Бұндай сандар -7 мен 4 болатыны айтпасада белгілі. Әрине қиын емес себебі осы сандар берілген теңдеудің түбірлері болып табылады. Есеп мысалдары: 7x + 15 – 2x² = 0 теңдеуіндегі дискриминант оң: ▲= 169 және екі нақты шешімі бар: x² - 2x + 1 = 0 теңдеуінің дискриминанты нөлге тең: ▲= 0 яғни, теңдеудің бір ғана шешімі бар: x² + 3x + 3 = 0 теңдеуінде нақты сандар арасында шешімі жоқ, өйткені ▲= -3 < 0. Бірақ екі комплекс түбірлері бар: Квадрат теңдеудің сол жақ бөлігі түрінде көрсетуге болады. Квадрат теңдеулерге келтірілетін есептерді шешу мәселесі ежелгі дәуір математиктерінеде белгілі болған. Квадрат теңдеу терминін неміс философы әрі математигі Х. Вольф (1679 - 1754) енгіізген (1710). + bx + c < 0; + bx + c > 0 (мұндағы х-айнымалы; a,b,c – сандар, а≠0) түріндегі теңсіздіктер квадрат теңсіздіктер деп атаймыз. Квадрат теңсіздіктік шешімі деп теңсіздікті қанағаттандыратын айнымалының барлық мәндерінің жиынын айтамыз. Оны шешудің үш түрлі тәсілін қарастырайық: a) квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп, әрбір көбейткіштің нөлге айналатын нүктелерін анықтап, осы нүктелер көмегімен сан осін бөліктерге бөліп және осы бөліктердің әрқайсысында көбейткіштердің таңбалары арқылы квадрат үшмүшенің таңбасын анықтау. Бұл тәсіл – аралықтар немесе интервалдар әдісі деп атаймыз. ә) квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп, көбейтіндінің оң не теріс болуы Заңдылықтарын қолдану. б) квадрат үшмүше графигінің абсциссалар осіне қатысты орналасуын анықтап, оның оң және теріс бөліктерін көрнекі деңгейде анықтау. Квадрат теңсіздіктерді шешу үшін: I жағдай. 1) a > 0 және D > 0 . Квадраттық функцияның графиктері абсцисса осін нүктелерде қияды, парабола тармақтары жоғары бағытталған. + bx + c > 0 функциясы үшін түбірлерінің «сыртындағы» мәндер + bx + c < 0 функциясы үшін түбірлерінің «арасындағы» мәндер алынады. 2) a < 0 және D > 0. Бұл жолда парабола тармақтары төмен бағытталады, жауап: + bx + c < 0 теңсіздігі үшін және x > ; + bx + c > 0 теңсіздігі үшін < x< болады. II жағдай. 1) a > 0 және D = 0 . Квадрат үшмүшенің екі бірдей түбірі бар: + bx + c < 0 теңсіздігі үшін шешімі болмайды, + bx + c > 0 теңсіздігі үшін x= мәнінен басқа кез-келген мән болады. 2) a < 0 және D = 0. Бұл жолда парабола абсцисса осін x= нүктесінде жанайды, Ох осінен тармақтары төмен бағыталады, жауап: + bx + c < 0 теңсіздігі үшін x= мәнінен басқа кез-келген мән болады. + bx + c > 0 теңсіздігі үшін шешімі болмайды. III жағдай. 1) a > 0 және D < 0 . Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен жоғары орналасқан, яғни абсцисса осімен қиылыспайды. Сондықтан + bx + c > 0 теңсіздігі х-тің кез келген мәнінде орындалады, + bx + c < 0 теңсіздігі үшін шешімі болмайды. 2) a < 0 және D < 0. Квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен төмен орналасқан, яғни абсцисса осімен қиылыспайды + bx + c < 0 теңсіздігі х-тің кез келген мәнінде орындалады, ал + bx + c > 0 теңсіздігінде шешімі болмайды. жүктеу/скачать 59.62 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|