Тақырып – 5. Потенциал теориясы

Эллипстік типті теңдеулердің шеттік есептерін интегралдық теңдеулерге келтіру. Математикалық физиканың шеттік есептерінің қойылуының қисындылығы. Көлемдік потенциал және оның қасиеті. Жай және екі қабатты потенциалдардың негізгі қасиеттері. Лаплас теңдеуі үшін қойылған шекаралық есептерді потенциал әдісімен шешу. Жай қабатты потенциалдың нормаль бойынша туындысы. Әдебиет: [1] 4 тарау 4.8-4.9, 227-250 б., [2] 4 тарау 4.7, 171-179 б

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

түрінде жазайық. Осыдан туындысының бойынша туындысы нөлге тең болғандықтан ол ке тәуелді функция екендігі шығады, яғни

Сондықтан . Мұндағы кез келген функциясының интегралы -ке тәуелді функциясы мен тұрақты деп саналатын кез келген -ке тәуелді функциясының қосындысынан тұрады.

Сонымен берілген теңдеудің жалпы интегралы



2-мысал. Екінші ретті

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

түрінде жазайық. Сонда , яғни ол тен тәуелсіз функция екендігі көрінеді.

Интегралдаудан кейін

, яғни

шешімін аламыз.

7-сурет
Шешуi өсiнiң 2 және 5 нүктелерiнен тиiсiнше солға және оңға қарай сипаттауыштар жібереміз. Осы сипаттауыштардың төменгi жағындағы облыста шешiм нөлге тең болады. Шынында да, осы сипаттауыштардан төмен орналасқан нүктесі үшін тәуелділік облысы кесіндісімен қиылыспайды. Сондықтан бұл облыста . Осыдан .

берілген

Шекаралық шарттарын және

алғашқы шартын қанағаттандыратын шешімін табу керек.

түрінде іздейміз. Мұндағы

Осы интегралды есептейміз

Сонда

мәні алынады.

Ал болғандықтан ге тең. Сондықтан

Сонымен есептің шешімін былай жазуға болады

1. 
   Рамазанов М.И., Мұхтаров М., Әділбек Н. Математикалық физиканың негізгі теңдеулері. Оқу құралы.-Қарағанды: ҚарМУ баспасы, 2009,-324 бет.
   
2. 
   Мұхтаров М., Әділбек Н.А. Математикалық физика есептері және олардың шешімдерін табу әдістері. Оқу құралы.-Павлодар: ПМУ,2007, -229 бет.