Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §

max{ , } max{1,1} 1.

s

10^s1

[s₁, s₂ ]

1(mod 7)

Испытываем последовательно делители числа т.е. 1, 2,3, 4,6. (см. О7, Т4 этого параграфа).

10²

10³
20(mod 7) 1(mod 7) ¹⁰⁶

1(mod 7)

s₁ 6.

10^s2 1(mod19)

Испытываем последовательно делители числа 2,3,6, 9, 18. (см. О7, Т4 этого параграфа).

101	10(mod19)
102	100(mod19)	5(mod19)
103	50(mod19)	7(mod19)
106	49(mod19)	8(mod19)
109	56(mod19)	1(mod19)

s

Следовательно 18 цифр в периоде.

т.е. 1,

Ответ: Данную обыкновенную несократимую дробь ¹

1330

можно

представить в виде смешанной периодической десятичной дроби, у которой одна цифра в предпериоде и 18 цифр в периоде.

Глава 2. Алгебраические уравнения и неравенства

§9 Уравнения. Исходные понятия. Равносильность уравне- ний. Алгебраические уравнения первой и второй степени

Пусть заданы две функции

^D_f ^{, D}_g .

f (x), g(x)

и их области определения

Определение 1. Условие равенства значений двух функций при некотором x M называется уравнением с неизвестным x из области

М. определяемым функциями

f (x), g(x) :

f (x)

g(x) ,

При задании уравнения множество М должно быть четко опреде-

лено. Если не указывается М, то под М подразумевается ^D_f ^D_g .

Определение 2. Решением (корнем) уравнения

f (x)

g(x)

назы-

вается такой элемент M , что

f ( )

g( ) .

Определение 3. Два уравнения называются эквивалентными (рав- носильными), если множества их решений совпадают.

Определение 4. Если всякое решение первого уравнения является решением второго уравнения, то второе уравнение называется след- ствием первого.

Свойства равносильности уравнений

1. 
   Всякое уравнение равносильно себе.
   
2. 
   Если первое уравнение равносильно второму уравнению, то второе уравнение равносильно первому.
   
3. 
   Если первое уравнение равносильно второму, а второе равно- сильно третьему, то первое уравнение равносильно третьему.
   

4. 
   Если дано уравнение
   

f (x)

и (x)

— функция, такая,

что

D D_f

^D_g , тогда уравнение

f (x)

g(x)

1. 
   равносильно
   

уравнению

f (x) (x)

g(x) (x)

(2).

f ( )

g( ) . Так как

D_f D_g

^D ,то

определена. По-

этому

f (x)

g(x)

g(x) (x) , откуда следует, что — решение

уравнения (2). Таким образом, уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Проведя эти рассуждения в обратном порядке, получим, что урав- нение (1) является следствием уравнения (2). Итак, уравнения (1) и (2) равносильны.

5. 
   Если дано уравнение
   

f (x)

g(x)

и (x)

- функция, такая,

что

D D_f

^D_g и для любого

D_f D_g

( ) 0 , тогда урав-

нение

f (x)

g(x) (1) равносильно уравнению

f (x)
(3)

Доказательство проводится аналогично доказательству предыду- щего свойства.

Следствие. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное ис- ходному.

Теорема 1 (о замене неизвестного). Пусть даны

f (x)

и g(x) и

g (D_g )

^D_f , тогда для уравнений

f (x)

(4),

f (g(x))

5. 
   вы-
   

полняются условия:

1. 
   если z₀
   

• 
  решение уравнения (5), то x₀
  

– решение

уравнения (4);

2. 
   если
   

x₀ – решение уравнения (4), то существует

z₀ такое, что

x₀ и z₀

• 
  решение уравнения (5).
  

Доказательство. 1. Пусть

z₀ – решение уравнения (5):

f (g(z₀ )) 0 ; так как

g (D_g )

^D_f , то ^x₀

. Таким обра-

зом,

f (g(z ₀ ))

^{f (x}₀ ^{) 0} , то есть

x₀ – решение уравнения (4).

2. Пусть

x₀ – решение уравнения (4):

f (x₀ ) 0 . Так как

g (D_g )

^D_f , то существует ^z₀

^D_g , такое, что

g (z₀ )

^x₀ , поэтому

0

(5).

f (x₀ )

^{f (g(z}₀ ⁾⁾ , откуда следует, что

^x₀ – решение уравнения

Замечание. Если заданы

f (x) и

g(x) , удовлетворяющие услови-

ям теоремы, то для решения уравнения (4) достаточно решить урав-

нение (5) и для любого

z₀ (решения уравнения (5)) найти

g( z₀ ) . Мы

получим все решения уравнения (4) .

Уравнения первой и второй степеней

Определение 5. Алгебраическим уравнением первой степени назы-

вается уравнение вида ax (6)

Теорема 2. Алгебраическое уравнение первой степени имеет

единственное решение x ^b .

a

Доказательство. Подставляя это значение в левую часть уравне- ния (6), получим:

a

Пусть

- решение уравнения(б).
– решение уравнения (6), тогда a

Следовательно, ^b

a

• 
  единственное решение уравнения (6). Тео-
  

рема доказана.

Определение 6. Алгебраическим уравнением второй степени на-

зывается уравнение вида ax²

(7)

Приведём решение уравнения (7). Делая замену x

, име-

2a

b ² b

ем a z b z c 0, откуда следует, что

2 _b2

2a

4ac

2a

2 _b2

4ac

az , или z

4a

z₁

4a²

. Далее:

Окончательно имеем:

^x₁ , ^x₂

где D

Вывод: если D

решения, если D

0 , то уравнение (7) имеет два совпадающих

0 , – то два различных решения (над полем

комплексных чисел С).

§10 Двучленные и трёхчленные уравнения. Возвратные уравнения. Симметрические уравнения.

Двучленные уравнения.

Определение 1. Двучленным уравнением n-ой степени на-

зывается уравнение вида

axⁿ

где ⁿ – натуральное число,

Разделив обе части уравнения (1) на

a и обозначив,

^b q, c

получим уравнение xⁿ

2. 
   равносильное урав-
   

нению (1).

Рассмотрим теперь уравнение (2). Его решениями будут значе-

^ния x ⁿ q ^{. Следовательно, решение уравнения (2) сводится к из-}

влечению корня степени п из числа q.

Если q 0 , то имеет n различных комплексных значений и,

следовательно, уравнение (2) имеет в поле комплексных чисел п

различных решений. Если же q 0 , то уравнение (2) имеет n-

кратное решение x 0 .

Заметим, что когда известно одно из значений ⁿ q то решение

уравнения (2) сводится к решению уравнения yⁿ 1 0 .

Действительно, пусть

^x₀ одно из значений

. Делая замену

x получим уравнение

xⁿ yⁿ q

⁰ . Отсюда, разделив обе

0

x

0
части уравнения на <sup>n

q 0</sup> , получаем yⁿ

1 0 . (3)

Корень n-ой степени из единицы, то есть решение уравне- ния (3) получим по формуле

y_k

Тогда решение уравнения (1) имеет вид:

x_k

Таким уравнением является

_ax2n

bxⁿ c

0 . (4)

Подстановкой нию ay²

y₁

y оно приводится к квадратному уравне- Отсюда

Подставив в равенство xⁿ

вместо у его значения

y₁ и

y₂ получаем двучленные уравнения n-ой степени
x_n

Решив двучленные уравнения (5) мы найдём все решения

трёхчленного уравнения (4).

Возвратные и симметрические уравнения

Определение 2. Возвратным уравнением называется уравнение вида

0
_{a x}2n

если степень уравнения нечётная, и уравнение вида

(6)

_{a x}2n

_{a x}2n 1

...

_{a x}n 1

a xⁿ

_{a x}n 1

0 1 n 1

n n 1

(7)

2_{a x}n 2

...

ⁿa 0,

n 2 0

если степень его чётная ( – некоторое число).

Примеры.

1. 
   Уравнение 2x⁵
   

3x⁴

2x³

6x²

81x

486 0 является

возвратным; здесь 3.

2. 
   Уравнение
   

4x⁶

5x⁵

3x⁴

11x³

6x²

20x

32 0

тоже

является возвратным: здесь 2.

Теорема 1. Возвратное уравнение нечётной степени имеет ко- рень x .

Доказательство. Возьмём возвратное уравнение (6). Его можно переписать так:


0
a (x²ⁿ

При x каждое слагаемое левой части последнего уравнения обращается в нуль. Доказано.

Частное обозначим

_{b x}2n

Тогда имеем тождество


0
_{a x}2n

(8)

Мы докажем, что

^b2n

Доказательство проведём методом математической ин-

дукции. Сравнивая коэффициенты при тождества (8), получим:

x^{2n 1} в левой и правой частях

a₀ (9)

Сравним свободные члены в левой и правой частях тождества (8).

Получим:

Из равенств (9) и (10) имеем: Предположим, что

(10)

b ²ⁿb ; b

2n 2_{b ; b}

^{2n 4}b ;...;b

2n 2k_{b ,}

где

2n 0 2n 1 1 2n 2 2 2n k k

0 k n .

Докажем, что тогда

^b2n k 1

2n 2k 2

b

.
k 1

Сравним коэффициенты при

_xk 1

в левой и правой частях

k 1 2n k 1 2n k
тождества (8). Получим: ^{2n 2k 1a b b .}

(11)

А сравнивая коэффициенты при тождества (8), получим: a_k

Из равенств (11) и (12) имеем:

_x2n k

в левой и правой частях (12)

Но так как ^b

казана

Теорема до-

Из теоремы 2 следует, что решение возвратного уравнения нечёт- ной степени сводится к решению возвратного уравнения чётной степени.

Доказательство. Разделим обе части уравнения (7) на

xⁿ . Полу-

чим

a xⁿ

0
Объединим первое слагаемое с последним, второе — с предпо- следним, третье — с третьим от конца и т. д. Получим:

a₀
Введём новое неизвестное y

(13)
. Докажем, что сумму

x

x^m при любом натуральном m можно представить в виде мно-

гочлена

f_m y степени т. Доказательство проведём методом

математической индукции.

При m имеем x

2 ₁ ² 2

При m

_{2 x}2

_x2

x 2 ,

x

k

то есть
k 1

_x2

_x2

y² 2 .

Допустим, что суммы x^k

_{и x}k 1

_xk

_{xk 1} , где k

1 , можно

представить в виде многочленов f_k

y и ^f_{k 1} ^{( у)}

степеней k и k

соответственно. Докажем, что тогда и сумму x^k

тоже мож-

но представить в виде многочлена

^fk 2

y степени k

2 . Име-

ем: x^k

или

_xk 2

k 2
_xk 2

yf_{k 1} ( у)

f_k ( у) . То есть x
где

k
Подставим в уравнение (13) вместо сумм, стоящих в скобках, их выражения через у. В результате получим уравнение степени n от у. Это уравнение имеет в области комплексных чисел n кор-

ней:

x

y₁, y₂ ,..., y_n . Неизвестное x найдём из n уравнений

каждое из этих уравнений легко преобразуется в квадратное урав- нение. Теорема доказана.

Симметрические уравнения

Определение 3. Уравнение ⁿ -ой степени называется симметриче-

ским, если у него равны коэффициенты при x^k

и при

_xn k _.

Таким образом, симметрическое уравнение имеет вид

a xⁿ

_{a x}n 1

...

_{a x}n k

...

a x^k

...

^{a x a 0} .

0 1 k k 1 0

Симметрическое уравнение является частным видом воз- вратного уравнения (здесь 1).

Примеры.

1. 
   Уравнение 2x⁴
   

3x³

5x²

3x 2 0 — симметрическое.

2. 
   Уравнение x⁵
   

2x⁴

_x3 _x2

2x 1 0 — симметрическое.

Из теорем 1, 2 и 3 о возвратных уравнениях вытекают следующие теоремы.

Теорема 4. Симметрическое уравнение нечётной степени имеет

корень x 1 .

Теорема 5. В результате деления симметрического уравнения

нечётной степени на ние чётной степени.

x получается симметрическое уравне-

Теорема 6. Симметрическое уравнение чётной степени 2n

вида (7) подстановкой y

сводится в области комплексных

x

чисел к уравнению степени п и к п уравнениям второй сте- пени