Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §

...........................

F_k (x, y,..., z) 0.

(2)

Теорема. Если

x x( y,..., z),

есть общее решение первого урав-

нения системы (2), то система (2) эквивалентна системе

x x( y,..., z),

F₂ (x( y,..., z), y,..., z) 0,

........................................

F_k (x( y,..., z), y,..., z) 0.
(3)

Перечислим преобразования системы уравнений, которые

приводят к системе, равносильной данной:

1. 
   любое уравнение системы можно заменить равно- сильным ему уравнением (см. определение 3 в параграфе 1);
   
2. 
   если из некоторого уравнения системы можно выразить одно из неизвестных через другие неизвестные, то это вы- ражение можно подставить в остальные уравнения системы;
   
3. 
   любое из уравнений системы можно заменить его ли- нейной комбинацией с другими уравнениями этой же систе- мы (линейную комбинацию уравнений получают, умножая каждое из уравнений на какое-либо постоянное число, от- личное от 0 (в общем случае эти множители различны), и складывая полученные уравнения почленно);
   
4. 
   к системе можно добавить любое следствие её уравнений (см. определение 4 в параграфе 1);
   
5. 
   если какое-нибудь уравнение системы является следст- вием прочих уравнений той же системы, то его можно отбро- сить (в частности, всякое уравнение системы, удовлетворяю- щееся тождественно, может быть отброшено);
   
6. 
   если какое-либо уравнение системы распадается на со- вокупность нескольких уравнений, то система равносильна совокупности систем, в каждой из которых все прочие урав- нения — те же, что и в исходной системе, а вместо распавше- гося на совокупность уравнения стоит одно из уравнений этой совокупности.