Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §

Преобразования графиков функций

В ряде случаев график заданной функции можно по- строить путём преобразования графика некоторой другой, уже изученной функции. Рассмотрим некоторые преобразо- вания графиков.

Задача 1. Дан график функции y f (х) . Построить

график функции y f (х) b .

Решение. Все ординаты графика функции y отли-

чаются на b от соответствующих ординат графика функции y f (х) . Но при изменении каждой ординаты на одну и ту же величину возникает новая линия: она получается из задан-

ной переносом каждой её точки на отрезок величины b (вверх,

если b

0 , и вниз, если b

0 ).

Таким обра- _y

зом, график функции ⁴

y=f(x)+2

y полу-

чается из графика ₂

функции y

^{с помощью парал-} 1

лельного переноса

y=f(x) y=f(x) – 1

на вектор

x

b(0;b) . ⁰

Если b 0 , то

график перено- сится вдоль оси (Оу) вверх, а если b вниз (см. рис. 1).

Рис.1

0 , то график переносится вдоль оси (Оу)

Задача 2. Дан график функции y f (х) . Построить график

функции y f (х а) .

Решение. Нетрудно заметить, что ордината графика функ-

ции

y f (х)

^{в точке} x

совпадает с ординатой графика

функции y f (х а)

в точке х. Так, ^y

f (х) f (1

при x 1

а)

a , а

y=f(x)

y=f(x – 2)

f (х а)

f (1 а)

y=f(x+1)

при

f (х)

x 1;

f (2 а)

при x 2 a , а

f (х а) f (2 а)

при x

2 и т.д.

- 1 2

Таким образом,

при изменении абс- ⁰ _x

цисс точек графика

функции y на

величину а мы полу- чаем снова те же ор- динаты графика

Рис. 2

на величину a (причём вправо, если a

0 , и влево, если a

0 ).

График функции y получается из графика функции

y f (х)

с помощью параллельного переноса на вектор

a( a, 0) .

Если a 0 , то график переносится вдоль оси (Ох) влево, если a 0 ,

то график переносится вдоль оси (Ох) вправо (см. рис. 2).

Задача 3. Дан график функции y

. Построить график

функции y f (x a) b .

Решение:

Используя результаты задач 1 и 2, заключаем, что для построения графика

функции y

нужно выполнить парал- лельный перенос на вектор

^{p( a, b)} графика функции

y f (х) , являющийся композицией (произведе- нием) параллельных пере-

носов на векторы и

^b(0,b) .

Заметим, что если вы- полнить параллельный пе- ренос системы координат (хОу), поместив начало

координат в точку

O '(

a,b) , то относительно новой системы

координат (x 'O ' y ')

трафик функции

y f (х а)

b занимает

такое же положение, что и график функции тельно системы (хОу) (см. рис. 3).

y f (х)

относи-

Задача 4. Дан график функции y f (х) . Построить график

функции y f (х) .

Решение. Рассмотрим случай m

1. Если m

0 , то все ординаты

графика функции y получаются увеличением в ^m раз соот-

ветствующих ординат графика функции

y f (х) . Если m

0 , то

mf (х)

m f (х)

и, следовательно, график функции y

может быть получен увеличением соответствующих ординат графика

функции y в m раз с последующим зеркальным отражением

графика функции

y m f (х) относительно оси (Ох).

Рассмотренное выше преобразование графика функции y

называется растяжением от оси (Ох) с коэффициентом ^m

(см. рис. 5 а и 5 6).

Рассмотрим случай m

1. 
   Если 0
   

m 1, то все ординаты гра-

фика функции

y mf (х)

получаются уменьшением соответствую-

щих ординат графика функции y

в ¹ раз.

m

лучен уменьшением соответствующих ординат графика

функции y

в ¹ раз с последующим зеркальным отражени-

m

ем графика функции

y m f (х) относительно оси (Ох).

Вышеописанное преобразование графика функции y на-

зывается сжатием к оси (Ох) с коэффициентом ^m .

Задача 6. Дан график функции y f (х) . Построить график

функции

y f (

х) .

Решение. Нетрудно заметить, что ордината графика функ-

ции

y f ( х)

в каждой точке ^x совпадает с ординатой

функции

y f (х) в точке (

х) . Так,

f ( х)

f (1) при x

1 , а

f (х)

f (1)

при x 1;

f ( х)

f (2) при x

2 , а

f (х)

т.д.

f (2)

при

x 2 и

y= f

Это означает, что график

функции y может

быть получен из графика

функции y зеркаль-

ным отражением относи- тельно оси (Оу) (см. рис. 6).

60

Решение. Рассмотрим случай k

1. Если k

0 , то ордината графика

функции

y f (kх)

в каждой точке x совпадает с ординатой функ-

ции y f (х) в точке kx . Так,

f (kx)

f (k)

при x

1 , а

f (х)

f (k)

при x k ;

f (kx)

f (х)

f (2k)

f (2k)

при x

при x

2 , а

2k и т. д.

Это значит, что график функции y f (kх) получается из графика

функции y сжатием с коэффициентом k вдоль оси (Ох).

Если k

0 , то

f (kх)

и, следовательно, график функ-

ции y

можно получить из графика функции y

сжа-

тием с коэффициентом k к оси (Ох) и последующим зеркаль- ным отражением (симметрией) относительно оси (Оу).

Рассмотрим случай k

1. Если 0

k 1, то график функции

y может

быть получен растя- жением графика

функции y с

коэффициентом k от оси (Оу). Если

1 k 0, то график

функции y

получается из графика

функции y

растяжением с ко- эффициентом k от

оси (Оу) с последующим зеркальным отражением относительно оси (Оу) (см. рис. 7).

Задача 8. Дан график функции y f (х) . Построить график

функции y .

f (х)

f (х) , если

f (х) 0 , и

f (х)

f (х) , если

f (х) 0 . По-

этому график функции

y f (х)

совпадает с графиком функции

y на тех промежутках, где f (х) 0 , а на тех промежутках,

где

f (х) 0 , график функции

y f (х)

может быть получен зер-

кальным отражением графика функции (Ох) (см. рис. 8).

y f (х)

относительно оси

Задача 9. Дан график функции y f (х) . Построить график

функции y f (| x |) .

Решение. Заметим прежде всего, что при x

и что функция y - чётная, а поэтому её график симметри-

чен относительно оси ординат. Тогда построение графика этой функции можно выполнить так: 1) построим график функции

y для x 0 ; 2) зеркально отразим построенн ый график от

оси ординат. Объединение полученных ветвей и является графи-

ком функции y (см. рис. 9).

x
Графический способ решения уравнений и не- равенств

На практике довольно часто оказывается, что аналитиче-

ский способ решения уравнения

f (х)

сопряжён с громоздкими

выкладками, а иногда и вообще неприменим. В таких случаях прибегают к тому или иному методу приближённого решения

^{дения корней уравнения} x³

4x²

x 2 0

потребовалось бы по-

строить график функции ^{решить уравнение} 2^x (3x

y x³

1) 1

4x²

x

24. 
    2 ^{, а при необходимости}
    

0 ^{пришлось б ы с т р о и т ь}

г р а ф и к ф у н к ц и и

24. 
    2^x (3x
    

1) 1

x ^{. В подобных случаях}

бывает целесообразно уравнение

f (х) 0

преобразовать к виду

f₁ (х) g₁ (х) , а затем построить графики функций y и

y g₁ (х)

функции

(если, разумеется, это проще, чем построение графика

y f (х) ) и найти абсциссы точек пересечения построен-

ных графиков.

Например, для решения уравнения x³

его можно

преобразовать к виду x³

4x²

x 2 , затем построить графики

функций y

и y 4x²

x 2 и найти абсциссы точек пересече-

ния этих графиков.

Пусть теперь дано неравенство

f (х) 0 ( f (х) 0) . Гра-

фический метод решения такого неравенства состоит в сле-

дующем: строят график функции y и находят на оси (Ох)

такие промежутки, на которых график расположен над осью (Ох) (под осью (Ох)).

Если дано неравенство

f (х)

g(х) ( f (х)

g(х)) , то для гра-

фического решения строят графики функций y f (х) и y и

выбирают те промежутки оси Ox , на которых график

функции y расположен выше (ниже) графика функции