Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §
§22 Тригонометрические операции над аркфункциями
жүктеу/скачать 186.94 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- §23 Соотношения между аркфункциями
- §24 Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями
§22 Тригонометрические операции над аркфункциямиТригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в резуль- тате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций
Равенства (1) и (2) не являются справедливыми при всех действи- тельных значениях х. Так, при x выражение arcsin x , a следова- тельно, и sin(arcsin x) , теряет смысл. Равенства (3) и (4) справедли- вы при всех действительных значениях х. Каждое из равенств (1) и (2) является тождеством в том смысле, что оно справедливо при всех значениях x , содержащихся в облас- ти определения как правой, так и левой частей. Ниже приведены всевозможные случаи выполнения тригоно- метрических операций над аркфункциями. Положив в формуле cos (выражающей косинус через синус) arcsin x , получим: cos(arcsin x) 1 sin2 (arcsin x) 1x2 . Перед радикалом взяли знак потому, что arcsin x принадл е- жит ппромежутку ; , на котором косинус неотрицателен. 2 2Итак, имеем: cos(arcsin x) 1 x2 , где x [ 1;1] . (5) sin(arccos x) 1x2 , где x [ 1;1].(6) Поскольку 0 arccos x , то sin(arccos x) 0 , поэтому пе- ред радикалом взят знак . tg(arcctg x)1 1 . Итак,
tg(arcctg x), где x xctg(arcctg x) x 0 . (7) Аналогично ctg(arctg x)1 , где xx (8) Применяя определение тангенса, формулы (1) и (5), получим: tg(arcsin x)sin(arcsin x) x . cos(arcsin x) 1 x2Итак, tg(arcsin x), где x ( 1;1) . (9) Аналогично выводятся формулы tg(arccos x), где x x[ 1;0) (0;1] , (10) ctg(arcsin x)ctg(arccos x), где x x , где x [ 1;0) (0;1] , (11)
Выведем формулу для cos(arctg x). При этом используем тож- дество
1 tg2 x 1 cos2 x и формулу (3); кроме того, учтём, что по- скольку arctg x ; , то cos(arctg x) 0 . Получим: 2 2cos(arctg x) Аналогично получается . (13)
sin(arcc tg x) 11 x2 (14)
Учитывая, что sin tg cos и применяя формулы (3) и (13), получим формулу sin(arctg x) . (15) Наконец, подобным же образом получится формула
cos(arcctg x)Пример. Преобразовать выражения (16)
sin(2arcsin x),cos(2 arccos x), tg(2 arctg x) . Решение. Применив формулу sin 2 2sin cos , а затем фор- мулы (1) и (5), получим: sin(2arcsin x) .Подобным же образом получаем тождества cos(2 arccos x) 2 cos2 (arccos x) 1 2x2 1;tg(2 arctg x) . Пользуясь теоремами сложения для тригонометрических функций и применяя формулы (1) - (16), можно доказать следующие тождества: sin(arcsin x cos(arccos x sin(arcsin xarccos y) xy arccos y) xy 1 x2 1 1 x2 1 ;
y2 ; cos(arcsin xarccos y) 1 x2 y x 1 y2 ; tg(arctg xarctg y) x y ; 1 xy x 1 y2 y 1 x2 tg(arcsin x arcsin y) .1 x2 1 y2 xy Теоремы сложения тригонометрии и формулы (1) – (16) служат основой и для вывода других подобных формул. Естественно, нуж- но иметь в виду, что каждая из этих формул рассматривается на пересечении областей определения её левой и правой частей. §23 Соотношения между аркфункциямиТеорема. При всех допустимых значениях х имеют место тож- дества: arcsin xarctg x ; (1)
2Доказательство. Перенося arccos x из левой части равенства (1) в правую, получим равносильное равенству (1) соотношение arcsin xarccos x . (1’) 2Докажем, что оно верно при всех x [ 1;1] . Оценим промежутки изменения левой и правой частей этого равенства. (по определению арксинуса); 0 определению арккосинуса), откуда (по
левая, и правая части равенства (1') принадлежат одному и тому же промежутку [ ; ] . Так как этот промежуток является промежут- 2 2ком монотонности синуса, то из равенства синусов от левой и правой частей можно будет сделать вывод о равенстве этих выражений. Таким образом, остаётся взять синус от обеих час- тей равенства (1') и убедиться, что они равны: sin(arcsin x)(1) доказано. x, sin 2arccos x cos(arccos x)x . Тождество Аналогично доказывается тождество (2). Ниже приведены формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых принадлежат одному и тому же проме- жутку длиной (одной и той же полуокружности тригонометриче- ской окружности). Выражение arcsin x через арктангенс. Поставим задачу выразить arcsin x (x через арктангенс: arcsin xarctg( f (x)) . Найдём f (х) . Обе части предыдущего равенства при x принадлежат промежутку , поэтому, беря от обеих частей одну и ту же тригонометрическую функцию, монотонную на этом промежутке (синус или тангенс), получим равенство, равносильное предыдуще- му (при x 1), из которого выразим f (х) через x . В нашем слу- чае целесообразно взять тангенс от обеих частей. Получим: f (х) tg(arcsin x) x . 1 x2 Итак, arcsin x arctgx , 1 x2 x ( 1;1) . (3) Выражение arctg x через арксинус. Так как arctg xarcsin
sin(arctg x) x , x 1 x2 , то
( ; )(4)
Выражение arccos x через арккотангенс. Аналогично соотноше- нию (3), из равенства ctg arccos xследует arccos xarcctg
x , 1 x2 x ( 1;1) . (5) Далее будем рассматривать пары аркфункций, области изменения которых являются несовпадающими промежутка- ми (например, арксинус и арккосинус, арккосинус и арктан- генс). Их можно выразить одна через другую на пересечении областей изменения. Если аргумент какой-либо аркфункций (то есть значение тригонометрической функции) положите- лен, то значения этой аркфункций заключены в промежутке . Отсюда следует, что каждая из аркфункций от по- ложительного аргумента может быть выражена через лю- бую другую аркфункцию. Так. например, . Значение какой-либо аркфункций от отрицательного ар- гумента принадлежит либо промежутку , либо
и не может быть представлено в виде аркфункций, значение кото- рой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так. например, arccos 3 5 arcsin 1 .2 6 6 2 Ниже приведены формулы преобразований одних аркфунк- ций в другие, значения которых выбираются в различных промежутках (полуокружностях тригонометрической окруж- ности). Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть y arcsin x . Если 0 x 1, то 0 y . Поскольку 2. Если же . Таким образом, имеем окончательно: arcsin x (6) Это соотношение можно переписать следующим образом: arcsinВыражение арккосинуса через арксинус. Аналогично ус- танавливается, что при 0 arccos x , если же 1 x 0 , то arccos x . Таким образом, arccos x(7)
Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения cos(arctg x) 11 x2 при x получим: arctg x arccos 1 .1 x2 Если же x 0 , то arctg x arctg(х) arccos 1 . 1 x2 Итак, arctg x (8) Выражение арккосинуса через арктангенс. Если 0 x чим arccos x 1, то из соотношения . x tg(arccos x) полу- xПри 1 x 0 1 x2 имеем: 1 x2 arccos xarccos( х) arctg arctg x x1 x2 Итак, arccos x arctg , если 0xx 1, (9)
1 x2 arctg , если 1 x 0.xАналогично, следуя методу, применённому в предыдущих че- тырёх пунктах, можно установить справедливость следующих ра- венств: arctg x1 arcctg , если x x(10) arcctg 1x1 , если x2 x 0. arcsin xarcctg , если 0 xx 1, (11) 1 x2 arcctg , если 1 x 0.xarcctg x (12) arcctg x (13) §24 Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциямиПри взятии обратных тригонометрических функций от тригоно- метрических функций, то есть при преобразовании выражений вида arcsin(sin x), arccos(cos x), arctg(tg x), arcctg(ctg x) нужно учи- тывать, в какой четверти находится аргумент х (если мыслить его дугой тригонометрической окружности) и в каком промежутке на- ходится значение данной аркфункции. Рассмотрим результат взятия функции arcsin от синуса, то есть функцию y arcsin(sin x) . По определению арксинуса, y есть число из промежутка (или дуга правой полуокружности), синус которого равен
Областью определения функции arcsin(sin x) является интервал x , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента u содержится на сегменте 1 u 1. При произвольном действительном х значение у (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при x имеем: но при x 2 3 Так как синус — периодическая функция, то arcsin(sin x) также является периодической функцией с периодом 2 , поэтому достаточно исследовать ее на сегменте длиной 2 . Если x , то y x ; таким образом, на этом сегменте график функции является отрезком биссектрисы первого и третьего координатных углов. Если x ; 3 2 2, то ( , а так как sin x sin x , то y x. Далее пользуясь переодичностью, в общем случае получаем: для y x 2 n, n Z , (то есть когда x ) Итак, имеем: arcsin(sin x) График функции y arcsin(sin x) изображён на рисунке 17: y y=arcsin(sin x) O x Рассмотрим функцию y arccos(cos x) .Рис. 17 Областью определения этой функции является R — множество всех действительных чисел. Функция периодическая с пе- риодом 2 . Функция чётная (так как чётной является функция cos x ). Поэтому достаточно исследовать её на промежутке длиной . Если x [0; ] , то, поскольку cos y cos x и 0 y , полу- чим: y x . При x y x .[ ; 0] (то есть когда [0; ] ) будем иметь: Вообще, при x [2 n; 2 n] (то есть при 0 ) по
предыдущему получим: x 2 n, n Z . Если же ж x [ 2 n; 2 n] (а значит x 2 n 0), то
y x 2 n, n Z . Итак,
arccos(cos x)Графиком функции у = arccos(cos х) является ломаная, изо- бражённая на рис. 18
Рассмотрим функцию y arctg(tg x) Согласно определению арктангенса tg y tg x , где . Выражение arctg(tg x) имеет смысл при всех действительных значениях, за исключением x . Следовательно, областью определения данной функции является объединение интервалов ... Данная функция периодическая с периодом , нечётная. При x в силу равенства тангенсов от у и от х получаем: y x . Вообще, для x (то есть при (x arctg(tg x)) получим: y x n , где n . Итак:
График функции y arctg(tg x) состоит из бесконечного множества па- раллельных между собой от- резков (см. рис. 19). Точки являются функции y точками разрыва первого рода
существует, но существуют различные между собой правые и левые пределы. Так, в точке левый предел 2lim (arctg(tg x)) x 0 2
lim (arctg(tg x)) .x 0 2
Рассмотрим функцию y arcctg(ctg x). Согласно определению арккотангенса ctg x ctg y , где 0 . Аналогично предыдущей функции имеем:
функции y arcctg(ctg x). Её график изображён на рис. 20. Исследование функций y
даря тождествам (1) и (2) параграфа 15. Рис. 20 ЛитератураВавилов, В.В. Задачи по математике. Алгебра: Справ. пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасичен- ко. – М.: Наука, 1987. – 432 с. Вавилов, В.В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: Справ. пособие / В.В. Вавилов, И.И. Мельников, С.Н. Олехник, П.И. Пасиченко. – М.: Наука, 1987. – 240 с. Виленкин, Н.Я. Алгебра и теория чисел. / Н.Я. Виленкин. – М.: «Просвещение», 1974. – 200 с. Виленкин, Н.Я. Элементарная математика / Н.Я. Виленкин, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: «Просвещение», 1970. – 222 с. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов. / Л.Я. Куликов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с., ил. Мантуров, О.В. Толковый словарь математических терминов / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.: ил. Новосёлов, С.И. Специальный курс тригонометрии / С.И. Но- восёлов. – М.: Высшая школа, 1967. - 536 с.: ил. Новосёлов, С.И. Специальный курс элементарной алгебры / С.И. Новосёлов. – М.: Высшая школа, 1962. – 564 с.: ил. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах / А.А. Панчишкин, Е.Т. Шавгулидзе. – М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1986. – 160 с. Шарыгин, И. Ф. Решение задач: Учеб. пособие / И.Ф. Шары- гин. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.: ил. жүктеу/скачать 186.94 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|