Лекции по элементарной математике Глава Элементы теории чисел § Метод математической индукции §

= а₀, поскольку при n


n
a gⁿ

1, a_n

0 выполняется неравенство

Запись N = а₀ однозначно определена, поскольку все числа от 1 до g–1 обозначаются различными цифрами.

Пусть уже доказано, что g-ичная запись для чисел N, таких что

0

Если

определена однозначно и пусть gⁿ

13. 
    g^{n 1} .
    

N a gⁿ

_{a g}n 1

...

a g a ,

n n 1 1 0

то а_п – частное от деления N на gⁿ, a ^{M a gn 1 ... a g a} ос-

n 1 1 0

таток при таком делении. Значит, а_п и М однозначно определены. Но по предположению индукции g-ичная запись числа М определена однознач-

но. Значит, и цифры

a_{n 1},..., a₀

однозначно определены. Иными слова-

ми, g-ичная запись числа N однознчно определена. С помощью индук- ции по п получаем, имеют лишь одну g-ичную запись.


k

a g

k 1

a g

n 1
Выведем теперь явную формулу для записи числа N:

n
N a gⁿ

^{n 1} ...

a g^k

_{k 1} a₀ . (2)

Для это разделим обе части равенства (2) на

g^k , 0

k n.

Т.к. ^a

то имеем: ^{ak 1} ... ^a0 1,

k
и потому

g g^k

Точно так же устанавливаем, что

E

(3^/ )

Из равенств (3) и (3') вытекает, что

a_k

Вместо громоздкой записи

N

обычно пишут N .

Черта сверху пишется для того, чтобы отличить эту запись от произ-

ведения чисел

a_n ...a₁a₀ . Индекс g (справа внизу) указывает, по какому

основанию записано число. При записи конкретного числа черта опус- кается. В десятичной системе счисления индекс 10 не ставится.

Пример 1. Найти десятичную запись числа

2346₇ .

2346₇

2 7³

3 7²

^{4 7 6 867} .

Проверим, переведем 867 в 7-ичную систему счисления.

867	7
7	123	7
16	7	17	7
14	53	14	2	7
27	49	3	0	0
21	4		2
6

Ответ: ⁸⁶⁷

Пример 2. Число ления.

23012₄

перевести в пятеричную систему счис-

1 способ.

23012₄

710	5
5	142	5
21	10	28	5
20	42	25	5	5
10	40	3	5	1	5
10	2		0	0	0
0				1

Ответ: 23012₄

§ 8 Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение периода дроби

Определение 1. Число

где a_i 0

называется правильной конечной десятичной дробью. Краткая запись:

0, a₁...a_n .

Из определения правильной десятичной дроби видно, что если

привести к общему знаменателю сумму ^{a1 a2} ... ^an , а затем со-

10 10 10ⁿ

кратить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель, то получится дробь, знаменатель которой имеет вид 2 5 .

Теорема 1. Пусть ^a

b

положительная правильная несократимая

дробь и дроби.

b Тогда ^a ,

b

представима в виде конечной десятичной

Доказательство.
a

b

Пусть

тогда

правильная конечная десятичная дробь.

Определение 2. Правильной бесконечной десятичной дробью называет-

ся ряд
0, a₁...a_n ...

где a_i

Краткая запись:

Определение 3. Бесконечная десятичная дробь

0, a₁...a_n ...

называется

чисто периодической с периодом длины s, если для всех k выполняется

a_k причем s – наименьшее натуральное число с таким свойством.

Краткая запись:

0,(a₁...a_s ).

Определение 4. Бесконечная десятичная дробь

0, a₁...a_n ... , не являю-

щаяся чисто периодической, называется смешанной периодической дробью с

периодом длины s, если найдется такое m что для всех

k a_k

причем s – наименьшее натуральное число с таким свой-

ством. Наименьшее натуральное ^m с указанным свойством, называется дли-

нойпредпериода. Краткая запись:

0, a₁...a_m (a_{m 1}...a_{m s} ).

Определение 5. Два целых числа a и b сравнимы по модулю m, пишут

1. 
   b mod m в том случае, когда a b делится на ^m.
   

a

Пример. Числа 27 и 3 сравнимы по модулю 8, 27

(27

Определение 6. Пусть (m, n) Порядком числа n по модулю ^m

называется наименьшее натуральное , такое, что ^{n 1(mod m).}

Лемма. Если <sup>a a1

a2</sup> ...

^an ..., ^то

b 10 10 10ⁿ

a_n

где E(x) целая часть числа х.

Доказательство.

взаимно прост с 10, тогда дробь ^a

b

представима в виде чисто перио-

дической десятичной дроби, период которой равен порядку числа 10 по модулю b.

Доказательство. Пусть порядок числа 10 по модулю b равен ^s.

s

Это значит 10

Тогда для любого k:

. Следовательно, ^c

целое число.

b

b b b b

E E
Из этого следует ¹⁰k s ^a

10^k a

10^k ac.

b b

10^{k s} a

₁₀k s 1 _a
10^k a _k

Из леммы

a_{k s} E _b

10E

b

E 10 ac

b

10^{k 1} a _{k 1}

10^k a

10^{k 1} a
^k Мы показа-

10 E

10 ac E

10E a .

ли, что

2. 
   b b
   

a_k a_{k s} . Покажем, что s – наименьшее натуральное число с таким

свойством. Предположим, что найдется натуральное число 0 t s, что для

всех k , ^a_k

a_{k t} .

В этом случае ^a₁

a_{1 t} , a₂

a_{2 t} ,..., a_t

a_2t ,...

Поэто-

му, Из этого следует

a 10^t _{t 1}

a a a

a₁10 ... a_t

1 _... t

... N ,

где

b 10 10^t b

N Поэтому a
следова-

тельно,

a(10^t

1) 0(mod b).

Поскольку (a,b) то

10^t

1. 0(mod b),

что противоречит условию минимальности s с таким

свойством. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть b

где

(b₁ ,10)

Тогда правильная

несократимая дробь ^a

b

может быть представлена в виде смешанной

периодической дроби 0, a₁...a_m (a_{m 1}a_{m s} )

с длиной периода s равной поряд-

ку числа 10 помодулю b₁ идлинойпредпериода m

Доказательство. Пусть Тогда

где

правильная несократимая дробь, N целое число,

b₁

^N По предыдущей теореме чисто перио-
дическая дробь с длиной периода s равной порядку числа 10 по модулю b₁.

Теорема доказана.

Для решения задач необходимы следующие знания: зная каноническое представление числа n, можем найти функцию Эйлера

ⁿ то
(п) n 1

¹ ... 1 ¹ .

p p

1 k

Если n p простое число, то ( р) p 1.

Теорема 4 (Эйлера). Если ^a такое число, что (a, m) то

a ^(т) 1(mod m). (Более подробно и с доказательством теорема Эйле-

ра рассматривается в курсе «Теории чисел»).

0,15

1 5 15 3 _.

10 10² 100 20

Ответ: Данную обыкновенную несократимую дробь ³

20

можно

представить в виде конечной десятичной дроби, у которой две цифры после запятой.

Пример 2. ⁵

13

можно представить в виде чисто периодической

десятичной дроби, т.к. 13,10

см. Т2.

Следовательно, необходимо найти только ^s количество цифр пе- риода, удовлетворяющее условию:

1 способ
Испытываем последователь- но делители числа

т.е. 1, 2, 3, 4, 6, 12. (см. О7, Т4

этого параграфа).

101	10(mod13)
102	100(mod13)
102	9(mod13)
103	1(mod13)
106	1(mod13)
106	1 13

Т.о., число цифр в периоде s

2. 
   способ
   

Ответ: Данную обыкновенную несократимую дробь ⁵

13

можно

представить в виде чисто периодической десятичной дроби, у которой 6 цифр в периоде.
Пример 3. можно представить в виде сме-

шанной периодической десятичной дроби см. Т3.

Следовательно, необходимо найти k количество цифр предперио-

да и ^s количество цифр периода. k

Следовательно, 1 цифра в предпериоде.

жүктеу/скачать 186.94 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: