МОДУЛЬ 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

МОДУЛЬ 8. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА И ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В ходе решения различных измерительных задач часто встречается необходимость математической обработки результатов измерений. В литературных источниках описание математической обработки результатов измерений часто сведено к статистической обработке некоторых абстрактных данных, свободных от систематической составляющей, что фактически отражает только одну сторону проблемы.

Анализ математической обработки результатов измерений позволяет выделить следующие типовые задачи:

• 
  обработка результатов прямых многократных измерений одной и той же физической величины (серии измерений);
  
• 
  расчет результатов косвенных измерений физической величины, в том числе при многократных прямых измерениях каждой из величин, входящих в формулу для расчета результатов косвенных измерений;
  
• 
  обработка результатов измерений массива номинально одинаковых величин;
  
• 
  обработка результатов измерений разных величин или изменяющейся физической величины.
  

В метрологии для повышения достоверности и представительности результатов достаточно часто прибегают к многократным повторениям операции измерений одной и той же физической величины. При этом каждый единичный результат называют наблюдением при измерении, а результат измерений получают как интегральную оценку всего массива наблюдений. Поэтому в метрологии под математической обработкой результатов измерений традиционно понимают обработку результатов многократных прямых или косвенных измерений одной и той же физической величины.

Математическая обработка включает два принципиально разных направления: детерминированную обработку результатов измерений и статистическую обработку. Детерминированная математическая обработка результатов измерений в обязательном порядке применяется при получении результатов косвенных измерений. Например, для определения плотности некоторого вещества измеряют массу и объем одного и того же образца, после чего рассчитывают его плотность. В линейно-угловых измерениях часто рассчитывают угол по результатам измерений длин, межосевые расстояния отверстий по координатам осей и т.д.

При наличии систематических тенденций изменения результатов многократных измерений одной и той же величины также можно применить детерминированную математическую обработку результатов. В ходе этой обработки стремятся получить аналитическое описание систематической составляющей погрешности измерений. Такое описание позволяет исключить из дальнейшего рассмотрения переменные систематические погрешности. Результаты измерений, из которых исключены систематические погрешности, в метрологии называют «исправленными». Данные после полного или частичного «исправления» можно подвергать статистической обработке. Под «частичным исправлением» мы понимаем исключение переменной систематической составляющей погрешности. В таком случае математическая обработка позволяет получить неискаженные оценки вида распределения и его моментов, кроме оценки математического ожидания (она может оказаться смещенной из-за неисключенной постоянной составляющей систематической погрешности).

Задача обработки массива результатов измерений номинально одинаковых величин может появиться в ходе измерительного контроля неидеального объекта с множеством однородных физических величин, заданных одним параметром. Если расхождения результатов в предыдущих группах задач были обусловлены только погрешностями измерений, то в рассматриваемой задаче сами измеряемые величины могут существенно различаться. Например, шарик для подшипника качения не является идеальной сферой и имеет бесконечное число толщин, которые нормированы как один диаметральный размер. Еще более сложные задачи возникают при контроле партии однородной продукции по одному из параметров, при измерениях номинально одинаковых физических величин, многократно воспроизводимых в ходе экспериментальных исследований технологических процессов и т.д.

Последняя задача – обработка результатов измерений разных величин или изменяющейся физической величины – характерна для экспериментальных исследований, связанных с выявлением характера изменения исследуемой величины (параметра) при контролируемом изменении одного или нескольких аргументов. В метрологии такие задачи характерны для поверки и калибровки средств измерений, а также для метрологической аттестации средств измерений и методик выполнения измерений.

Отсутствие четкой постановки задачи обработки результатов измерений часто приводит к недоразумениям, в том числе к искажению получаемых результатов за счет перемешивания случайных (стохастических) результатов воспроизведения измеряемых величин и случайных погрешностей измерений этих величин. Дополнительные искажения могут внести неисключенные систематические составляющие, вне зависимости от источников их появления (возможны систематические изменения при многократном воспроизведении номинально одинаковых измеряемых величин и/или систематические погрешности измерений одной физической величины).

Статистическая обработка некоторых произвольных «исправленных» результатов (любых стохастически изменяющихся значений, будь то результаты измерений или результаты многократного воспроизведения номинально одинаковых величин) рассмотрена во многих литературных источниках. Корректно выполненная статистическая обработка «исправленных» результатов измерений отличается строгой постановкой задачи и соблюдением требований метрологической нормативной документации (ГОСТ 8.207-76, МИ 1317-86 и др.).

Подготовка массива результатов измерений к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляющих, задача минимум – в исключении переменных систематических составляющих. Следует признать, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей. Методы выявления, оценки и исключения систематических погрешностей и методы оценки неисключенных остатков систематических погрешностей рассмотрены в соответствующем модуле.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же физической величины.

1. Расчет среднего арифметического значения X_ср (получение точечной оценки результата измерения)

2. Расчет отклонений V_i результатов наблюдений от среднего арифметического

2a. Проверка правильности расчетов значений отклонений и среднего арифметического

Если сумма значимо отличается от нуля, то либо неправильно рассчитаны отклонения, либо среднее арифметическое значение и отклонения. Несущественные отклонения от нуля возможны из-за округления среднего арифметического.

3. Расчет оценки с к о результатов наблюдений

_________________________

4. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона ² (рекомендуется использовать при n > 100) или Мизеса-Смирнова ². При 15 < n < 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (W).

Проверки по критериям согласия проводят при уровне значимости q от 10 % до 2 %. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.

При n ≤ 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.

5. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

При наличии результатов, подозрительных на наличие грубой погрешности, определяют критерий ν для статистического отбраковывания экстремальных результатов X_extr и сравнивают его с критическим значением ν'

ν = ( |X_extr – X_ср| / σ) > ν'.

При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию 3σ

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с п.1.

6. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки с к о среднего арифметического значения)

_{˜ ˜} __

σ_Xср = σ_X /√ n

7. Расчет значения границы погрешности результата измерения Δ (по модулю)

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа результатов наблюдений n и принятой доверительной вероятности Р;

Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями, либо существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента и т.д.

При наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θ_i рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности

_{_________}

/ _m

Θ = k √ Σ Θ_i² ,

^{i =1}

причем k принимают равным 1,1 при Р = 0,95 или 1,4 при Р = 0,99, если m > 4; при m < 4 k = f(m, l) – см. таблицу 1 или графики в ГОСТ 8.207-76, а

где Θ₁ – максимальная систематическая составляющая погрешности,

Таблица 1 – Значения k для различных l и m

l	m
	1	2	3
0,5 1,0 2,0...4,0 5,0...7,0	1,20 1,28 1,18 1,06	1,35 1,37 1,25 1,12	1,40 1,42 1,28 1,15

В случае промежуточных значений 0,8σ_Xср ≤ Θ ≤ 8,0σ_Xср в качестве границы погрешности результата измерения принимают значение Δ, определяемое как результат компонирования распределений случайной и систематической погрешностей. В этом случае считают, что неисключенные систематические погрешности в результате их самопроизвольной рандомизации имеют равновероятное распределение (худший из возможных вариантов), а границу определяют из выражения

где К– коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей.

σ_u – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения, который вычисляют с использованием зависимости

_____________

_{/ ˜ m}

σ_u = ( √ σ²_Xср + Σ Θ_i² /3 ) .

8. Запись результата измерения A в установленной форме

где X_ср – точечная оценка результата измерений, рассчитанная как среднее арифметическое значение для всей серии наблюдений;

где t – коэффициент Стьюдента;

σ_u – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения при наличии случайной и неисключенной систематической погрешностей;

Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений можно представить следующим образом:

1. Статистическая обработка результатов прямых измерений и нахождение X_{ср i} и σ_{ср i} .

2. Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки результата косвенных измерений)

Q = f(X_ср1, X_ср2,..., X_{ср n}).

3. Определение оценки каждой частной погрешности с учетом ее весового коэффициента

E_Xi =k_iσ_{ср i} ,

где k_i = дf/дX_i

|X_i = X_{i ср}.

4. Определение оценки погрешности (среднего квадратического отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратического отклонения (оценка погрешности косвенного измерения) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции R_ij

σ_Q = √ Σ (E_Xi)² + Σ R_ij E_i E_j ,

Значение коэффициента корреляции R_ij можно рассчитать с использованием зависимости

Σ (X_i – X_iср) (X_j – X_jср)

R_ij = -------------------------------

n(n – 1) σ_i σ_j

При практическом отсутствии корреляции между величинами, получаемыми в результате прямых измерений, что имеет место, например, в независимых измерениях длин для определения объема или длин и массы для расчета плотности

σ_Q = √ Σ (E_Xi)²

5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зависимости от выбранной доверительной вероятности Р и запись результата косвенного измерения в установленной форме

Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:

• 
  точечную оценку результата измерения;
  
• 
  характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);
  
• 
  указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.
  

Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).

Характеристики погрешностей измерений или статистические оценки:

• 
  среднее квадратическое отклонение погрешности;
  
• 
  среднее квадратическое отклонение случайной погрешности;
  
• 
  среднее квадратическое отклонение систематической погрешности;
  
• 
  нижняя граница интервала погрешности измерений;
  
• 
  верхняя граница интервала погрешности измерений;
  
• 
  нижняя граница интервала систематической погрешности измерений;
  
• 
  верхняя граница интервала систематической погрешности измерений;
  
• 
  вероятность попадания погрешности в указанный интервал.
  

Возможные характеристики погрешностей включают аппроксимации функции плотностей распределения вероятностей или статистические описания этих распределений. Функцию плотностей распределения вероятностей погрешности измерений считают соответствующей усеченному нормальному распределению, если есть основания полагать, что реальное распределение симметрично, одномодально, отлично от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.

Если есть основания полагать, что реальное распределение погрешностей отлично от нормального, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотностей распределения вероятностей. В таком случае принятая аппроксимация функции указывается в описании результата измерений, например: «трап.» (при трапециевидном распределении) или «равн.» (при равновероятном).

В состав условий измерений могут входить: диапазон значений измеряемой величины, частотные спектры измеряемой величины или диапазон скоростей ее изменений; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений, а также, при необходимости, и другие факторы.

Требования к оформлению результата измерений:

• 
  наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;
  
• 
  характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом для статистических оценок цифра второго разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;
  
• 
  допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказываемый младший) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда равной или больше 5 и в меньшую сторону при цифре меньше 5.
  

1. 
   (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95.
   
2. 
   32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98 – 86, вариант 7к.
   
3. 
   (32,010…32,018) мм; Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10 кл. точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 кл. точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм; температурный режим измерений ± 2 ^оС.
   
4. 
   72,6360 мм; Δ_н= – 0,0012 мм, Δ_в= + 0,0018 мм, Релей; Р = 0,95.
   

5. 
   10,75 м³/с; σ (Δ) = 0,11 м³/с, σ (Δ_с) = 0,18 м³/с, равн. Условия измерений: температура среды 20 ^оС, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 ^–6 м²/с.
   

В третьем примере точечная оценка и границы погрешности измерений не указаны, представлены границы интервала, который с выбранной доверительной вероятностью (0,95) накрывает истинное значение измеряемой величины. Отличительной особенностью четвертого примера является асимметричное распределение случайных погрешностей. Поэтому кроме точечной оценки (72,6360 мм) указаны асимметричные границы погрешности измерений – 0,0012 мм и + 0,0018 мм и вид распределения, поскольку он отличен от нормального. В описание результата включено и значение доверительной вероятности (0,95), с которой погрешность измерений не выходит за указанные границы. В пятом примере значение доверительной вероятности не указано, что можно рассматривать как формальное несоответствие требованиям обеспечения единства измерений. Однако противоречие не принципиальное, а скорее кажущееся, поскольку переход к оценке границ областей рассеяния случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности измерений требует выбора доверительной вероятности. Расчет осуществляется через коэффициент Стьюдента t, а его значение зависит от числа степеней свободы и от выбранной доверительной вероятности, которая должна быть одинакова для обеих составляющих (случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности). В качестве комментария следует сказать, что такая полная форма годится только для экзотических исследовательских ситуаций и непрактична в производственном употреблении, для которого желательна комплексная оценка погрешности измерения, например, полученная в результате компонирования двух описывающих составляющие погрешности функций в соответствии с ГОСТ 8.207. Можно предложить графическую интерпретацию результата измерений на числовой оси физической величины. Тогда для первого из приведенных примеров (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95 результат выглядит как показано на рисунке 8.1.

На оси физической величины Q указаны точечная оценка результата измерений (8,334 г) и границы погрешности (± 0,012) г. Для представления доверительной вероятности проводим ось ординат (ось плотности вероятности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измерений, и строим в полученной системе координат кривую нормального распределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между границами погрешности измерений ± Δ. При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдента t. Зона между зафиксированными предельными значениями Х – Δ и Х + Δ с выбранной доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой физической величины, но поскольку фактически результат измерений представлен не в виде единичного значения, а как числовой интервал, принято говорить о «неопределенности измерений».