Лекция 10 «применение теории вероятностей и математической статистики»
жүктеу/скачать 1.21 Mb.
|
| Пример 3. Пусть статистическая вероятность повреждения любой фазы линии составляет 0,001. Примем также, что если повреждение одной фазы произошло, то повреждение любой другой фазы будет иметь статистическую вероятность 0,2, т. е. условная вероятность повреждения второй фазы при повреждении первой равна 0,2. Кроме того, пусть аналогичные вероятности повреждения третьей фазы при повреждении двух других составляют 0,5. Определим соотношения вероятностей одно-, двух- и трехфазных коротких замыканий при условии, что авария началась с повреждения одной фазы.
Вероятность аварийного повреждения двух фаз [см. 8] р' = 0,2·0,001 = 0,0002. Вероятность аварийного повреждения трех фаз р" = 0,5·0,0002 = 0,0001. Определим условные вероятности развития аварии, т. е. условные вероятности повреждения других фаз. Пусть статистические наблюдения установили, что однофазных коротких замыканий в данной сети за некоторый длительный период времени было 100, а в 20 случаях из них повредилась и другая фаза. Тогда на основании формулы (3-7) можно получить условную вероятность повреждения и другой фазы: Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В)= 20/100 = 0,2, так как число аварий можно считать пропорциональным вероятности. Таким образом, соотношения вероятностей одно-, двух- и трехфазных повреждений будут: 0,001; 0,0002; 0,0001, или примерно 77% однофазных, 15% двухфазных и 8% трехфазных. При большом числе однотипных агрегатов в электрической системе вероятности повреждения различного числа агрегатов могут быть определены по биноминальной формуле вероятности для схемы независимых испытаний (схема Бернулли). Во многих практических случаях при многократных независимых испытаниях могут быть только два исхода: случайное событие А произойдет или не произойдет. Пусть вероятность того, что в каждом из этих независимых испытаний событие А произойдет, равна р, где р — статистическая вероятность. Тогда вероятность противоположного события (событие А не происходит) q = 1– р. Зная р или q, можно определить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А, например повреждение агрегата, случится т раз. Обозначим эту вероятность через . Она равна произведению числа комбинаций из п по т на вероятность события в степени т и на противоположную вероятность в степени (п – m): (9) Выражение (9) называют формулой биноминального распределения. Очевидно, что (10
так как эта сумма охватывает все возможные события (т варьируется от 0 до п). Формулу (9) можно получить также, рассуждая следующим образом. Рассмотрим выражение (q+p)n. Оно, очевидно, равно единице, так как (q+p)=1. Разлагая п-ю степень бинома (q+ р) в ряд по известному закону, получим (11) Нетрудно понять смысл членов разложения. Первый член qn соответствует вероятности того, что в п испытаниях событие А не произойдет ни разу, т. е. равен ; второй член — вероятности того, что в п испытаниях событие А произойдет только один раз, т. е. равен . Действительно, вероятность того, что событие произойдет при каком-то одном определенном испытании, будет pqn-1, а вероятность того, что событие произойдет при каком-то любом одном испытании, в п раз больше и т. п. Член разложения (m+1)-й, соответствующий вероятности того, что событие происходит т раз, равен, т. е. , т.е. [см. 9]. Вместо различных испытаний рассмотрим различные однотипные агрегаты, предполагая, что вероятность аварийного состояния для каждого из агрегатов одинакова и равна q. Пример 4. Пусть в энергосистеме имеется группа из n однотипных агрегатов (например, котлов или турбин), находящихся в совершенно одинаковых условиях; вероятность исправного состояния агрегата равна р, а вероятность противоложного события, т. е. неисправного состояния агрегата (аварийного ремонта), равна q. Найдем вероятность рабочего состояния т агрегатов из числа n, причем т изменяется от 0 до n. Нетрудно убедиться в том, что разложение по (11) определяет искомый ряд вероятностей. В самом деле, qn – это, очевидно, вероятность того, что все агрегаты повреждены и число работоспособных агрегатов равно нулю; npqn-1 – вероятность того, что только один агрегат находится в рабочем состоянии; — вероятность рабочего состояния т агрегатов; рn — вероятность того, что все агрегаты находятся в исправном состоянии. Если определять вероятность не рабочего состояния, а аварийного повреждения различного числа агрегатов, то целесообразно записать тот же ряд в следующем порядке: (11a) где (m+l)-й член определяет вероятность выхода из работы т агрегатов, равную . Если, например, п = 5, р = 0,98 и q = 0,02, то вероятность отсутствия аварийных выходов рn = 0,985 = 0,905. Вероятность аварии с одним агрегатом npn-1q = 5·0,984·0,02 = 0,0923 и т. д. жүктеу/скачать 1.21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|