Лекция 10 «применение теории вероятностей и математической статистики»
Классическое определение, или подсчет вероятности
жүктеу/скачать 1.21 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Статистическое определение вероятности
| Классическое определение, или подсчет вероятности, применимо только в том случае, если изучаемые случайные события образуют так называемую полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий. События, образующие такую группу, называются случаями. Это означает, что одно событие из совокупности случайных событий должно произойти обязательно, т. е. возникновение хотя бы одного из событий достоверно. Кроме того, два события из этой группы одновременно возникнуть не могут, и любое из событий данной группы имеет одинаковую вероятность. В этом случае вероятность считают равной отношению числа случаев, когда данное событие происходит, к общему числу возможных случаев. Понятие классического определения вероятности может применяться редко, так как обычно на практике общее число случаев, а также число «благоприятных» случаев, когда данное событие происходит, не может быть подсчитано. Кроме того, допущение о равной возможности тех или иных событий данной группы не всегда удается доказать. Поэтому в энергетике, например, приходится пользоваться только статистическим определением вероятности.
Статистическое определение вероятности, как показывает само название, базируется на статистических материалах. Наблюдая какое-либо случайное событие или осуществляя соответствующие испытания, можно определить относительную частоту возникновения данного события. При достаточно большом числе наблюдений или испытаний относительная частота возникновения события колеблется около некоторой постоянной величины, называемой статистической вероятностью данного случайного события. Ее можно определить достаточно точно, если произвести большое число наблюдений или испытаний. Отсюда следует, что использовать аппарат теории вероятностей для решения каких-либо практических задач нельзя, не располагая необходимым исходным статистическим материалом достаточного объема. Различные случайные события символически обозначаются большими буквами А, В, С; достоверное событие обозначается буквой U, а невозможное событие – буквой V. Различные связи случайных событий и их символическое изображение даются ниже 1: . Событие А содержится в В, т. е. если событие А происходит, то обязательно происходит и событие В; А=В. Событие А происходит, если происходит В, и наоборот. Это условие эквивалентно двум условиям: и ; 3) АВ. События А и В происходят одновременно; А+В. Происходит или событие А, или событие В, или оба одновременно (происходит хотя бы одно из событий А и В); А — В. Событие А происходит, но при этом событие В не происходит; — событие противоположное А. Если А происходит, то не происходит, и наоборот. При этом A+ =U, т.е. одно из событий А и обязательно происходит. Кроме того, A· = V, т. е. одновременно A и не могут происходить; AB = V. События А и В несовместимы, т. е. одновременно произойти не могут. Отличие несовместимых событий or противоположных в том, что несовместимые события могут не происходить; A = B1 + B2 + B3 и B1B2 = B1B3 = B2B3 = V. Событие A подразделяется на частные случаи: B1, B2 и B3, которые попарно несовместимы. Событие A может не происходить вообще; В1 + В2 + В3 = U и B1B2 = B1B3 = B2B3 = V. Полная группа несовместимых событий. Одно из них обязательно происходит (в отличие от п. 8). Наглядное графическое представление указанных связей между случайными событиями дает рис. 1, на котором всем рассмотренным случаям соответствует квадрат с площадью, равной единице. На площадь этого квадрата произвольно ставится точка, что соответствует некоторому конкретному случаю. Если точка попадает в область A, то событие A происходит. Если она попадает вне области А, то событие А не происходит (площадь области А характеризует вероятность события А). Заштрихованная часть квадрата соответствует событию. В дальнейшем будем обозначать вероятность события А через Р (A) 2. Два случайных события, например А и В, будут считаться независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого, и зависимыми — в обратном случае. Рис.1 Обычно в энергетике приходится изучать вероятности не простых случайных событий, а сложных случайных событий, являющихся комбинациями ряда простых (элементарных). Определение вероятности сложного события через известные значения вероятности простых событий производится исходя из так называемых законов вероятности сложных событий. Для независимых случайных событий эти законы могут быть сформулированы следующим образом: 1) вероятность возникновения хотя бы одного из двух случайных независимых и несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий. Возникновение одного из двух случайных событий А и В символически обозначается их суммой А + В: Р(А + В) = Р(А) + Р(В); (1) 2) вероятность возникновения хотя бы одного из двух независимых и совместимых случайных событий А и В может быть записана как Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ); (2) 3) вероятность одновременного возникновения двух несовместимых событий А и В равна нулю. Одновременное возникновение двух событий А и В символически обозначается их произведением АВ. В данном случае Р(АВ) = 0; (3) 4) вероятность одновременного возникновения двух независимых и совместимых событий равна произведению их вероятностей: Р(АВ) = Р(А)Р(В); (4) 5) сумма вероятностей противоположных событий равна единице. Событие , противоположное данному событию А, всегда происходит, если не происходит событие А, и всегда не происходит, если событие А происходит, т. е. Р( ) + Р(А) =1. (5) Вероятность противоположного события Р( )=1 – Р(А). (6) Рассмотрим применение указанных законов в энергетике. жүктеу/скачать 1.21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|