Лекция 10 «применение теории вероятностей и математической статистики»
жүктеу/скачать 1.21 Mb.
|
| Пример 6. В энергетической системе, включающей четыре однотипных генератора, требуется найти вероятность одновременного выхода из строя нескольких генераторов.
Вероятность аварийного выхода каждого q = 0,02, вероятность рабочего состояния p = 0,98. Случайной величиной будем считать число агрегатов т, вышедших в аварию. Эта величина является дискретной и может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Пользуясь формулой биноминального распределения, можно найти вероятность выхода из работы агрегатов . Сделав подсчет по этой формуле, получим таблицу распределения вероятностей случайной величины — числа аварийных агрегатов:
Сумма вероятностей равна единице. Закон распределения вероятностей непрерывных случайных величин нельзя представить в виде таблицы, так как число значений таких случайных величин бесконечно даже в ограниченном интервале. Кроме того, вероятность получить какое-либо определенное значение равна нулю. Вероятность того, что какая-либо непрерывная случайная величина имеет какое-то определенное значение, бесконечна мала. В данном случае нулевое значение вероятности попадания в определенную точку связано не с невозможностью самого события (отсутствие случаев, когда оно может произойти), а с бесконечно большим числом возможных случаев. Поэтому для непрерывных случайных величин определяют вероятности попадания не в точку, а в некоторый интервал. Для количественной оценки вероятностей как непрерывных, так и дискретных случайных величин вводят функцию распределения F(х), которая, по определению, равна вероятности того, что данная случайная величина η (непрерывная или дискретная) попадает в интервал значений от — ∞ до некоторого значения х, т. е. она меньше, чем х: F(x) = P(– ∞ ≤ η < х). (12) Из определения следует, что F(– ∞) = 0 и F (+ ∞) = 1. Чтобы найти функции распределения дискретной случайной величины, можно использовать таблицы распределения, производя суммирование вероятностей слева направо. Для примера (6) F(0) = 0; F (l) = 0,92237; F(2) = 0,99767; F(3) = 0,99997; F(4) = l. Для непрерывных случайных величин функция распределения задается аналитически, если это возможно, или графически. По заданной функции распределения можно вычислить вероятности попадания случайной величины в определенный интервал значений (x1, х2). Если известны значения F(x1) и F(х2) для случайной величины η, то искомая вероятность попадания в интервал P (x1 ≤ η < х2)= F(х2) - F(x1), (13) т. е. для того, чтобы определить вероятность попадания непрерывной случайной величины η в интервал (x1, х2), где x1<х2, достаточно взять разность функций распределения при значениях х2 и x1. Закон распределения вероятностей непрерывных случайных величин может быть определен заданием не функции распределения, а плотности распределения вероятностей φ(х), которая представляет собой производную от функции распределения по значению случайной величины 3 х: φ(x) = dF (x)/dx. (14) Следовательно, F(x)= . (15) Если плотность распределения вероятностей задана аналитически, то вероятность попадания непрерывной случайной величины в какой-либо интервал (x1, х2), где х1 < х2, (16) т. е. равна интегралу от плотности распределения вероятностей, взятому в пределах искомого интервала. В энергетике широко применяют случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее нормальное, общее нормальное, биноминальное, по закону Пуассона. жүктеу/скачать 1.21 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|