Лекція 2 Теорія ігор (продовження)
жүктеу/скачать 453.14 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Рішення біматричної гри у змішаних стратегіях методом зигзагів
| Приклад. Знайти точки рівноваги Неша , точки рівноваги в строго домінуючих стратегіях та Парето-оптимальні точки в матричній грі двох гравців із заданими платіжними матрицями:
Рішення Очевидно, жодна зі стратегій не є домінованою . Тому рівноваги в строго домінуючих стратегіях немає. Для визначення рівноваг Неша підкреслимо найбільші виграші кожного з гравців при фіксованих ходах супротивника: Е лементи з подвійними підкресленнями будуть рівновагами Неша: (a; d); ( b, с -, ( b; d ). Для визначення Парето-оптимальних результатів зручно зобразити всі точки біматричної гри в площині виграшів ( по осях відкладаємо виграші гравців). П Рішення біматричної гри у змішаних стратегіях методом зигзагів З'ясуємо, чи існують у цій грі рівноважні за Нешем профілі змішаних стратегій. Нехай стратегії а і b грають із ймовірностями p і 1 - р відповідно, а стратегії с і d - з ймовірностями q і 1 - q . Запишемо матрицю очікуваних виграшів першого та другого гравців: Максимізуємо функцію змінної р є [0;1] при постійному значенні q . До аналогічного результату наводить розгляд раціонального поведінки другого гравця, що оптимізує u 2 ( p , q ) по змінній q при постійному значенні р: Зобразимо отриманий результат координатах ( q,р ): Рівнява Неша : Приклад . Знайти точки рівноваги Неша (у змішаних стратегіях) та Парето-оптимальні точки у матричній грі двох гравців із заданими платіжними матрицями: з d a (1; 2) (4; 1) b (3; 0) (1; 3) Рішення Очевидно, що домінуючих стратегій у грі немає. Точок рівноваги Неша у чистих стратегіях також немає. Парето-оптимальні профілі: ( a ; d ) та ( b ; d ). Розглянемо змішані стратегії гравців. Нехай стратегії a і b і граються з імовірностями р і 1-р відповідно, а стратегії з і d - з імовірностями q і 1 - q . Запишемо матрицю очікуваних виграшів першого та другого гравців: Очевидно, перший гравець вирішує завдання Розв'язанням задачі є Ці три випадки представлені на малюнку зигзагом : Аналогічно другий гравець вирішує завдання Розв'язанням задачі є Ці три випадки представлені на малюнку . Поєднуючи зигзаги обох гравців, отримаємо таке. Точка N ( p = 0,75; q - 0,6), очевидно, є точкою рівноваги Неша у змішаних стратегіях, оскільки вона отримана в результаті розв'язання задач максимізації функції u 1 ( p , q ) р і w u 2 ( p, q ) по q . Відповідь:, рівновага Неша : Я кщо вирішити цим методом зигзагів гру « Сімейна суперечка » , то отримаємо три точки рівноваги Неша : Перші дві з них відповідають вибору чистих стратегій (Балет; балет) та (Футбол; футбол). Третя точка є точкою рівноваги Неша в змішаних стратегіях. жүктеу/скачать 453.14 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|