Лекция: 30 сағат CӨЖ 30 сағат обсөЖ: 30 сағат Барлық сағат саны: 90 сағат Аралық бақылаулар саны: 2(40 балл)

1. Интегралдық теңдеулер

2. Лаплас түрлендірунен пайдалану

Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.
Лекцияның мәтіні:
Ізелінді функция интеграл белгісінің астында тұратын болса, мұндау теңдеу интегралдық теңдеу деп аталады.

Мысалы,

Коши есебінің шешімін табу келесі

интегралдық теңдеудің шешімін табуға эквивалент.

Егер у(х) ізделінді функция теңдеуге сызықты еңсе, онда интеграл теңдеу сызықты инетегралды теңдеу деп аталады.

Мына түрдегі теңдеу

Фредголмның екінші түрдегі сызықты интегралдың теңдеуі деп аталады.

Мұнда К(x,t), f (x)-берілген функция, у(х)- ізделінді функция, а және б тұрақтылар. К(x,t)-функциясы теңдеудің ядросы деп аталады.

Мына түрдегі теңдеу

Вольтерраның екінші түрдегі сызықты интегралдың теңдеуі деп аталады.

Егер (1)-ші және (2)теңдеулерде f(x)≡0 болса, онда теңдеу біртекті деп аталады.

Егер у(х) ізделінді функция тек интеграл белгісінің астында болса, онда сәйкесінше Фредгольм теңдеуі немесе Вольтерраның бірінші түрдегі интегралдық теңдеуі деп аталады.

Немесе

Мына түрдегі Вольтерраның теңдеуні қарастырайық

Бұл теңдеу Вольтерраның қажетті класына кіреді. Олар кейде үйірткі типі интегралдық теңдеу деп аталады.

түрдегі Вольтерраның үйірткі типті интегралдық теңдеуін қарастырамыз. болсын.

Үйірткі формуланысы және Лаплас түрлендіруінен пайдаланып (1) ден табамыз.

Бұл жерден

Вольтерраның бірінші түрдегі интеграл теңдеуі де х-t ға қатысты шешімі осыған ұқсас шешіледі.

2. Логарифм және көрсеткіштің кескінделуі.

3. Интегралдық синус және интегралдық косинустың кескіндеуі

4. Френел интегралдық кескіндеуі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.
Лекцияның мәтіні:
Бессель функциясының кескіндеулері ν ≥0 те функция

экспоненциал типті толық функция болуы белгілі.

Жуықтау теоремасынан пайдалансақ

ны аламыз. Бұл жерде ν =0 болғанда

Бұдан төмендегі келіп шығады.

дан пайдалансақ, (1) формула n=1 да дұрыс болады.

Енді формуланы n ≥2 болғанда кез келгенін де дұрыс болатындығын көрсетейік. екенін ескерсек

аламыз. (2) формула дәлелденді.

Энді Логарифм және көрсеткіштік функцияларды қарастырамыз.

болсын. Онда түпнұсқа және кескіндеуді қасиеттерінен және пайдалансақ

бірақ бұдан төмендегі келіп шығады.

p=1 қойсақ

табамыз. Бұл сан Эйлер тұрақтысы деп аталады.

Демек,

мұнда с- Эйлер тұрақтысы.

Енді қарастырамыз.Төмендегіні аламыз

мұндағы с- тұрақты туынды. Бірақ түпнұсқа және кескіндеуді қасиеттерін ескерсек

және

Интегралдық синус және интегралдық косинустың кескіндеуі

аламыз.

мұндағы С-туынды тұрақтысы.

Френел интегралдық кескіндеуі

1.Екі айнымалылы функциялардың Лаплас түрлендіруі.

2. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері.
Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.
Лекцияның мәтіні:
Анықтама: Комплекс аргументті f(х,у) функция үшін
(1)
түрлендіру Лаплас түрлендірулері деп аталады және мен белгіленеді. Демек

Теорема. Егер f(х,у) функция кез-келген

шартты қанағаттандырса, онда (1) Лаплас интегралы абсолюттіжынақталушы болады. Мұндағы M,h,k – кез – келген оң сандар.

1. теңдеуді Лаплас түрлендіруімен шешу

2. теңдеуді Лаплас түрлендіруімен шешу

Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.
Лекцияның мәтіні:

Бірінші ретті дербес туындылы

дифференциалдық теңдеудің , шартты қанағаттандыратын шешімін табайық.

Онда (1) теңдеудің шешімі

Дәл осылай

теңдеудің шешімі анықталады

“Физика жєне математика”факультеті

“ Лаплас түрлендірулері ” пәні бойынша

Жетісай – 2008 ж

№	Тапсырманың мазмұны мен мақсаты	Сағат саны	Бақылау түрі	Беті көрсетіл-ген әдебиеттер	Орында мерзімі
1	Комплекс сандар.	1	тест	3 (11-12) 4 (5-12)	1-апта
2	Комплекс айнымалылы функция анықтамасы.	1	коллоквиум	1 (45-47) 4 (28-33)	1-апта
3	Комплекс айнымалылы функциялар интегралы	1	тест	1 (48-52) 3 (180-184)	2-апта
4	Кошидің интегралдық формуласы	1	тест	3 (11-20) 6 (9-11)	3-апта
5	Тейлор қатары	1	Ауызша сұрақ-жауап	3 (50-60) 4 (83-89) 6 (24-25)	3-апта
6	Лоран қатары анықтамасы.	1	коллоквиум	3 (82-95) 3 (67-71) 6 (32-35)	4-апта
7	Функция қалындысы ұғымы	2	тест	1 (471-473) 3 (96-100)	4-апта
8	Лаплас түрлендірулері анықтамасы.	1	Ауызша сұрақ жауап	3 (220-233) 4 (186-194) 6 (57-58)	5-апта
9	Лаплас түрлендіруінің қарапайым қасиеттері. Біртектілік, аддитивтілік, ұқсастық	2	коллоквиум	1 (200-201) 4 (186-193)	5-апта
10	Түпнұсқаны дифференциалдау.	1	Тест	3 (200-213) 4 (183-186)	6-апта
11	Түпнұсқаны интегралдау	1	Ауызша сұрақ жауап	3 (214-216) 6 (214-215)	7-апта
12	Араластыру теоремасы	1	коллоквиум	1 (267-270) 3 (476-480)	7-апта
13	Функция үйірткісі.	1	тест	1 (366-370) 3 (287-307)	7-апта
14	Дәрежелік және көрсеткіштік фукнциялардың кескіндеулері.	2	Ауызша сұрақ- жауап	1 (371-378) 3 (287-307) 4 (119-123)	8-апта
15	Жуықтау туралы 1 – теорема.	1	коллоквиум	1 (428-434) 4 (159-175) 3 (319-325)	8-апта
16	Тұрақты коэфициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер	1	тест	1 (426-428) 3 (318-323) 6 (74-76)	9-апта
17	Тұрақты коэфициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі	2	Ауызша сұрақ-жауап	1 (475-476) 3 (308-316) 6 (79-80)	10-апта
18	Айнымалы коэфициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер	2	коллоквиум	1 (475-476) 3 (308-316)	11-апта
19	Дюамель формуласы анықтамасы.	1	тест	1 (381-382) 3 (683-690) 6 (82-84)	12-апта
20	Интегралдық теңдеулер Лаплас түрлендірунен пайдалану	2	Ауызша сұрақ-жауап	1 (383-388) 3 (672-680) 6 (82-85)	13-апта
21	Бессель функциясының кескіндеулері Интегралдық синус және интегралдық косинустың кескіндеуі	1	Коллоквиум	1 (389-392) 3 (695-701)	13-апта
22	Екі айнымалылы функциялардың Лаплас түрлендіруі. Лаплас түрлендіруінің қасиеттері.	2	Тест	1 (400-405) 3 (329-303)	14-апта
23	теңдеуді Лаплас түрлендіруімен шешу	1	Тест	1 (410-412) 6 (85-89)	15-апта
	Барлығы	30

1. 
   Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.
   
2. 
   Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.
   
3. 
   Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.
   
4. 
   Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.
   
5. 
   Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.
   
6. 
   Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.
   
7. 
   Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.
   
8. 
   Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.
   

9. 
   В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.
   
10. 
    Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.
    
11. 
    Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.