Лекция: 30 сағат CӨЖ 30 сағат обсөЖ: 30 сағат Барлық сағат саны: 90 сағат Аралық бақылаулар саны: 2(40 балл)

Жетісай-2008 ж

(1 сағат)

2. Комплекс сандар үстіндегі амалдар.

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:

z комплекс сан мына көріністе өрнектеледі (комплекс санныњ алгебралыќ формасы):

z=x+iy

м±ндаѓы х және у –кез келген наќты сан, ал і²=-1 шартын ќанаѓаттандыратын аз бірлік.

z₁=x₁+iy₁ комплекс санымен z₂=x₂+iy₂ комплекс саны тењ деп есептелінеді егер мына шарттар орындалса x₁=x₂, y₁=y₂.

z=x+iy комплекс саны ХОУ жазыќтыѓында О(0;0) нүктесінен басталатын вектор координаталары (х;у) болатын М нүктесіне кескінделеді. М(х;у) - ρ векторының ұзындығы, комплекс санының модулі деп аталады. былай белгіленеді.ρ ==

ОХ өсімен векторының арасындағы бұрыш φ, z комплекс санының аргументі деп аталады. Ал φ=Argz белгіленді. Ол бірмәнді анықталмайды. Жуықтауға 2π дейін.

Argz= argz+2kπ (k=0,)

Мұндағы argz, Argzтің басты мәні.

Келесі арақатынастар орынды.

Екі комплекс саны берілген болсын. z₁=x₁+iy_{1 ,} z₂=x₂+iy₂

1)Қосындысы z₁+z₂ комплекс сандарының қосындысы z₁ және z₂ лер комплекс сан болады.

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).

2) Айырмасы. z₁-z₂ комплекс сандарының айырмасы z₁ және z₂ сандарыкомплекс сан деп аталады.

z₁-z₂ =(x₁-x₂)+i(y₁-y₂).

3) Көбейтіндісі. z₁ және z₂ сандарының көбейтіндісі, комплекс сан болады.

z₁z₂==(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁ y₂+ x₂y₁).

4)Бөліндісі. нен z₁ комплекс санының z₂ ≠0 комплекс сандарын бөлгенде, zz₂= z₁ теңдеуін қанағаттандырады. Бұл үшін мына формула орынды.

Бұл формуланы шығаруда мына формуладан пайдаланамыз

(1) формуланы мына көріністе жазуға болады.

Нақты бөлігі Re z және Imz жорамал бөлігі комплекс саны z пен олардың түйіндісімен өрнектеледі.Келесі көріністе болады.

1. Комплекс айнымалылы функция анықтамасы.

2. Комплекс айнымалылы функциялар қасиеттері.
Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:

функция Д облысында анықталған, егер әрбір z D тиісті нүктесі ω қатысты бір мәнді немесе көп мәнді қойылған.

Мұндай жағдайда функциясының бейнеленуі ω комплексті жазықтығында z комплекс жазықтығында бар болады.

z=x+iy және ω =x+iy болсын. Онда функцияға қатысты ω комплексті жазықтығымен бірге z айнымалы х,у нақты айнымалыға қатысты екі нақты функциялар көмегімен жазуға болады.

u =u(x,y), v= v(x,y)

Комплекс аргументі элементар функциялар

1.Бөлшек –рационал функция

рационал функция көп мүше болады.

ω=a₀zⁿ+a₁z^n-1+…+ a _n

2. е^z көрсеткіштік функция Комплекстік жазықтықта дерлік дәрежелік қатарға абсолютті жинақталады.

е^z көрсеткіштік функция келелсі шарттарды ие болады.

а) мұндағы z₁ және z₂ –кезкелген комплекстің мөлшері.

б) (k=0, ), яғни е^z периодты фнукция

3. Тригонометриялық функция sin z және cos z дәрежелік қатарлар мен анықталады.

z- тің кез келген комплекс мәнінде жинақталады.

е^z, sin z және cos z Эйлер формуласы орынды.

Бұдан

4. shz, chz, thz, cthz гиперболалық функциялар төмендегі теңдіктермен анықталады.

Бұл функция көпмәнді функция болады, басты мәні Lnz -нің мәні k=0 де алынады lnz пен белгілейміз.

Келесі формулалар орынды.

Мысалы, z= sinw болса, онда z арксинус соны және w= Arcsinz пен белгіленеді.

Барлық функциялар көпмағыналы және логарифмдік функциялармен өрнектеледі.

Arcsinz =-iLn(

Arccosz =-iLn(

Arctgz =

Arcctgz =

кері тригонометриялық функция басты мағынасы логарифмдік функциямен қарастырылады.

8. Жалпы дәрежелік функция w= z^a, мұндағы a=α+i β- комплекс сан, мына теңдікпен анықталады.

z^a= e^{a Lnz}.

негізі мәні бұл

көп мәнді функция.

9. Жалпы көрсеткіштік функция w= а^z (a ≠ 0- кез келген комплекс сан.)

а^z= e^{z Lnz}

3,4-лекция.

Комплекс айнымалылы функцияларды интегралдау

(2 сағат)
Жоспар
1. Комплекс айнымалылы функциялар интегралы

2. Кошинің негізгі теоремасы.

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:
функция Д облысында анықталған, бірмәнді функция болсын.

z=x+iy және болсын. Мұнда u =u(x,y), v= v(x,y).

функцияның я айнымалы бойынша интегралы

Кошиның негізгі теоремасы. Егер f(z) функция бірбайламды D облыста аналитик болса онда бұл функцияның D облыста жататын кез – келген бөлекті тегіс контур бойынша алынған интегралы нолге тең.

5-лекция.

Кошидің интегралдық формуласы

(1 сағат)

Жоспар:
1. Кошидің интегралдық формуласы

2. Кошидің интегралдық формуласын кейбір интегралдарды шешуде қолдану

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

б)қосымша

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:
Егер f(z) функция Д облыста бірмәнді жіне аналитик болса сол облыста Кошиның интегралдық формуласында орынды.
(1)
Кошидің интегралдық формуласы кейбір интегралдарды шешуде қолданады.

Мысал.

1) Тейлор қатары

2) Дәрежелік Тейлор қатары

Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:

z=z₀ нүктеде бірмәнді және аналитик f(z) функция бұл нүктенің маңайында дәрежелік Тейлор қатарына жіктеледі.

Мұндағы с_к коэффициенттерін

формуладан табамыз.

Мұнда, Г- центры z=z₀ болатын шеңбер.

7-лекция.

Лоран қатары

(1 сағат)
Жоспар:

1) Лоран қатары анықтамасы.

2) Функцияларды Лоран қатарына жіктеу.
Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:
сауледе бірмәнді және аналитик f(z) функция бұл сәуледе Лоран қатарына жіктеледі.

Мұндағы с_к коэффициенттерін

формуладан табамыз.

Мұнда, Г- центры z=z₀ болатын саүледе жататын кез-келген шеңбер.


8-лекция.

Функцияның қалындысы

(1 сағат)

Жоспар:

2) Қалынды анықтамасы

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:
z₀ нүкте f(z) функциясыны ажыратылған ерекше нүктесі болсын. Төмендегі

теңдікпен анықталадыған санға f(z) функциясының z₀ нүктедегі қалындысы деп аталады және сиволмен жазылады. (Басқа белгілеуі )

Егер z₀ нүкте f(z) функцияның n – ші ретті полюсы болса, қалынды

формуламен анықталады. Бұл формуладан n=1 жағдайда

Егер f(z) функция

түрде жазылса, онда

1) Лаплас түрлендірулері анықтамасы.

2) Түпнұсқа және кескіндеу.
Пайдаланатын әдебиеттер:

а)негізгі

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:

Анықтама: Нақты аргументті комплекс мәнді f(t) функция үшін, кіші мәндерінде болса, ол мәндері үшін сандары табылып, келесі

теңдігі орындалса, f(t) функциясы түпнұсқа деп аталады.

Аналитик F(p) функция p=s+i? комплексті айнымалы, Re p >s₀ үшін төмендегі формула анықталды.

мұндағы s₀ - f(t) ның өсу көрсеткіші.

Түрлендіру f(t) түпнұсқасымен байланысты, ол оның F(p) кескіндеуі болады.

Түріндегі интеграл Лаплас түрлендірулері деп аталады және м ына көріністе жазылады.

(L- Лаплас түрлендіруінің белгісі.)

1. Біртектілік,

2. Аддитивтілік.

3. Ұқсастық.

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. –М.: Наука, 1973.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. ... Преобразование Лапласа. –М.: Наука, 1980.

3. Краснов М.Л. и др. Функции комплексного переменного. –М.: Наука, 1981.

4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. –М.: Физматгиз, 1958.

5. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. –М.: Высшая школа, 1966.

6. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. –М.: Физматгиз, 1958.

7. Краснов М.П. и др. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1976.

8. В. С. Владимиров “Уравнения математической физики”. Москва, “Наука”, 1988 г.

9. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М. : “Наука”, 1975.

10. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М. : “Наука”, Т. IV, часть 1 1974.

11. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. –М.: Просвещение, 1977.

Лекцияның мәтіні:
1. Біртектілік. Егер болса, онда,

бұл жерде λ- кез келген нақты сан.

Шынында,

2.Аддитивтілік. Егер , болса, онда

Шынында,

3.Ұқсастық. Егер болса, онда

орынды болады. Бұл жерде α- кез келген нақты сан.

Шынында,