Екі еселі интегралдың бар болу шарттары.
Функция f(x,y) –тің екі еселі интегралы бар болса, ол функция шенелген болатындығы - қажетті ғана шарт, жеткілікті шарт емес. Олай екендігі мына мысалдан көрінеді.
Функция , квадратында былай анықталған:
Бұл функция берілген квадратта шенелген болса да, оның бүкіл бойында үзілісті, сол себепті интегралдық қосынды ешқандай шекке ұмтылмайды.
Енді f(x,y) функциясынан квадратталатын облыс G бойынша алынатын екі еселі интегралының бар болу шарттарын табу мақсатында әуелі бір аргумент функциясындағы Дарбу қосындыларындағы сияқты, мұнда да Дарбудың жоғарғы және төменгі қосындылары ұғымын енгіземіз.
f(x,y) шенелген функция болғандықтан m мен M сандары табылады да, m f(x,y) M арақатынасы орындалады.
Енді G облысын екі еселі интегралдың анықтамасында айтылған тәсілмен бөліктеріне жіктейміз. Сонда G облысының әрбір бөлігінде f(x,y) функциясы үшін дәл төменгі шен мен дәл жоғарғы шен болады. Ақырында Дарбудың төменгі және жоғарғы қосындылары деп аталатын
мен (4)
қосындыларын құраймыз. Сонымен бірге интегралдық
(5)
қосындысын құрсақ, онда
(6)
Дарбудың (4) қосындыларының да бір аргумент функциясындағы сондай қосындылардағыдай екі қасиет болады.
Бар болу теоремасы. f(x,y) функциясының квадратталатын G облысы бойынша екі еселі интегралы бар болу үшін сол G облысының элементтар бөліктерінің диаметрлерінің ең үлкені нольге ұмтылғанда Дарбудың (4) жоғарғы және төменгі қосындыларының айырымының шегі нольге тең болуы, яғни
(7)
қажет және жеткілікті.
Интегралданатын функциялардың кластары.
1. Үзіліссіз функциялар класы.
Теорема. Егер функция f(x,y) жабық, шенелген, квадратталатын G облысында үзіліссіз болса, ол сол G облысында интегралданады.
Достарыңызбен бөлісу: |
